《高等数学》课程教学资源：第九章 重积分（9.2）二重积分的计算法

§92二重积分的计算法 、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 自

一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 §9.2 二重积分的计算法 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、利用直角坐标计算二重积分 今型区域与Y型区域 如果区域D可以表示为不等式 非X型,非Y型 (x)≤y(2(x),a≤x≤b, 则称区域D为X型区域 如果区域D可以表示为不等式 D v1(y)≤x≤v2(y),C≤yd, 则称区域D为Y型区域 12x 有的区域既是X型区域又是Y型区 域,而有的区域既不是X型区域又不是 Y型区域,但它总可以表示为若干个X 型区域和Y型区域的并 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、利用直角坐标计算二重积分 如果区域D可以表示为不等式 j1 (x)yj2 (x), axb, 则称区域D为X型区域. ❖X型区域与Y型区域 如果区域D可以表示为不等式 y1 (y)xy2 (y), cyd, 则称区域D为Y型区域. 有的区域既是X型区域又是Y型区 域, 而有的区域既不是X型区域又不是 Y型区域, 但它总可以表示为若干个X 型区域和Y型区域的并. 下页

今二重积分的计算 设八x,y)20,D={(x,y)(x)≤≤02(x),a≤x≤b} 对于x∈[a,b],曲顶柱体在x=x的截面面积为 A(x0) f(o, y)dy f(x,y) Jo,(xo) 曲顶柱体体积为 =[4(x)d女 a f(x, y)dyx q。0 o1(x) x 提示 根据平行截面面积为已知的立体体积的求法 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 z=f(x, y)为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积. 此时二重积分 f x y d D  ( , ) 在几何上表示以曲面 z=f(x, y) 提示 截面是以区间[j1 (x0 ), j2 (x0 )]为底、以曲线z=f(x0 , y)为曲 边的曲边梯形. 提示 根据平行截面面积为已知的立体体积的求法.  = ( ) ( ) 0 0 2 0 1 0 ( ) ( , ) x x A x f x y dy j j . 设f(x, y)0, D={(x, y)|j1 (x)yj2 (x), axb}. ❖二重积分的计算 对于x0[a, b], 曲顶柱体在x=x0的截面面积为 曲顶柱体体积为 下页  = b a V A(x)dx f x y dy dx b a x x   = [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1 j j .  = b a V A(x)dx f x y dy dx b a x x   = [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1 j j

今二重积分的计算 设八x,y)20,D={(x,y)(x)≤≤02(x),a≤x≤b} 对于x∈[a,b],曲顶柱体在x=x的截面面积为 2(x0 A(x0) f(o, y)dy f(x,y) Jo,(xo) 曲顶柱体体积为 =[4(x)d女 O b ro2(x) f(x, y)dylan 1( b ro2(x) V=lIf(x,do= f(x,y)小ya a1(x) 注:计算一般二重积分只需取消x,y)20的限制 首贡返回下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 即 V f x y d f x y dy dx b a x x D    = ( , ) = [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1 j j  . 注 计算一般二重积分只需取消f(x, y)0的限制. 下页  = ( ) ( ) 0 0 2 0 1 0 ( ) ( , ) x x A x f x y dy j j . 设f(x, y)0, D={(x, y)|j1 (x)yj2 (x), axb}. ❖二重积分的计算 对于x0[a, b], 曲顶柱体在x=x0的截面面积为 曲顶柱体体积为  = b a V A(x)dx f x y dy dx b a x x   = [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1 j j .  = b a V A(x)dx f x y dy dx b a x x   = [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1 j j

今二重积分的计算 如果D是X型区域:D={(x,y)1(x)≤y≤02(x),a≤x≤b},则 f(x, yao f(x, y)dylan 上式也可以记为 先对y后对x 的二次积分 .b, rp2(x) f(r, do= dx f(x, y)dy 1(x) D 如果D是Y型区域:D={(x,y)v(y)≤x≤v2(y),C≤y≤d},则 d rv2(y) f(x, yao f(x,y, Ddx jdy c Jv,() 先对x后对y D dym f(x, y)dx 的二次积分 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 f x y d f x y dy dx b a x x D    ( , ) = [ ( , ) ] ( ) ( ) 2 1 j j  .    = b a x x D f x y d dx f x y dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) j j  . 如果D是X型区域 D={(x, y)|j1 (x)yj2 (x), axb}, 则 上式也可以记为 如果D是Y型区域 D={(x, y)|y1 (y)xy2 (y), cyd}, 则 下页 ❖二重积分的计算      先对x后对y 的二次积分    = d c y y D f x y d f x y dx dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) [ ( , ) ] y y    = d c y y dy f x y dx ( ) ( ) 2 1 ( , ) y y .      先对y后对x 的二次积分

今计算二重积分的步骤 (1)画出积分区域D的草图 (2)用不等式组表示积分区域D (3)把二重积分表示为二次积分: 如果D是X型区域:(x)y≤02(x),a≤x≤b,则 b,c2( f(x,y)d=ax…f(x,y)y 1(x) 如果D是Y型区域:v(0)≤x≤v0),C≤y≤,则 d rv2(y) f(x, yao f(x, y)dx ldy c JVl) D (4)计算二次积分 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃    = d c y y D f x y d f x y dx dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) [ ( , ) ] y y  .    = b a x x D f x y d dx f x y dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) j j  . 如果D是X型区域 j1 (x)yj2 (x), axb, 则 ❖计算二重积分的步骤 如果D是Y型区域 y1 (y)xy2 (y), cyd, 则 (1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分 (4)计算二次积分. 下页

例1计算∫x,其中D是由直线y=1、x=2及y=x所 围成的闭区域. y 解画出区域D D 方法一,把D看成是X型区域 D:1≤x≤2,1≤x 于是 xiao xydyldx D [. 1dx=L(x3-x)dx 2 2142 8 积分还可以写成时x 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 画出区域D. 方法一, 把D看成是X型区域 于是 D 1x2, 1yx. 下页 围成的闭区域. 例 1 计算 x yd D  , 其中 D 是由直线 y=1、x=2 及 y=x 所    = 2 1 1 [ ] x D xyd xydy dx   =  = − 2 1 3 2 1 1 2 ( ) 2 1 ] 2 [ dx x x dx y x x 8 9 ] 4 2 [ 2 1 2 1 4 2 = − = x x .    = 2 1 1 [ ] x D xyd xydy dx   =  = − 2 1 3 2 1 1 2 ( ) 2 1 ] 2 [ dx x x dx y x x 8 9 ] 4 2 [ 2 1 2 1 4 2 = − = x x .   =  = − 2 1 3 2 1 1 2 ( ) 2 1 ] 2 [ dx x x dx y x x 8 9 ] 4 2 [ 2 1 2 1 4 2 = − = x x . 注      = = 2 1 1 2 1 1 x x D 积分还可以写成 x yd dx xydy xdx ydy .      = = 2 1 1 2 1 1 x x D xyd dx xydy xdx ydy

例1计算∫x,其中D是由直线y=1、x=2及y=x所 围成的闭区域. y 解画出区域D D 方法二,把D看成是Y型区域 D:1≤y2,y≤x≤2 于是 ∫xyG=J∫y D D]=[(21y地hD2-y129 88 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃    = 2 1 2 [ ] y D xyd xydx dy D 1y2, yx2. 下页 解 画出区域D. 方法二, 把D看成是Y型区域 围成的闭区域. 例 1 计算 x yd D  , 其中 D 是由直线 y=1、x=2 及 y=x 所 于是   =  = − 2 1 3 2 1 2 2 ) 2 ] (2 2 [ dy y dy y x y y 8 9 ] 8 [ 2 1 4 2 = − = y y .    = 2 1 2 [ ] y D xyd xydx dy   =  = − 2 1 3 2 1 2 2 ) 2 ] (2 2 [ dy y dy y x y y 8 9 ] 8 [ 2 1 4 2 = − = y y .   =  = − 2 1 3 2 1 2 2 ) 2 ] (2 2 [ dy y dy y x y y 8 9 ] 8 [ 2 1 4 2 = − = y y

例2计算jy+x-yad,其中D是由直线y=1、x=-1 D 及=x所围成的闭区域 分析积分区域可表示为Ⅹ型区域 D D:-1≤x≤1,x≤y≤1. 积分区域也可表示为Y型区域 D:-1≤y≤1,-1≤x<y. 于是有 y yV1+x2-y2do='dxy1+x2-y2dy D 或jy1+x2-y2d=yb dx D 提问:哪个二次积分容易计算? 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 分析 积分区域可表示为X型区域 D −1y1, −1x<y. D −1x1, xy1. 积分区域也可表示为Y型区域 下页 及y=x所围成的闭区域. 例 2 计算 y x y d D  + − 2 2 1 , 其中 D 是由直线 y=1、x=−1 或    − − + − = + − 1 1 1 2 2 2 2 1 1 y D y x y d ydy x y dx . 于是有    + − = + − − 1 2 2 1 1 2 2 1 1 x D y x y d dx y x y dy , 提问 哪个二次积分容易计算？

例2计算jy+x-yad,其中D是由直线y=1、x=-1 D 及=x所围成的闭区域 解积分区域可表示为X型区域 D:-1<x≤1,x≤y≤1 于是有』y1+x2-yd04y小+x2-p2bp (1+x2-y2)2]ax= 3-1)ax (x3-1)bx 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 积分区域可表示为X型区域 D −1x1, xy1. 及y=x所围成的闭区域. 例 2 计算 y x y d D  + − 2 2 1 , 其中 D 是由直线 y=1、x=−1 于是有    + − = + − − 1 2 2 1 1 2 2 1 1 x D y x y d dx y x y dy ,   − − =− + − =− − 1 1 3 1 1 2 1 3 2 2 (| | 1) 3 1 [(1 ) ] 3 1 x y dx x dx x 2 1 ( 1) 3 2 1 0 3 =− − =  x dx .   − − =− + − =− − 1 1 3 1 1 2 1 3 2 2 (| | 1) 3 1 [(1 ) ] 3 1 x y dx x dx x