第五章解析延拓与黎曼面 §5.1解析延拓函数 解析延拓:将解析函数定义域加以扩大 解析延拓的一个例子 幂级数:1+2+22+…在以二=0为圆心的单位圆内代表一个 解析函数,令为f(),即(=∑:=1+2+2+1 Z< 在圆外,级数是发散的
第五章 解析延拓与黎曼面 §5.1 解析延拓 Γ函数 解析延拓：将解析函数定义域加以扩大 一、解析延拓的一个例子 幂级数： 2 1 ... ++ + z z 在以 z = 0 为圆心的单位圆内代表一个 解析函数，令为 1f z( ) ，即 2 1 0 1 ( ) 1 ... 1 k k fz z z z z ∞ = = =+ + + = − ∑ ( 1) z < 在圆外，级数是发散的
()在圆内一点2=2的泰勒展开: f(=) f()=∑ ∑ k+1 但这级数的收敛半径为: R=lim R 故相应的收敛圆D2跨出原来的收敛圆D之外,而级数(1)在收敛圆 内D代表解析函数2(x),于是称(2)f(-)在D2内的解析延拓
1f z( )在圆内一点 1 2 z i = 的泰勒展开： ( ) 1 2 0 0 1 () ( ) 2 2 () ( ) ! 2 (1 ) 2 k k k k k k i i f z i fz z k i ∞ ∞ = = + − = −= − ∑ ∑ 但这级数的收敛半径为： 1 1 (1 ) 5 2 lim 1 1 2 2 (1 ) 2 k R k i i R i →∞ + − = =− = − 故相应的收敛圆 跨出原来的收敛圆 之外，而级数(1)在收敛圆 内 代表解析函数 ，于是称 为 在 内的解析延拓。 D2 D1 D2 ( ) 2f z ( ) 2f z ( ) 1f z D2
对于 (2 k=0 (2 k+1 2 < 又 2 →F2()
对于 2 2 2 0 1 23 2 () () () 1 1 2 2 2 22 ( ) ... 1 ... (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) 2 22 2 2 2 2 k k k i i i ii z z z zz F z i ii i i i i ∞ = + ⎛ ⎞ − − − −− ⎜ ⎟ = = + + += + + + ⎜ ⎟ − −− − − − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 又 1 1 ( ) 2 (1 ) 2 2 1 () 1 2 2 (1 ) 2 k k k k i z i i z q i i z i + + − − − = =< − − − 2 1 11 1 1 1 1 2 ( ) 1 1 1 1 11 ( ) 2 2 2 22 2 1 1 2 i F z i i i ii i q z z z i − ⇒= = = = − − − − − − −− − − −
可见f)和f(这两个解析函数只是同一个解析函数 在不同区域内的不同表达式而已。两个表达式各有自己的范围 ((-:D3,f2(x):D2),同时也有公共的有效范围(两圆重叠部分 D2)。 当然常常不能得到这样一个在函数的全部解析区域内都有 效的统一表达式,而是需要用解析延拓的方法推出分别在不同 区域中有效的表达式
可见 1f z( )和 2f z( )这两个解析函数只是同一个解析函数 1 1− z 在不同区域内的不同表达式而已。两个表达式各有自己的范围 1 12 2 ( ( ): , ( ): ) fz Df z D ，同时也有公共的有效范围（两圆重叠部分 D12）。 当然常常不能得到这样一个在函数的全部解析区域内都有 效的统一表达式，而是需要用解析延拓的方法推出分别在不同 区域中有效的表达式
、解析延拓的概念 概念 若f()和(2)分别在D,D2内解析,且在D与D重叠的区域 中有f()=(),则称2()为f()在D2中的解析延拓,/()为f(2) 在D中的解析延拓 定义:解析元素—区域与解析函数的组合{D,f(){D,()
二、解析延拓的概念 1. 概念： 若 1f z( ) 和 2f z( ) 分别在 1 2 D D, 内解析，且在 与 重叠的区域 中有 1 2 fz f z () () = ，则称 2f z( ) 为 1f z( ) 在 中的解析延拓， 为 2f ( )z 在 中的解析延拓。 定义：解析元素——区域与解析函数的组合{ } 1 1 Dfz , () { } 2 2 Dfz , () D1 D2 D2 D1 ( ) 1f z
2.应用: (1)已知在某区域中有定义的解析函数,用解析延拓的方法扩大 其定义域和解析范围。 (2)已知数学问题的解是某区域D内(除个别奇点外)的解析函 数,利用解析延拓的方法,可以从这个函数表达式推算出解 在D的其他子区域中的表达式
2. 应用： (1) 已知在某区域中有定义的解析函数，用解析延拓的方法扩大 其定义域和解析范围。 (2) 已知数学问题的解是某区域 D 内（除个别奇点外）的解析函 数，利用解析延拓的方法，可以从这个函数表达式推算出解 在 D 的其他子区域中的表达式
解析延拓的幂级数方法 设给定解析元素{D,(2)},现采用幂级数方法将()解析延拓。 在D内任取一点b,将∫)在b的邻域展开成泰勒级数 1(2-y 设级数的收敛区域为D2。如果D超出了D的范围。由于在D和D2 的重叠区域f(z)=f2(),所以航是()在D中的解析延拓 这样不断作下去,得到一系列的解析{Dnf(-)}(m=2,3)。 个解析元素{∫(-的全部解析延拓的集合,称为f()所产生的完 全解析函数F(),F()的定义域是邻解析元素给出的定义域的总和。 f(-)z∈D F()={f()z∈D2
三、解析延拓的幂级数方法 设给定解析元素{ } 1 1 Dfz , () ，现采用幂级数方法将 1f z( ) 解析延拓。 1. 在 D1内任取一点 ，将 1f z( ) 在 的邻域展开成泰勒级数 ( ) 1 1 2 1 0 ( ) () ( ) ! k k k f b fz zb k ∞ = = − ∑ 设级数的收敛区域为 。如果 超出了 的范围。由于在 和 的重叠区域 1 2 fz f z () () = ，所以 就是 在 中的解析延拓。 这样不断作下去，得到一系列的解析{ } , () Dfz n n ( 2,3...) n = 。 一个解析元素{ } 1 1 Dfz , () 的全部解析延拓的集合，称为 1f z( ) 所产生的完 全解析函数 F(z )，F(z )的定义域是邻解析元素给出的定义域的总和。 1 1 2 2 ( ) () () ... ... fz z D Fz f z z D ⎧ ∈ ⎪ = ∈ ⎨ ⎪ ⎩ D2 b1 b1 D2 D1 D1 D2 ( ) 2f z ( ) 1f z D2
四、『函数的解析延拓 (思考:解析延拓的方法) 1实变函数中「函数的定义 (x>0) 说明:(1)∏(x)是含参数(此处为t)的定积分,是解析函数的 种重要表达式,这种表达式特别适于求函数的渐近表 示,或作解析延拓; (2))右边的积分收敛条件是x>0,因此(1)式只定义 了x>0的「函数
四、 Γ函数的解析延拓 （思考：解析延拓的方法） 1.实变函数中 Γ 函数的定义 1 0 ( ) x t x t e dt ∞ − − Γ = ∫ ( 0) x > (1) 说明：(1) Γ( )x 是含参数（此处为 t）的定积分，是解析函数的一 种重要表达式，这种表达式特别适于求函数的渐近表 示，或作解析延拓； (2) (1)式右边的积分收敛条件是 x > 0 ，因此(1)式只定义 了 x > 0 的 Γ 函数
对r(x+-"d进行分部积分,可得递推公式 r(x+1)=xI(x)→I(x)=-I(x+1) 递推公式本来是在x>0的情况下推导出来的,通常又用它把r函 数向x<O的区域延拓。 设x∈(-1,0),定义 r(x)=-(x+)(x+1)∈(0,1)→I(x+1 按(1)式有定义 这样可以得到r(x)x∈(-0 又设x∈(-2,-1),定义 r(x)=-I(x+1)= x(x+1) (x+2)(x+2)(0→(x+2)有定义 这样可以得到r(x)x∈(-2,-1)
对 进行分部积分，可得递推公式 递推公式本来是在 x>0 的情况下推导出来的，通常又用它把 函 数向 x<0 的区域延拓。 设 x∈ −( 1,0)，定义 1 ( ) ( 1) x x x Γ =Γ+ ( 1) (0,1) ( 1) x x + ∈ ⇒Γ + 按(1)式有定义 这样可以得到Γ( )x x ∈ −( 1,0) 又设 x∈− − ( 2, 1)，定义 1 1 ( ) ( 1) ( 2) ( 1) xx x x xx Γ =Γ+= Γ+ + ( 2) (0,1) ( 2) x x + ∈ ⇒Γ + 有定义 这样可以得到Γ( )x x∈− − ( 2, 1) ………….. x e t dt t x ∫ ∞ − Γ + = 0 ( 1) ( 1) 1 Γ( +1) = Γ( ) ⇒ Γ( ) = Γ x + x x x x x Γ
设x∈(-n,-n+1),定义 T(x+n) x(x+1).(x+n-1 r(x)=-I(x+1)及f()=1→r(0)=r(1)=∞→I( 及 l)=-I(0) 00 汪 →凡x=0或负整数:(x)=(x不为负整数呢?) 2复变函数中「函数的定义 (E)=tedt ( Rez=x>0) 「函数的递推公式: I(z+1)=I(-)
设 x nn ∈− − + ( , 1) ，定义 1 () ( ) ( 1)...( 1) x xn xx x n Γ = Γ+ + +− 注： 1 ( ) ( 1) x x x Γ =Γ+ 及 1 1 (1) 1 (0) (1) ( 1) (0) ... 0 1 Γ = ⇒Γ = Γ =∞⇒Γ − = Γ =∞ − ⇒ 凡 x=0 或负整数： （x 不为负整数呢？） 2.复变函数中 Γ 函数的定义 1 0 ( ) z t z t e dt ∞ − − Γ = ∫ (Re 0) z x = > Γ 函数的递推公式： Γ + =Γ ( 1) ( ) z zz Γ(x) = ∞