《高等数学》课程教学资源：第十章（10.5）对坐标的曲面积分

§10.5对坐标的曲面积分 、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系 自

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系 §10.5 对坐标的曲面积分 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、对坐标的曲面积分的概念与性质 今有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如,由方程=(x,y)表示的曲面分为上侧与下侧 设n=(cosa,cos月,cosy)为曲面上的法向量 当cosy>O时,n所指的一侧是上侧; 当cosy<O时,n所指的一侧是下侧 E:=2(x ∑一张包围某一空间区城的闭曲面,有外侧与 由方程z=x耘的曲面,有上侧 内懊之分,如果取它的法甸量的指向甸潮外, 与下侧之分,如果取它的法向量方的指 我们就认为取定曲面的外侧。 向朝上,我们就认为取定曲面的上側, 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 当cos0时 n所指的一侧是上侧 当cos0时 n所指的一侧是下侧 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 下页 ❖有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如 由方程z=z(x y)表示的曲面分为上侧与下侧 设n=(cos cos cos)为曲面上的法向量

、对坐标的曲面积分的概念与性质 今有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如,由方程=(x,y)表示的曲面分为上侧与下侧 设n=(cosa,cos月,cosy)为曲面上的法向量 当cosy>O时,n所指的一侧是上侧;当cosy0时,n所指的 侧是下侧 类似地,如果曲面的方程为y=y(x,x),则曲面分为左侧与 右侧,在曲面的右侧cosB0,在曲面的左侧cosB<0 如果曲面的方程为x=x(0y,),则曲面分为前侧与后侧,在 曲面的前侧cosc∞0,在曲面的后侧cosa<0 闭曲面有内侧与外侧之分 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 当cos0时 n所指的一侧是上侧 当cos0时 n所指的 一侧是下侧 一、对坐标的曲面积分的概念与性质 下页 ❖有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如 由方程z=z(x y)表示的曲面分为上侧与下侧 设n=(cos cos cos)为曲面上的法向量 类似地 如果曲面的方程为y=y(z x) 则曲面分为左侧与 右侧 在曲面的右侧cos0在曲面的左侧cos0 如果曲面的方程为x=x(yz) 则曲面分为前侧与后侧 在 曲面的前侧cos0 在曲面的后侧cos0 闭曲面有内侧与外侧之分

今曲面在坐标面上的投影 在有向曲面Σ上取一小块曲面AS,用(△O)表示△S在xO 面上的投影区域的面积.假定△S上各点处的法向量与z轴的夹 角的余弦cos相同的符号(即cos都是正的或都是负的) 我们规定AS在xOy面上的投影(△S)n为 (△a) coSy>O 类似地可以定义△S在 (△S)y= (△)yC0y<0,yOz面及在zOx面上的投影 0 cOsy≡0(△S)2及(AS)x △S 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖曲面在坐标面上的投影 下页 在有向曲面上取一小块曲面S 用() xy表示S在xOy 面上的投影区域的面积 假定S上各点处的法向量与z轴的夹 角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的) 我们规定S在xOy面上的投影(S) xy为 类似地可以定义S在 yOz面及在zOx面上的投影 (S) yz及(S) zx       −      = 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( )      xy xy xy S 

◆流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x,y, 2)=(P(x, y, 2),2(,y, 2, R(x,y, z)) 给出,∑是速度场中的一片有向曲面,函数v(x,y,2)在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量,即流量Φ 把曲面∑分成n小块:AS,△S2…,△S(△AS也代表曲面面积 在AS上任取一点(,n,) 通过Σ流向指定侧的流量Φ近似为: (5,,2) △S ∑"n2AS;> 提示通过AS流向指定侧的流量近似为 n 4 S::>>> 相关知识删首页 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示通过Si流向指定侧的流量近似为 vi niSi  i i i n i  S = v n 1  ❖流向曲面一侧的流量 相关知识 下页 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x y z)=(P(x y z)  Q(x y z)  R(x y z)) 给出 是速度场中的一片有向曲面函数v(x y z)在上连续 求在单位时间内流向指定侧的流体的质量 即流量 •把曲面分成n小块 S1  S2     Sn (Si也代表曲面面积) •在Si上任取一点(i  i  i ) •通过流向指定侧的流量近似为 >>> >>>

◆流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x,y, 2)=(P(x, y, 2),2(,y, 2, R(x,y, z)) 给出,∑是速度场中的一片有向曲面,函数v(x,y,2)在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量,即流量Φ 把曲面∑分成n小块:AS,△S2…,△S(△AS也代表曲面面积 在AS上任取一点(,n,) 通过Σ流向指定侧的流量Φ近似为: ∑P(,h)AS)2+9(5,7h5△S)x+(F,)AS) 在上述和中,令各小曲面直径中的最大值λ>0,就得到流量Φ 的精确值. 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖流向曲面一侧的流量 下页 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x y z)=(P(x y z)  Q(x y z)  R(x y z)) 给出 是速度场中的一片有向曲面函数v(x y z)在上连续 求在单位时间内流向指定侧的流体的质量 即流量 •把曲面分成n小块 S1  S2     Sn (Si也代表曲面面积) •在Si上任取一点(i  i  i ) •通过流向指定侧的流量近似为 [ ( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) ] 1 i i i i yz i i i i zx i i i i xy n i  P S +Q S +R S =            •在上述和中 令各小曲面直径中的最大值→0就得到流量 的精确值

今对坐标的曲面积分的定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数R(x,y,z)在Σ上有界 把Σ任意分成n块小曲面:△S1,△AS2…,ASn(△S也代表曲 面面积),△S在xOy面上的投影为(AS),(Em)是△S上任意 取定的一点.如果当各小块曲面的直径的最大值>0时,极限 im∑R(5,7n)△S)y ->0 总存在,则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标x y的曲面积分,记作R(xy2b,即 R(x,y,=)xdy=m∑R(2,7,)△S ->0 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖对坐标的曲面积分的定义 下页 设为光滑的有向曲面 函数R(x y z)在上有界 把任意分成n块小曲面S1  S2     Sn (Si也代表曲 面面积) Si在xOy面上的投影为(Si ) xy (i , i , i )是Si上任意 取定的一点 如果当各小块曲面的直径的最大值→0时极限 i i i i xy n i lim R( , , )( S ) 1 0  → =      总存在 则称此极限为函数R(x y z)在有向曲面上对坐标x、 y 的曲面积分 记作  R(x, y,z)dxdy  即   R(x, y,z)dxdy i i i i xy n i lim R( , , )( S ) 1 0 =  → =      

今对坐标的曲面积分的定义 函数R(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标x、y的曲面积分: R(x, y, zdxdy=lim >R(S mi SAS) ->0 类似地,可定义对坐标y、的曲面积分和对坐标、x的曲 面积分 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 类似地 可定义对坐标y、z的曲面积分和对坐标z、x的曲 面积分 下页   R(x, y,z)dxdy i i i i xy n i lim R( , , )( S ) 1 0 =  → =       ❖对坐标的曲面积分的定义 •函数R(x y z)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分

今对坐标的曲面积分的定义 函数R(x,y,)在有向曲面Σ上对坐标x、y的曲面积分 R(x, y, zdxdy=lim >R(S mi SAS) ->0 函数P(x,y,z)在有向曲面∑上对坐标y、z的曲面积分: ∫P(xy=m∑P5,n△S) °函数gx,y,z)在有向曲面∑上对坐标、x的曲面积分: (xy=kdk=lmn05,nX△S) ∑ 上述曲面积分也称为第二类曲面积分,其中P、Q、R叫 做被积函数,Σ叫做积分曲面 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃   R(x, y,z)dxdy i i i i xy n i lim R( , , )( S ) 1 0 =  → =       ❖对坐标的曲面积分的定义 •函数R(x y z)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分 •函数P(x y z)在有向曲面上对坐标y、z的曲面积分 i i i i yz n i P(x, y,z)dydz lim P( , , )( S ) 1 0 =  → =         •函数Q(x y z)在有向曲面上对坐标z、x的曲面积分 i i i i zx n i Q(x, y,z)dzdx lim Q( , , )( S ) 1 0 =  → =         上述曲面积分也称为第二类曲面积分其中 P、Q、R叫 做被积函数 叫做积分曲面

今对坐标的曲面积分的简写形式 在应用上出现较多的是 ∫(xy20(xy1k+(xy:b, 为简便起见,这种合起来的形式简记为 P(x,y, z)dydz+O(,y, z)dzdx+R(x, y, =)dxdy 说明: 如果是分片光滑的有向曲面,我们规定函数在Σ上对坐标 的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之 和 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖对坐标的曲面积分的简写形式 = P(x, y,z)dydz+Q(x, y,z)dzdx+R(x, y,z)dxdy    在应用上出现较多的是       P(x, y,z)dydz+ Q(x, y,z)dzdx+ R(x, y,z)dxdy  为简便起见 这种合起来的形式简记为 说明 如果是分片光滑的有向曲面 我们规定函数在上对坐标 的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之 和