§11.5函数的幂级数展开式的应用 、近似计算 二、欧拉公式 自
一、近似计算 二、欧拉公式 §11.5 函数的幂级数展开式的应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、近似计算 例1计算√240的近似值,要求误差不超过0.0001 解3240=3243-3=31-1)y5 111.4 3(1 1-491 53452.2!3853.3!312 如果取前二项作为所求值的近似值,则误差为 2=3( 1-411.4.911.4.9.14 5223853.331254.4316 <3 1.4 +- (Q12+… 52·2388181 20000 于是5240≈3 2.9926. 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.9926. 一、近似计算 例 1 计算5 例1 240 的近似值 要求误差不超过 0.0001. 1/5 4 5 5 ) 3 1 240 = 243−3=3(1− ) 3 1 5 3! 1 4 9 3 1 5 2! 1 4 3 1 5 1 3(1 4 2 8 3 1 2 − − = − − . 解 于是 ) 2.9926 3 1 5 1 240 3(1 4 5 − ) 3 1 5 4! 1 4 9 14 3 1 5 3! 1 4 9 3 1 5 2! 1 4 | | 3( 2 8 3 12 4 16 2 + + + r = 20000 1 ) ] 81 1 ( 81 1 [1 3 1 5 2! 1 4 3 2 2 8 + + + . 1/5 4 5 5 ) 3 1 240 = 243−3=3(1− 20000 1 ) ] 81 1 ( 81 1 [1 3 1 5 2! 1 4 3 2 2 8 + + + . 如果取前二项作为所求值的近似值, 则误差为 下页
例2计算n2的近似值,要求误差不超过00001 解已知 n(1+x)=x-+ +…+(-1) +1 234 +…(-1<x≤1) 7+1 ln(1-x)=-x (1≤x<1), 234 两式相减得 小1+x=(1+x)-n(1-x)=2x+2x3+x5+…)(-1<x<1) 提示:这个幂级数收敛速度较慢,用于求n2较困难 因此需要寻找收敛速度较快的幂级数 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例2 计算ln2的近似值 要求误差不超过0.0001. ( 1 1) 1 ( 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4 1 + − + + = − + − + + − + x n x x x x x x n n (1 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4 − =− − − − − x x x x x x ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + )( 1 1) 5 1 3 1 2( = x+ x 3 + x 5 + − x . 已知 两式相减得 提示: 这个幂级数收敛速度较慢 用于求ln2较困难. 因此需要寻找收敛速度较快的幂级数. 下页
例2计算ln2的近似值,要求误差不超过0.0001 解已知 1+x n 1-x ln(1+x)-ln(1-x)=2(x+x3+x5+…)(1<x<1) 以x=3代入得h2=23+33+535+73+…) 如果取前四项作为n2的近似值,则误差为 :=2(1.1 9391131113313 +(a)2+…]< 3 700000 于是12=2(3+3+535+73)=06931 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + )( 1 1) 5 1 3 1 2( = x+ x 3 + x 5 + − x . 以 3 1 x= 代入得 ) 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2( 3 5 7 = + + + + . 如果取前四项作为ln2的近似值, 则误差为 700000 1 ) ] 9 1 ( 9 1 [1 3 2 2 11 + + + . ) 3 1 13 1 3 1 11 1 3 1 9 1 | | 2( 9 11 13 4 r = + + + 于是 ) 0.6931 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2( 3 5 7 + + + . 700000 1 ) ] 9 1 ( 9 1 [1 3 2 2 11 + + + . 于是 ) 0.6931 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 ln 2 2( 3 5 7 + + + . 下页 解 例2 计算ln2的近似值 要求误差不超过0.0001. 已知
例3利用 sinner=x3求smn9的近似值,并估计误差 解 兀×9 (弧度) 180 20 在sinx的幂级数展开式中令x 00 得 丌 sin )3+(x0)5 )7+ 2020320 207120 取前两项得 丌丌 sIn )3≈0.15643. 2020320 其误差为 2ka(2n)5<1o1(0.2)5< 300000 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 3 利用 3 3! 1 例3 sin xx− x 求 sin 9 的近似值 并估计误差. 解 9 180 9 = 20 = (弧度). 在 sin x 的幂级数展开式中令 20 x = , 得 ) 20 ( 7! 1 ) 20 ( 5! 1 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin 3 5 7 = − + − + . 其误差为 300000 1 (0.2) 120 1 ) 20 ( 5! 1 | | 5 5 2 r . 3 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin − 0.15643. 取前两项得 3 ) 20 ( 3! 1 20 20 sin − 0.15643. 300000 1 (0.2) 120 1 ) 20 ( 5! 1 | | 5 5 2 r . 300000 1 (0.2) 120 1 ) 20 ( 5! 1 | | 5 5 2 r . 下页
例4求积分22eb女的近似值(误差不超10-+) 解将被积函数换成其幂级数展开式得 2 2 e s ax (-1)x,]ax 丌22.324.5.2!26.7.3 前四项的和作为近似值,其误差为 √289.490000 所以 2 22324.5.226.7.3 )≈0.5295 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 将被积函数换成其幂级数展开式得 dx n x e dx n n x n ] ! [ ( 1) 2 2 2 1 0 2 0 2 1 0 2 = − = − ) 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 (1 1 2 4 6 + − + = − . 前四项的和作为近似值其误差为 90000 1 2 9 4! 1 1 | | 4 8 r ) 0.5295 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 (1 2 1 2 4 6 2 1 0 2 − + − − e dx x . 所以 dx n x e dx n n x n ] ! [ ( 1) 2 2 2 1 0 2 0 2 1 0 2 = − = − 90000 1 2 9 4! 1 1 | | 4 8 r ) 0.5295 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 (1 2 1 2 4 6 2 1 0 2 − + − − e dx x . 例 4 求积分 e dx x 2 − 1 0 2 2 的近似值(误差不超 4 10− ). 下页
例5求积分x的近似值(误差不超10-4) 0 x 解展开被积函数,有 sIn x +……(-0<x< 5!7 在区间[0,1]上逐项积分,得 ls DMdx=1 0 x 3·35·57·7 因为第四项 7.730000 所以取前三项的和作为积分的近似值: I sin x =0.9461 X 3.35-5 自 返回 下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 5 求积分 dx x x 1 0 sin 的近似值(误差不超 4 10− ). 解 展开被积函数 有 ( ) 3! 5! 7! 1 sin 2 4 6 = − + − + − x+ x x x x x . 在区间[0 1]上逐项积分 得 7 7! 1 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 + − + = − dx x x . 因为第四项 30000 1 7 7! 1 所以取前三项的和作为积分的近似值: 0.9461 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 = + − dx x x . 首页
二、欧拉公式 今复数项级数 设有复数项级数xan+mn),其中an,vn(n=1,2,3,……)为实 常数或实函数 如果实部所成的级数∑n收敛于和l,并且虚部所成的级 数∑vn收敛于和v,就说复数项级数收敛且和为+iv 今绝对收敛 如果级∑(an+1n)的各项的模所构成的级数∑n+in收敛, 则称级数∑(an+n)绝对收敛 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、欧拉公式 ❖复数项级数 设有复数项级数∑(un+ivn ) 其中un vn (n=1 2 3 )为实 常数或实函数. 如果实部所成的级数∑un收敛于和u 并且虚部所成的级 数∑vn收敛于和v就说复数项级数收敛且和为u+iv. 如果级∑(un+ivn )的各项的模所构成的级数∑|un+ivn |收敛 则称级数∑(un+ivn )绝对收敛. ❖ 绝对收敛 下页
☆复变量指数函数 考察复数项级数 1+2+z2+…+-zn+ 可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的,在x轴上它表示指 数函数e,在复平面上我们用它来定义复变量指数函数,记为 即 e=1+z+1z2+…+1zn+ 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖复变量指数函数 考察复数项级数 ! 1 2! 1 1 2 + + + + + n z n z z . 可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的 在x轴上它表示指 数函数e x 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数 记为 e z . 即 ! 1 2! 1 1 2 = + + + + + z n z n e z z . 下页
☆复变量指数函数 e2=1+z+1z2+….+-zn+… 2 今欧拉公式 当x=0时,=y,于是 e=l+y+(y2+…+(y)y+ I+iy-ay2-iay3+y 4! 2 4! y4-…)+(0y-y3+ COS y+isin y. 把y换成x得e=cosx+inx,这就是欧拉公式 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ! 1 2! 1 1 2 = + + + + + z n z n e z z . ❖欧拉公式 当x=0时 z=iy ( ) ! 1 ( ) 2! 1 1 2 = + + + + + i y n iy n e iy iy = + − − + + − 5! 1 4! 1 3! 1 2! 1 1 2 3 4 5 iy y i y y i y ) 5! 1 3! 1 ) ( 4! 1 2! 1 (1 2 4 3 5 = − y + y − +i y− y + y − =cos y+isin y. 于是 把y换成x得 e 这就是欧拉公式. ix=cos x+isin x 下页 ❖复变量指数函数
