《数学分析》课程教学资源（讲义）第六章 不定积分

第六章不定积分 61不定积分的概念和运算法则 前面学习了极限、连续函数、实数的连续性,以及导数于微分,特别是重点学习了导 数、微分的概念。我们知道求导是一种运算,它的被运算对象是函数。在以前我们也学过 多的运算。例如,加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数等等。我们可以将求导运算与 这些已知的很熟悉的运算相类比。(用旧的概念和新的概念相类比,从已有的经验中来发现 新概念、新知识中的规律,这是一种数学方法。)我们看看这些旧的运算,我们很快会发现 它们都成对出现,而且每对都是互为逆运算。我们不禁会想到,求导运算是否有逆运算,它 的逆运算是什么? 问题1:求导运算的逆运算是什么?讨论其逆运算的意义何在? 我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是一种形式运算,在实际应用中 是很有用的。例如(1)已知物体的运动规律s=s(t),即路程函数,求物体的瞬时速度v(t) (2)已知曲线y=y(t),求它的切线的斜率。如果我们讨论的是反问题,已知物体运动的 瞬时速度,即速度函数v(t),求物体的运动规律,即路程函数;已知曲线在每一点的切线的 斜率,求此曲线。在解析几何中,对于直线的讨论,由于直线的点的斜率相同,所以用点斜 式很快就能得到。如果所讨论的是一般的,那么就是这里的问题了。我们把求导的逆运算称 为不定积分。 定义:函数∫(x)在区间I上有定义,如果存在函数F(x),使 F(x)=f(x)x∈I 称F(x)是函数f(x)(在区间上)的原函数。 例如: an2)=at(a是 const),所以a2是at的原函数 (snx)=cosx,所以snx是cosx的原函数 (2x2y=x2,所以2x2是x2的原函数

1 第六章 不定积分 6.1 不定积分的概念和运算法则 前面学习了极限、连续函数、实数的连续性，以及导数于微分，特别是重点学习了导 数、微分的概念。我们知道求导是一种运算，它的被运算对象是函数。在以前我们也学过很 多的运算。例如，加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数等等。我们可以将求导运算与 这些已知的很熟悉的运算相类比。（用旧的概念和新的概念相类比，从已有的经验中来发现 新概念、新知识中的规律，这是一种数学方法。）我们看看这些旧的运算，我们很快会发现 它们都成对出现，而且每对都是互为逆运算。我们不禁会想到，求导运算是否有逆运算，它 的逆运算是什么？ 问题 1：求导运算的逆运算是什么？讨论其逆运算的意义何在？ 我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是一种形式运算，在实际应用中 是很有用的。例如（1）已知物体的运动规律 s = s(t) ，即路程函数，求物体的瞬时速度 v(t) ； （2）已知曲线 y = y(t) ，求它的切线的斜率。如果我们讨论的是反问题，已知物体运动的 瞬时速度，即速度函数 v(t) ，求物体的运动规律，即路程函数；已知曲线在每一点的切线的 斜率，求此曲线。在解析几何中，对于直线的讨论，由于直线的点的斜率相同，所以用点斜 式很快就能得到。如果所讨论的是一般的，那么就是这里的问题了。我们把求导的逆运算称 为不定积分。 定义：函数 f (x) 在区间 I 上有定义，如果存在函数 F(x) ，使 F (x) = f (x), x  I ' 称 F(x) 是函数 f (x) （在区间 I 上）的原函数。 例如： at = at 2 ' ) 2 1 ( （ a 是 const），所以 2 2 1 at 是 at 的原函数。 (sin x) cos x ' = ，所以 sin x 是 cos x 的原函数。 2 1 2 1 (2 )' − x = x ，所以 2 1 2x 是 2 1 − x 的原函数

(x3+2)=x2,所以x3+2是x2的原函数。 问题2:函数f(x)的原函数是否存在,即什么样的函数有原函数。如果存在,其原函 数是否唯 对于问题前半截的回答,只能由下一章解答。而对后半截问题的回答则是容易的 显然由F(x)是f(x)的原函数,即F(x)=f(x),则 (F(x)+c)=f(x), (C const) 即F(x)+c也是∫(x)的原函数。由此我们看到,如果一个函数存在原函数,那么这个 函数就有无限多个原函数 问题3:函数f(x)的原函数的结构是什么样子。已知一个原函数为F(x),是否每一个 原函数都可表示为形式F(x)+c?换句话说,除了F(x)+c形式之外,是否还有其它形式 的函数,也是f(x)的原函数? 定理:如果F(x)是函数f(x)的原函数,则函数f(x)的无限多个原函数仅限于 F(x)+c(c是 const)的形式。 证明:已知F(x)是f(x)的原函数,即 F(x=f(x) (1) 设p(x)是函数f(x)的另一个原函数,即 (x)=f(x) (2) (1)与(2)相减,有 y(x)-F(x)=[(x)-F(x)=f(x)-f(x)=0 由第6.1节,例1,(x)-F(x)=c(c是某个常数)或(x)=F(x)+c,亦即函数f(x) 的任意一个原函数p(x)都是F(x)+c的形式 这就给出了函数∫(x)的原函数的构造问题。一个函数的无限多个原函数彼此仅相差 个常数。如果求出了一个原函数,其它所有的原函数也相应的被求出来了 另一方面,定理说明:已知一条原函数曲线,其它的原函数曲线可以用平移的方法得

2 3 2 2)' 3 1 ( x + = x ，所以 2 3 1 3 x + 是 2 x 的原函数。 问题 2：函数 f (x) 的原函数是否存在，即什么样的函数有原函数。如果存在，其原函 数是否唯一？ 对于问题前半截的回答，只能由下一章解答。而对后半截问题的回答则是容易的。 显然由 F(x) 是 f (x) 的原函数，即 ( ) ( ) ' F x = f x ，则 (F(x) + c)'= f (x) ， （ c 是 const） 即 F(x) + c 也是 f (x) 的原函数。由此我们看到，如果一个函数存在原函数，那么这个 函数就有无限多个原函数。 问题 3：函数 f (x) 的原函数的结构是什么样子。已知一个原函数为 F(x) ，是否每一个 原函数都可表示为形式 F(x) + c ？换句话说，除了 F(x) + c 形式之外，是否还有其它形式 的函数，也是 f (x) 的原函数？ 定理：如果 F(x) 是函数 f (x) 的原函数，则函数 f (x) 的无限多个原函数仅限于 F(x) + c （ c 是 const）的形式。 证明：已知 F(x) 是 f (x) 的原函数，即 ( ) ( ) ' F x = f x （1） 设 (x) 是函数 f (x) 的另一个原函数，即 '(x) = f (x) （2） （1） 与（2）相减，有 '(x) − F'(x) = [(x) − F(x)]'= f (x) − f (x) = 0 由第 6.1 节，例 1，(x) − F(x) = c （c 是某个常数）或 (x) = F(x) + c ，亦即函数 f (x) 的任意一个原函数 (x) 都是 F(x) + c 的形式。 这就给出了函数 f (x) 的原函数的构造问题。一个函数的无限多个原函数彼此仅相差一 个常数。如果求出了一个原函数，其它所有的原函数也相应的被求出来了。 另一方面，定理说明：已知一条原函数曲线，其它的原函数曲线可以用平移的方法得

定义:函数f(x)的所有的原函数F(x)+c(c是 const),称为函数f(x)的不定积分 表为 JA(x)dr=F(x)+c (F(x)=f(x)) 其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,c称为积分常数 值得注意的是,一个函数的不定积分既不是一个数,也不是一个函数,而是一个函数 族。例如: 有atd sin x)=cos x, cos xdt=sinx+c x=x xdx=-x+c 我们把求已知函数的原函数的运算称为积分运算,积分运算是微分运算的逆运算 对于一个运算有它的运算法则,有它的公式表,例如乘法运算的法则及其乘法表 不定积分的性质及运算法则 1.((x)y=f(x)或可(x)tx=/f(xh 亦即不定积分的导数(或微分)等于被积函数(或被积表达式)。 证明:设F(x)是函数f(x)的原函数,即F(x)=f(x),则 f(xdx =(F(x)+c)=f(x) 2.「F(x)x=F(x)+c或dF(x)=F(x)+c 亦即函数F(x)的导数(或微分)的不定积分等于函数族F(x)+c。 证明:已知F(x)是函数F(x)的原函数,则 F(xdx= F(x)+ 例如: dsn x= sin x+c d(3x2+x)=3x2+x+c

3 到。 定义：函数 f (x) 的所有的原函数 F(x) + c （ c 是 const），称为函数 f (x) 的不定积分。 表为  f (x)dx = F(x) + c （ F'(x) = f (x) ） 其中 f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式， c 称为积分常数。 值得注意的是，一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数 族。例如： at = at 2 ' ) 2 1 ( ， 有 atdt = at + c  2 2 1 (sin x) cos x ' = ，  cos xdt = sin x + c 3 2 )' 3 1 ( x = x ， x dx = x + c  2 3 3 1 我们把求已知函数的原函数的运算称为积分运算，积分运算是微分运算的逆运算。 对于一个运算有它的运算法则，有它的公式表，例如乘法运算的法则及其乘法表。 一、不定积分的性质及运算法则： 1． ( f (x)dx)'= f (x)  或  d f (x)dx = f (x)dx 亦即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）。 证明：设 F(x) 是函数 f (x) 的原函数，即 ( ) ( ) ' F x = f x ，则 ( f (x)dx)'= (F(x) + c)'= f (x)  2．  F'(x)dx = F(x) + c 或  dF(x) = F(x) + c 亦即函数 F(x) 的导数（或微分）的不定积分等于函数族 F(x) + c 。 证明：已知 F(x) 是函数 F'(x) 的原函数，则  F'(x)dx = F(x) + c 。 例如： ( sin xdx)'= sin x  x + x dx = x + x  2 2 ( (3 ) )' 3  d sin x = sin x + c d x + x = x + x + c  2 2 (3 ) 3

3:(齐次性)j可(x)k=可f(x)d,a是常数,且a≠0 即被积函数的常数因子可以移到积分号的外边。 证明 (可Jf(x)y=(j可(x)ty=(x) ∫可f(x)k=q!「f(x)h 4.(可加性)f(x)±g(x)x=f(x±g(x)dtx。 即两个函数代数和的不定积分等于两个函数不定积分的代数和 证明: f(x)士Jg(xy=(f(x)+」sx)hy =f(x)±g(x) ∫U(x)±g(x)x=(x)士g(x)d。 此法则可推广到n个(有限)函数,即n个函数的代数和的不定积分等于n个函数不 定积分的代数和 3.4.表明积分运算是线性运算,亦即 ∫(x)+g(x)=q∫f(x)d+小g(x)b。 当然,上式也可推出3.4。 类似于从乘法表得到除法表,我们可以从导数公式表得到不定积分的公式表 ∫at=ax+c,a是常数4=x+c x“++c,其中a是常数,a≠-1 a+1 l 4.「axn-1 a2+c,其中a>0,且a≠1 In a 特别∫e'r=e'+c 6.cos xdx=sinx+c

4 3．（齐次性）   af (x)dx = a f (x)dx ，a 是常数，且 a  0。 即被积函数的常数因子可以移到积分号的外边。 证明： (a f (x)dx)'= ( af (x)dx)'= af (x)   ， 即   af (x)dx = a f (x)dx 。 4．（可加性）    [ f (x)  g(x)]dx = f (x)dx  g(x)dx 。 即两个函数代数和的不定积分等于两个函数不定积分的代数和。 证明： ( ( ) ( ) )' ( ( ) )' ( ( ) )'     f x dx  g x dx = f x dx  g x dx ＝ f (x)  g(x) 即    [ f (x)  g(x)]dx = f (x)dx  g(x)dx 。 此法则可推广到 n 个（有限）函数，即 n 个函数的代数和的不定积分等于 n 个函数不 定积分的代数和。 3．4．表明积分运算是线性运算，亦即    [af (x) + bg(x)]dx = a f (x)dx + b g(x)dx 。 当然，上式也可推出 3．4。 类似于从乘法表得到除法表，我们可以从导数公式表得到不定积分的公式表： 1．  adx = ax + c ,  a是常数，dx = x + c 2． , 1 1 1 1 +  − + = +     x  dx x  c 其中 是常数， 3． x c x dx = +  ln 4． , 0, 1 ln 1 = +    a c a a a a dx x x 其中 且 特别 e dx e c x x = +  5．  sin xdx =－cos x + c 6．  cos xdx = sin x + c

cos dx m、=-ctgx+c arcsin x+C=-arccos x+c arctex + c 11.shxdx=chx+c 12.chxdx=shx+c 公式3的补充说明: (1)x> 0时x=1.所以 =nx+c 2)0时(-)=1.所以=b-x)+c 于是,对x>0或x<0,都有 乘法表对于乘法运算相当重要,所以不定积分表对于不定积分同样是相当重要的。 例1:求(4x32-2x2+5x+3x 「(4x32-2x2+5x+3)d 4xdx-2x2dx+5xdx+3dx 4xdx-2x2dx+5 xdx+3 dx 4 235 x3+-x2+3x+c 值得注意的是,等式右端的每个不定积分都有一个任意常数,有限个任意常数的代数和 还是一个任意常数,所以上式只写一个任意常数。 例2:求∫(1-2x)√b (1-2x)√xdx

5 7． tgx c x dx = +  2 cos 8． ctgx c x dx = − +  2 sin 9． x c x c x dx = + = − + −  arcsin arccos 1 2 10． arctgx c x dx = + +  2 1 11．  shxdx = chx + c 12．  chxdx = shx + c 公式 3 的补充说明： （1） ( ) x c x dx x x  x = = +  , ln 1 0时，ln ' 所以 。 （2） ( )   − = = −x + c x dx x x x , ln( ) 1 0时，ln( ) ' 所以 。 于是，对 x  0 或 x  0 ，都有 x c x dx = +  ln 。 乘法表对于乘法运算相当重要，所以不定积分表对于不定积分同样是相当重要的。 例 1：求  (4x − 2x + 5x + 3)dx 3 2 。 解：  (4x − 2x + 5x + 3)dx 3 2 ＝     4x dx − 2x dx + 5xdx + 3dx 3 2 ＝     4 x dx − 2 x dx + 5 xdx + 3 dx 3 2 ＝ x c x x x  −  +  + 3 + 5 5 3 2 4 4 4 3 2 ＝ x − x + x + 3x + c 2 5 3 4 2 3 2 值得注意的是，等式右端的每个不定积分都有一个任意常数，有限个任意常数的代数和 还是一个任意常数，所以上式只写一个任意常数。 例 2：求 x xdx 2 (1 2 )  − 。 解： x xdx 2 (1 2 )  −

13 (x2-4x2+4x2)h x2dx-4x2dx+4 x2dx 2 例3:求 (x-√x(1+ 解: (x-√x)(1+√x) 6 7 dx=xdx-x6 dx==x x+c 例4:求 sin xcos x dx ix sin x cos x cos x" sIn x 例5:求」(10+crg2x)kh (102+cg2x)x ∫0+∫agh=」o+ x sIn x 0b+∫- SIn x ctgr-x+c In 10 例6:求 解: 1+x2-1 dx=dx +x 6

6 ＝ x x x dx  ( − 4 + 4 ) 2 5 2 3 2 1 ＝ x dx x dx x dx    − + 2 5 2 3 2 1 4 4 ＝ x − x + x + c 2 7 2 5 2 3 7 8 5 8 3 2 例 3：求 dx x x x x  − + 3 ( )(1 ) 。 解： dx x x x x  − + 3 ( )(1 ) ＝ dx x dx x dx x x c x x x x = − = − + −    6 7 6 13 6 1 6 7 3 7 6 13 6 例 4：求  x x dx 2 2 sin cos 。 解：  x x dx 2 2 sin cos ＝    = + + x dx x dx dx x x x x 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin sin cos ＝tgx−ctgx+ c 例 5：求 ctg x dx x  (10 + ) 2 。 解： ctg x dx x  (10 + ) 2 ＝ dx x x dx ctg dx dx x x     − + = + 2 2 2 sin 1 sin 10 10 ＝ dx x  10   + − dx x dx 2 sin ＝ ctgx x c x 10 − − + ln 10 1 例 6：求  + dx x x 2 2 1 。 解：  + dx x x 2 2 1 ＝  + + − dx x x 2 2 1 1 1 ＝    + = − + − dx x dx dx x 2 2 1 1 ) 1 1 (1

x-arctex+c 例7:「(chx-5x4+10h10dx=shx-x3+102+c 62分部积分法与变量替换法 虽然我们给出了积分的一些性质和积分运算法则,以及积分公式表,但我们仅对较简单 的函数易求不定积分,而对较复杂的就较难求了 例如:∫xmxd就不能用运算法则来求 另外,如∫cos2xdk亦不能用运算法则和公式来求。所以我们必须新辟途径来求不定积 分。至少我们的思路是要将较繁的化为较简单的来求,把不能用公式表示的化为用公式来表 分部积分法 如果和v都是x的可微函数,由函数乘积的导数公式,有: (uv)=uv+vu lnv’=(nv)-v 从而由不定积分法则与不定积分定义,有: ∫md=j(nya-jvd 亦即 nv’dx=l- Ivu dx (1) 或 udv= uv-vde (2) (1)或(2)式称为分部积分公式 问题1:什么样的函数用分部积分公式? 我们先来看看首先提出的问题 例1:求 xsin xdx 解:设u=x,d= sin xdx,则d=dx,v=-cosx,由公式(2)有: xsin xdx=-xcosx-(cos x )dx

7 ＝ x − arctgx + c 例 7： chx x dx shx x c x x − + = − + +  ( 5 10 ln 10) 10 4 5 6.2 分部积分法与变量替换法 虽然我们给出了积分的一些性质和积分运算法则，以及积分公式表，但我们仅对较简单 的函数易求不定积分，而对较复杂的就较难求了。 例如：  x sin xdx 就不能用运算法则来求。 另外，如  xdx 2 cos 亦不能用运算法则和公式来求。所以我们必须新辟途径来求不定积 分。至少我们的思路是要将较繁的化为较简单的来求，把不能用公式表示的化为用公式来表 示。 一、分部积分法 如果 u 和 v 都是 x 的可微函数，由函数乘积的导数公式，有： (uv)'= uv'+vu' 或 uv' = (uv)'−vu' 从而由不定积分法则与不定积分定义，有：    uv'dx = (uv)'dx − vu'dx 亦即   uv'dx = uv − vu'dx （1） 或   udv = uv − vdu （2） （1）或（2）式称为分部积分公式。 问题 1：什么样的函数用分部积分公式？ 我们先来看看首先提出的问题。 例 1：求  x sin xdx 。 解： 设 u = x,dv = sin xdx ,则 du = dx,v = −cos x ，由公式（2）有：  x sin xdx ＝  − x cos x − (−cos x)dx

=-xcosx+cos xdx=-xcos x+sin x+C 如果没有分部积分公式,xSnx是无论如何也积不出来的。一般来说 xhx, x" sin bx, x cos bx,xeox, x arcsin ax, x arctgbx等等的不定积分要应用 分部积分公式。 但是有一个问题,例如在例1中 选取u=snx,dhv=xdx,用分部积分公式(2)求出d与v,则 du d 由分部积分公式(2),有: xsin xdx= cosx 这样不正当的选取u,v使得不定积分由简化繁,把问题变得更复杂了 问题2.究竟怎样选取u、ⅴ才能使得对具体的被积函数不定积分化得比较简单呢? 例2.求hxdx 解:设u=hx,b=女则如=a,=x。从而 x-x xhnx-x+c 由例1和例2启发,我们知道在xhnx与 x sin bx中,令 In 例3.求 解:设l=hnx,dh x2则a。1 d x d +c -(nx+1)+c

8 ＝  − x cos x + cos xdx＝ − xcos x +sin x + c 如果没有分部积分公式， xsin x 是无论如何也积不出来的。一般来说： ln , sin , cos , , k k k k cos x x x x bx x bx x e x ax x arctgbx k k arcsin , 等等的不定积分要应用 分部积分公式。 但是有一个问题，例如在例 1 中： 选取 u = sin x,dv = xdx ，用分部积分公式（2）求出 du 与 v ，则 2 cos , 2 x du = xdx v = 由分部积分公式（2），有：   = − xdx x x x x xdx cos 2 sin 2 sin 2 2 这样不正当的选取 u, v 使得不定积分由简化繁，把问题变得更复杂了。 问题 2．究竟怎样选取 u、v 才能使得对具体的被积函数不定积分化得比较简单呢？ 例 2．求  ln xdx 解：设 u = ln x ， dv = dx 则 dx x du 1 = ，v = x 。从而  ln xdx =  − dx x x x x 1 ln = xln x − x + c 由例 1 和例 2 启发，我们知道在 x x k ln 与 x bx k sin 中，令 ln x = u ， x dx dv k = ，sin bxdx = du ， x v k = 。 例 3．求  dx x x 2 ln 解：设 u = ln x ， 2 x dx dv = ，则 dx x du 1 = ， x v 1 = − ，有  dx x x 2 ln =  − + 2 ln x dx x x = c x x x − − + ln 1 = x c x − (ln +1) + 1

例4.求|x 解:设 2J1+x arte x ariga 22 (xarctgx +arctgx-x)+c 由此可看到,形如 xarctgx的不定积分中总是令u=agx,xkx=hy 从而 d (x arctan k+1 1+x 例5.求[x2e 解:类似于前面的,我们只须把x2的幂次降下来即可。所以,我们令 dx=h,x2=u,从而 d x 例6.求I= e cos Bxdx,(a≠0) 解:I Brix I ea d(cox Br) Bix sin Bxa 求不定积分「 e sin Bxdx再用(2) Brace")

9 例 4．求  xarctgxdx 解：设 u = arctgx ， xdx = dv ，则 2 1 1 x du + = ， 2 2 1 v = x 从而  xarctgxdx =  + − dx x x arctgx x 2 2 2 2 1 1 2 = c x arctgx arctgx x − + + 2 2 2 2 = x arctgx + arctgx − x) + c 2 1（ 2 由此可看到，形如 x arctgx k 的不定积分中总是令 u = arctgx ， x dx dv k = 从而 ) 1 ( 1 1 2 1 1   + − + = + + dx x x x arctgx k x arctgxdx k k k 例 5．求  x e dx 2 x 解：类似于前面的，我们只须把 2 x 的幂次降下来即可。所以，我们令 e dx dv x = ， x = u 2 ，从而  x e dx 2 x =  x e − xe dx x x 2 2 =  − 2( − ) 2 x e xe e dx x x x = x x e c x ( − 2 + 2) + 2 例 6．求  I = e xdx x   cos ， (  0) 解： I =  e xdx x   cos =  ) 1 cos ( x xd e    = ( ) 1 cos 1  e x − e d cox x x x       =  e x + e xdx x x        cos sin 1 （3） 求不定积分  e xdx x   sin 再用（2）  e xdx x   sin =  ) 1 sin ( x xd e   

Bx In sin e cos xdx B x-1 将(4)代入(3)得 B sin Axr--n) cos众+easn-2l (B sin Bx+a cos Bx) + c B 虽然我们解决了形如∫ xsn]xdx的不定积分,但对于形如」s2xdx的不定 积分我们不能解决。下面我们从这个实例开始讨论: 我们知道「dF(x)=F(x)+c,如果我们把cos2xd表示成dF(x)即可。而此时 dsin 2x= 3cos2xd(2x)=cos2xdx。所以 cos 2xdx=d(sin 2x)=-sin 2x+c 这里实际上是令t=2x(即x=t1),将[cos2xdx化成」d(sn2x)= sn2x+c。这里作了变换t=2x,也即x=-t。 般的,如果求不定积分f(x)dx不能直接应用不定积分公式,通常将自变量x用 新变量t的函数φ(1)代替,令x=0(1),当然,要求函数q(x)导函数连续且存在反函数 f(x)dx=flo(DJo(o)dr 上式称为变量替换公式 证明:d∫(x)=f(x)h flo(nlo(dt fl( lo(odt =flo(ldo(o=f(x)dx

10 =  − (sin ) 1 sin 1 e x e d x x x       =  e x − e xdx x x        sin cos 1 = e x I x      sin − 1 （4） 将（4）代入（3）得 I = sin ) 1 cos ( 1 e x e x I x x           + − = e x e x I x x 2 2 2 cos sin 1          + − 或 I = e xdx x    cos = c e x x x + + + 2 2 ( sin cos )        虽然我们解决了形如  x xdx k sin 的不定积分，但对于形如  cos 2xdx 的不定 积分我们不能解决。下面我们从这个实例开始讨论： 我们知道  dF(x) = F(x) + c ，如果我们把 cos2xdx 表示成 dF(x) 即可。而此时 d x cos 2x d(2x) cos 2xdx 2 1 sin 2 2 1 = = 。所以   xdx = d x = sin 2x + c 2 1 sin 2 ) 2 1 cos 2 ( 这里实际上是令 t = 2x （即 x t 2 1 = ），将  cos 2xdx 化成  sin 2 ) 2 1 d( x = sin 2x + c 2 1 。这里作了变换 t = 2x ，也即 x t 2 1 = 。 一般的，如果求不定积分  f (x)dx 不能直接应用不定积分公式，通常将自变量 x 用 新变量 t 的函数 (t) 代替，令 x = (t) ，当然，要求函数 (x) 导函数连续且存在反函数 ( ) 1 t x − =  ，从而   f (x)dx = f [(t)](t)dt 上式称为变量替换公式 证明：  d f (x)dx = f (x)dx  d f [(t)](t)dt = f [(t)](t)dt = f [(t)]d(t) = f (x)dx