《高等数学》课程教学资源：第九章 重积分（9.3）三重积分

§93三重积分 、三重积分的概念 二、三重积分的计算 自

一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 §9.3 三重积分 首页 上页 返回 下页 结束 铃

一、三重积分的概念 今三重积分的定义 设(x,y,z)是空间有界闭区域2上的有界函数 将Ω任意分成n个小闭区域 △V1,△v2,…·,△ 其中△v表示第个小闭区域,也表示它的体积 在每个小闭区域△n上任取一点(5,n,5),作作和 ∑f(,m21)△v 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时,这和的 极限总存在,则称此极限为函数(x,y,z)在闭区域Ω上的三重 积分,记作 (x, y, zdv 有页 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设f(x y z)是空间有界闭区域上的有界函数 将任意分成n个小闭区域 v1  v2      vn 其中vi表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个小闭区域vi上任取一点(i  i  i ) 作作和 一、三重积分的概念 下页 ❖三重积分的定义 i i i i n i f v =  ( , , ) 1     如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的 极限总存在 则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重 积分 记作 f x y z dv   ( , , ) 

一、三重积分的概念 今三重积分的定义 y)=1m/5,)△ 三重积分中的各部分的名称: 积分号, f(x,y,2)被积函数, f(x,y,2z)dv被积表达式, dv 体积元素, . v 2 积分变量, 积分区域 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、三重积分的概念 ❖三重积分的定义 i i i i n i f x y z dv = f v  → =  ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      •三重积分中的各部分的名称  ————积分号 f(x y z)——被积函数 f(x y z)dv—被积表达式 dv ————体积元素 x y z———积分变量  ————积分区域

一、三重积分的概念 今三重积分的定义 y)=1m/5,)△ 今直角坐标系中的三重积分 在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面来划分92 则△v=Ax2AyA,因此也把体积元素记为dhv= dxdydz,三重积分 记作 ∫(xy2=订0(xy=)dh 今三重积分的性质 三重积分的性质与二重积分的性质类似 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖直角坐标系中的三重积分 一、三重积分的概念 ❖三重积分的定义 i i i i n i f x y z dv = f v  → =  ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      在直角坐标系中 如果用平行于坐标面的平面来划分 则vi=xiyizi  因此也把体积元素记为dv=dxdydz 三重积分 记作     f (x, y,z)dv= f (x, y,z)dxdydz 三重积分的性质与二重积分的性质类似 ❖三重积分的性质 首页

二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 设积分区域为 C2={(x,y,2)=1(x,y)>> ∫ y2(x) f(x,y, 2)dv=dx"f(x, y, a)d2. >>> y1(x) (x,y) AZ z=22(x, Q2 zFzIlx, 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、三重积分的计算 下页 1 利用直角坐标计算三重积分 ={(x y z)| z1 (x y)zz2 (x y) y1 (x)yy2 (x) axb} 则     =  b a z x y z x y y x y x f x y z dv dx dy f x y z dz ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 ( , , ) ( , , )  >>> 设积分区域为 >>>

例1计算三重积分xdv,其中为三个坐标面及 平面x+2y+2=1所围成的闭区域 解区域Ω可表示为: x-2y,0≤y≤(1-x),0<x≤1 于是xdv=2dy x-2] xdr Q C(0,0,1) xdx 2(1-x-2y)dy B(0,,0) (x-2x2+x3)x 48 A(1,0,0) 返回 页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 1 计算三重积分 xdxdydz    其中为三个坐标面及 平面x+2y+z=1所围成的闭区域 解 区域可表示为 0z1−x−2y (1 ) 2 1 0 y −x  0x1 于是     − − −  = 1 0 2 1 0 1 2 0 x x y xdxdydz dx dy xdz   − = − − 1 0 2 1 0 (1 2 ) x xdx x y dy  = − + = 1 0 2 3 48 1 ( 2 ) 4 1 x x x dx 

☆先二重积分后定积分的方法 个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算 个定积分 设积分区域为 C2={(x,y,2)(x,y)∈D2,C1≤c2} 其中D是竖坐标为的平面截空间闭区域Ω所得到的一个平面 闭区域,则 C2 f5(x, 3, =ydv=- de[f(x,y,ayd Q D D 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖先二重积分后定积分的方法 下页 一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算 一个定积分 设积分区域为 ={(x y z)|(x y)Dz  c1zc2 } 其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域所得到的一个平面 闭区域 则    =  Dz c c f (x, y,z)dv dz f (x, y,z)dxdy 2 1 

例2计算三重积分小2,其中9是由椭球面 x+y+2=1所围成的空间闭区域 a2 b2 解空间区域Ω可表为: 2 x <1-=,-c<x<c z·D 于是2o==2td b Do mb(-=)2= 4 tbc 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 2 计算三重积分 z dxdydz   2  其中是由椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 所围成的空间闭区域 解 空间区域可表为 2 2 2 2 2 2 1 c z b y a x +  −  −czc 2 3 2 2 15 4 (1 )z dz abc c z ab c c = − =  −  于是    −  = c c Dz z dxdydz z dz dxdy 2 2 下页

2.利用柱面坐标计算三重积分 今点的柱面坐标 设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(B,O),则这样的三个数、、z就叫做点M的柱 面坐标,这里规定O、z的变化范围为: 0≤x+∞,0≤6×2x,-00<2<+∞ 2 今直角坐标与柱面坐标的关系 M(x, v, z) x=pos 0, y=sine,z-2 今柱面坐标系中的体积元素 O dv=pdpd edz P(p,的 小: 简单来说, dxdy=dlad, dxdyd= dxdydz=dad 返回 页结東铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖点的柱面坐标 下页 2 利用柱面坐标计算三重积分 设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(  ) 则这样的三个数、 、z就叫做点M的柱 面坐标 这里规定、 、z的变化范围为 0<+ 02  −<z<+ ❖直角坐标与柱面坐标的关系 x=cos y=sin z=z ❖柱面坐标系中的体积元素 dv=dddz 提示 简单来说 dxdy =dd dxdydz =dxdydz =dddz

2.利用柱面坐标计算三重积分 今点的柱面坐标 设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(B,O),则这样的三个数、、z就叫做点M的柱 面坐标,这里规定O、z的变化范围为: 0≤x+∞,0≤6×2x,-00<2<+∞ 2 今直角坐标与柱面坐标的关系 x=pcos, y=psin0,z=z M(x, v, z) 今柱面坐标系中的体积元素 O dv=aded edz P(p,的 今柱面坐标系中的三重积分 f(x, y, z)dxdydz ∫ f(pcos, psin 0, z)pdpd edz Q 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖柱面坐标系中的三重积分 下页     f (x, y,z)dxdydz= f (cos,sin,z)dddz  ❖点的柱面坐标 2 利用柱面坐标计算三重积分 设M(x y z)为空间内一点 并设点M在xOy面上的投影P 的极坐标为P(  ) 则这样的三个数、 、z就叫做点M的柱 面坐标 这里规定、 、z的变化范围为 0<+ 02  −<z<+ ❖直角坐标与柱面坐标的关系 x=cos y=sin z=z ❖柱面坐标系中的体积元素 dv=dddz