《数学分析》课程教学资源（讲义）第九章 再论实数系

第十六章偏导数与全微分 §1偏导数与全徽分概念 这部分要掌握的 1、连续、偏导数、可微三个概念的定义; 2、连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限,切 勿混淆。考虑函数f(x,y)在(x,y)点的情形,则它们分别为 f(x,y)在点(x0,y)连续定义为:lmnf(x,y)=f(x0,y) y→y0 f(x,y)在点(x0,y)存在偏导数定义为 f(o,yo)=lin f(x, yo)-f(xo, yo2 ok f(ro, yo)= lim /(xo+Ar, yo)-f(ro, yo) f, (ro,yo)=lin f(xo, y)-/o, o pk /, (xo, yo)=lim /(o, yo+Ay)-f(xo, yo) f(x,y)在点(x0,y)可徽定义为 f(xo+Ax,yo +Ay)-f(xo, yo)-f(xo, yo )Ax-f(o, yo )Ay 因此,要讨论f(x,y)点(x,y)的可微性,首先要求∫(x0,y0),f∫(x0,y)。这三个概念之间 的关系可以用下图表示(在(x0,y0)点) ∫连续 f,,J连续 f∫可微 ∫x,J,存在 在上述关系中,反方向均不成立。下面以(x0,y)=(0,0)点为例,逐一讨论 0 例1:f(x,y) 0 0 这是教材中的典型例题,x(00)=J,(0.0)=0均存在,但f(x,y)在(0,0)点不可微,且 imf(x,y)不存在,即f(x,y)在(0,0)点不连续

1 第十六章 偏导数与全微分 §1 偏导数与全微分概念 这部分要掌握的 1、 连续、偏导数、可微三个概念的定义； 2、 连续、偏导数、可微三个概念之间的关系； 二元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的，不同的概念对应不同的极限，切 勿混淆。考虑函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 点的情形，则它们分别为： f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 连续定义为： lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = → → f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 存在偏导数定义为： 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 x x f x y f x y f x y x x x − − = → 或 x f x x y f x y f x y x x x  +  − =  → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 y y f x y f x y f x y y y y − − = → 或 y f x y y f x y f x y y y y  +  − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 可微定义为： 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 =  +  +  +  − −  −   →  → x y f x x y y f x y f x y x f x y y x y y x 因此，要讨论 f (x, y) 点 ( , ) 0 0 x y 的可微性，首先要求 ( , ) 0 0 f x y x ， ( , ) 0 0 f x y y 。这三个概念之间 的关系可以用下图表示（在 ( , ) 0 0 x y 点） 3 1 2 4 在上述关系中，反方向均不成立。下面以 ( , ) (0,0) x0 y0 = 点为例，逐一讨论。 4  2 ，4  3 例 1：      + = +  = + 0, 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 这是教材中的典型例题， f x (0,0) = f y (0,0) = 0 均存在，但 f (x, y) 在 (0,0) 点不可微，且 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 不存在，即 f (x, y) 在 (0,0) 点不连续。 x f ， y f 连续 f 可微 f 连续 x f ， y f 存在

3>4,32例2f(x,y)=√x2+y2,这是上半圆锥,显然在(00点连续, f(x,y)=0=f(00) f(x,0)-f(0,0)√x2|x xx-1-1,x∞) f(xn,yn)=-2√2 nZ cOS2n→>-∞(n→>∞) 故mJx(x,y)不存在,从而f(x,y)在(00)点不连续。由x,y的对称性,J(x,y)在(0,0)点 也不连续 对一元函数,可微与可导是等价的,即:可微分可导。但对二元函数,可微与偏导存在 并不等价,即:可徽→偏导存在,反之未必。应特别引起注意

2 3  4 ，3  2 例 2： 2 2 f (x, y) = x + y ，这是上半圆锥，显然在 (0,0) 点连续， lim ( , ) 0 (0,0) 0 0 f x y f y x = = → → 但    −   = = = − 1, 0 ( ,0) (0,0) | | 1, 0 2 x x x x x x x f x f 故 (0,0) x f 不存在。由 x, y 的对称性， (0,0) y f 不存在。从而， f (x, y) 在 (0,0) 点不可微（否则， (0,0) x f ， (0,0) y f 均存在）。 2  1 例 3：      + = +  + + = 0, 0 , 0 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 0 1 sin lim ( ,0) (0,0) (0,0) lim 2 2 0 0 = = − = → → x x x x f x f f x x x ， 由 x, y 的对称性， f y (0,0) = 0 。 2 2 ( , ) (0,0) (0,0) (0,0) x y f x y f f x f y x y + − − − 0 1 sin 1 ( )sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 → + = + + + + = x y x y x y x y x y （ 0 0 → → y x ） 故 f (x, y) 在 (0,0) 点可微。且 df (0,0) = f x (0,0)dx + f y (0,0)dy = 0      + = +  + + − = + 0, 0 , 0 1 cos 1 2 2 sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x x y x f x y x 取点列 ( , ) n n n P x y ， n xn 2 1 = ， yn = 0 ，显然 P (x , y ) → (0,0)(n → ) n n n f (x , y ) = −2 2n cos2n → −(n → ) x n n   故 lim ( , ) 0 0 f x y x y x → → 不存在，从而 f (x, y) x 在 (0,0) 点不连续。由 x, y 的对称性， f (x, y) y 在 (0,0) 点 也不连续。 对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微  可导。但对二元函数，可微与偏导存在 并不等价，即：可微  偏导存在，反之未必。应特别引起注意

§2复合函数与隐函数微分法 求复合函数与隐函数的偏导数,关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶偏 导时,尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系,才可能正确使用 链式法则。 例1设v=-g(--)c为常数,函数g二阶可导,r +x2,证明 a2y av a2v 1av 证变量之间的关系为v 注意这里g是某变量l的一元函数,而u=1 因为 av ay ar 2ya2,Or、2ova2r 2va2Or、2,vara2va 由x,y,z的对称性得 ()2 ay Or x a2r /sr Or 而 由x,y,=的对称性得 ar y ar r-y ar z a2v av av a2 于是 ax2 ay2 az ar2 ax ar ax- ay a2, 又因为 =g(-5)-1g(-) a2y 2 8(--)+-28(t--)+-2g"(

3 §2 复合函数与隐函数微分法 求复合函数与隐函数的偏导数，关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复合函数的高阶偏 导时，尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系，才可能正确使用 链式法则。 例 1 设 c c r g t r v ( ), 1 = − 为常数，函数 g 二阶可导， 2 2 2 r = x + y + z ，证明 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t v z c v y v x v   =   +   +   证 变量之间的关系为             t z y x r v 注意这里 g 是某变量 u 的一元函数，而 c r u = t − 。 因为 x r r v x v     =   ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) x r r v x r r v x v     +     =   由 x, y,z 的对称性得 2 2 2 2 2 2 2 ( ) y r r v y r r v y v     +     =   ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) z r r v z r r v z v     +     =   而 r x x r =   ， 2 2 2 r x r r x x r   − =   3 2 2 2 2 r r x r r x r − = − = ， 由 x, y,z 的对称性得 r y y r =   ， =   2 2 y r 3 2 2 r r − y ， r z z r =   ， =   2 2 z r 3 2 2 r r − z 。 于是 [( ) ( ) ( ) ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z r y r x r r v z r y r x r r v z v y v x v   +   +     +   +   +     =   +   +   3 2 2 2 2 2 2 2 3 [( ) ( ) ( ) ] r r r r v r z r y r x r v −   + + +   = r r v r v 2 2 2   +   = 又因为 ( ) 1 ( ) 1 2 c r g t c cr r g t r r v − −  − − =   ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 3 2 2 2 c r g t c c r r g t c cr r g t r r v = − +  − +  −  

a8(-5 a-v av2 1 g"(t--) 1 a2y a 注1在求时,要特别注意一的函数关系仍然是 av ry 注2在求一时,注意正确使用导数符号g(t--),不要写成 也不要写成_ a(t °事实上,g_-1 ag (t ar c a2y ay a2v 注3上面的证明简洁清楚,所要求证的微分方程的左边是-+ 函数作为自变量 x,y,z的函数,是由中间变量r=√x2+y2+2复合而成,利用 ()+2)=1 a-r ar ar 2 a2v a2y a2y a2y 0v 2 我们得到了 这样把求v对自变量x,y,z的偏导数转化为对中间变量r的偏导数,从而使计算简单了。试比较 直接求++的情形 c ax cl 8(t-, ar C I s、1 c Cr3 ar8(t 2x ar ar +3xkg(-5)+ 13x2 lg(--)+ cn38(- 由x,yz的对称性得

4 ( ) 1 c r g t t r v =  −   ， ( ) 1 2 2 c r g t t r v =  −   故 r r v r v 2 2 2   +   ( ) 1 2 c r g t c r =  − 2 2 2 1 t v c   = 。 注 1 在求 2 2 x v   时，要特别注意 r v   的函数关系仍然是               t z y x r r v 注 2 在求 r v   时，注意正确使用导数符号 ( ) c r g  t − ，不要写成 g v   ( ) c r t g  −  ，也不要写成 ( ) c r t g  −  或 r g   。事实上， =   r g ( ) 1 c r g t c  − − 。 注 3 上面的证明简洁清楚，所要求证的微分方程的左边是 2 2 2 2 2 2 z v y v x v   +   +   ，函数 v 作为自变量 x, y,z 的函数，是由中间变量 2 2 2 r = x + y + z 复合而成，利用 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 =   +   +   z r y r x r ， z r r y r x r 2 2 2 2 2 2 2 =   +   +   我们得到了 2 2 2 2 2 2 z v y v x v   +   +   r r v r v 2 2 2   +   = 这样把求 v 对自变量 x, y,z 的偏导数转化为对中间变量 r 的偏导数，从而使计算简单了。试比较 直接求 2 2 2 2 2 2 z v y v x v   +   +   的情形。 x r c r g t x cr r c r g t x r v   −  −   − − =   ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) 3 2 c r g t cr x c r g t r x − −  − − = ( ) ( ) 3 ( ) 1 2 3 4 3 2 c r g t x r cr x c r g t x r r x c r g t x r v  −   − +   − + − =   ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 3 2 2 c r g t x r c r x c r g t x r cr x c r g t cr  −    − +   −  − + ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r x r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r x c r g t cr x cr + − +  − +  − 由 x, y,z 的对称性得

dg(t --2+-41g(t--)+-28"(t--) g(t--)+[ 418(t-=)+ a2v ava 8(t 例2设u(x,y)的所有二阶偏导数都连续, 0,(x,2x)=x,a2(x,2x) 试求x(x,2x),l2(x,2x),l(x,2x)。 证注意1(x2a=4(x2x),是a(xy)对x求偏导数之后,令y=2x所得的函数, 而不是u(x,2x)作为x的一元函数对x的导函数。 在(x,2x)=x两边对x求导,得 a1(x,2x)+2u2(x,2x)=1 将u1(x,2x)=x2代入,得 l2(x,2x)=1-x 上式两边对x求导,得 l2(x,2x)+22(x,2x)=-x 在u1(x,2x)=x2两边对x求导,得 l1(x,2x)+2u12(x,2x)=2x 因为(x,y)有连续的二阶偏导数,则a2(x,2x)=l21(x2x),又已知1(x,2x)-l2(x,2x)=0 将上两式联立解得 l12(x,2x)=l21(x,2x)==x,l1(x,2x)=l2(x,2x)=-x lx2(x,2x)=a1x(x,2x)=x,ux(x,2x)=l1(x,2x)=-x。 例3若函数f(x,y,)对任意正实数t满足关系∫(x,y,1)=t"f(x,y,z),则称∫(x,y,)为n 次奇次函数。设∫(x,y,z)可微,试证明∫(x,y,z)为n次齐次函数的充要条件是 af af y(x,y,=) 证 f(tx, ty, t=)

5 2 2 y v   ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r y r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r y c r g t cr y cr + − +  − +  − 2 2 z v   ] ( ) 1 3 [ 5 2 3 c r g t r z r + − − = ] ( ) ( ) 1 3 [ 2 3 2 4 2 2 c r g t c r z c r g t cr z cr + − +  − +  − 则 2 2 2 2 2 2 z v y v x v   +   +   ( ) 1 2 c r g t c r =  − 2 2 2 1 t v c   = 。 例 2 设 u(x, y) 的所有二阶偏导数都连续， 0 2 2 2 2 =   −   y u x u ， u(x,2x) = x ， 2 u (x,2x) x x = 试求 u (x,2x) xx ，u (x,2x) xy ，u (x,2x) yy 。 证 注意 | 2 ( ,2 ) y x x x u u x x =   = ( ,2 ) 1 = u x x ，是 u(x, y) 对 x 求偏导数之后，令 y = 2x 所得的函数， 而不是 u(x,2x) 作为 x 的一元函数对 x 的导函数。 在 u(x,2x) = x 两边对 x 求导，得 u1 (x,2x) + 2u2 (x,2x) =1 将 2 1 u (x,2x) = x 代入，得 2 2u2 (x,2x) =1− x 上式两边对 x 求导，得 u (x,2x) + 2u (x,2x) = −x 21 22 在 2 1 u (x,2x) = x 两边对 x 求导，得 u (x,2x) 2u (x,2x) 2x 11 + 12 = 因为 u(x, y) 有连续的二阶偏导数，则 ( ,2 ) ( ,2 ) 12 21 u x x = u x x ，又已知 u11(x,2x) −u22 (x,2x) = 0， 将上两式联立解得 u x x u x x x 3 5 ( ,2 ) ( ,2 ) 12 = 21 = ， u x x u x x x 3 4 ( ,2 ) ( ,2 ) 11 = 22 = − 。 即 u x x u x x x xy yx 3 5 ( ,2 ) = ( ,2 ) = ， u x x u x x x xx yy 3 4 ( ,2 ) = ( ,2 ) = − 。 例 3 若函数 f (x, y,z) 对任意正实数 t 满足关系 f (tx,ty,tz) t f (x, y,z) n = ，则称 f (x, y,z) 为 n 次奇次函数。设 f (x, y,z) 可微，试证明 f (x, y,z) 为 n 次齐次函数的充要条件是 nf (x, y,z) z f z y f y x f x =   +   +   证 "" 令 n t f tx ty tz G t ( , , ) ( ) = ，则

G÷txf(x0,)+y(xm,12)+/(x0,)-n(x,,) 0 故G(t)与1无关,从而G()=G(1)=∫(x,y,=),即 f(x,y,=)=t"f( →”方程∫(x,y,1)=tf(x,y,z)两边分别对x,y,,t求导,得 U1(x,y,1)=t"f2(x,y,), 2(xy,t)=t”f(x,y,2) (1x,y,1=)=t"f:(x,y,z), xf,+y2+3f3 f(x,y,z 将前面三式代入第四式即得 y(x,y,=) 或在上面四式中令t=1,得 f=f, f2=f,,f=f, xf+y2+f3=nf(x,y,=) 可f x atya+a-nf(x, y, 2)o 变换微分方程 例4设 x+ 1 x-y,w=ze”,变换方程 (假设出现的导数都连续)。 xty 解这里既有自变量的变换u2,V=2’也有函数的变换w=ze。自变量由原来的 x,y变换为u,v,函数由原来的z变换为w。为了把原来的函数z(x,y)变换为函数w=w(u,v), 可以把原来的函数x(x,y)视为如下的复合 z=we w=w(u,v),u= xt) x-y

6 0 [ ( , , ) ( , , ) ( , , )] ( , , ) ( ) 1 1 2 3 = + + −  = n+ t x f tx ty t z yf tx ty t z zf tx ty t z t nf tx ty t z G t ， 故 G(t) 与 t 无关，从而 G(t) = G(1) = f (x, y,z) ，即 f (tx,ty,tz) t f (x, y,z) n = "" 方程 f (tx,ty,tz) t f (x, y,z) n = 两边分别对 x, y,z,t 求导，得 ( , , ) ( , , ) 1 tf tx ty tz t f x y z x n = ， ( , , ) ( , , ) 2 tf tx ty tz t f x y z y n = ， ( , , ) ( , , ) 3 tf tx ty tz t f x y z z n = ， ( , , ) 1 1 2 3 xf yf zf nt f x y z n− + + = ， 将前面三式代入第四式即得 nf (x, y,z) z f z y f y x f x =   +   +   。 或在上面四式中令 t =1 ，得 x f = f 1 ， y f = f 2 ， z f = f 3 ， ( , , ) 1 2 3 xf + yf + zf = nf x y z 即 nf (x, y,z) z f z y f y x f x =   +   +   。 变换微分方程 例 4 设 2 x y u + = ， 2 x y v − = ， y w = ze ，变换方程 z x z x y z x z =   +    +   2 2 2 （假设出现的导数都连续）。 解 这里既有自变量的变换 2 x y u + = ， 2 x y v − = ，也有函数的变换 y w = ze 。自变量由原来的 x, y 变换为 u, v ，函数由原来的 z 变换为 w 。为了把原来的函数 z(x, y) 变换为函数 w = w(u,v) ， 可以把原来的函数 z(x, y) 视为如下的复合 y z we − = ， w = w(u,v) ， 2 x y u + = ， 2 x y v − =

Ay az_r O Ou Oww OvI-yrOw,aw au av ax 2 au ax ax ax ay2 ax 4 au2 an 2waa2 y au av、a2wav -e-' 182a2w 故 Ox andy ax 2 au dudy a2w a21 例5设F(x+2,y+2)=0,求d2,x,,y° 证方程F(x+z,y+-)=0确定了函数(x,y),在方程两边求微分,得 (ax+d)F+(dy+d)F2=0 止=(Fdx+F2dhy) F1+F2 两边再求微分,得Fd2z+[ax+a)F1+(d+d)F2kax+d) F2d=+[dx+d=F21+dy+d)F22Idy+d)=0 解得d [F1dx2+F2dy2+(F1+2F12+F2)d +2Fi2dxdy+ 2[(F2+F22)dy+(Fu+ F2udxJd F2,dy-+(Fl+2F, (F1ax+F2)2 F1+F2 (F1+F2)2 7

7 即                       y y x v y x u w z 则 [ ] 2 1 [ ] v w u w e x v v w x u u w e x z y y   +   =     +     =   − − [ ( ) ] 2 1 2 2 2 2 2 2 2 x v v w x v x u u v w x u u w e x z y     +   +      +     =   − [ 2 ] 4 1 2 2 2 2 2 v w u v w u w e y   +    +   = − [ ( ) ] 2 1 2 2 2 2 2 2 y v v w y v y u u v w y u u w e x y z y     +   +      +     =    − [ ] 2 1 v w u w e y   +   − − [ ] 4 1 2 2 2 2 v w u w e y   −   = − [ ] 2 1 v w u w e y   +   − − 故 =   +    +   x z x y z x z 2 2 2 z u v w u w e y =    +  −  [ ] 2 1 2 2 2 即 w u v w u w 2 2 2 2 =    +   例 5 设 F(x + z, y + z) = 0 ，求 xx xy yy d z,z ,z ,z 2 。 证 方程 F(x + z, y + z) = 0 确定了函数 z(x, y) ，在方程两边求微分，得 (dx + dz)F1 + (dy + dz)F2 = 0  ( ) 1 1 2 1 2 F dx F dy F F dz + + − = 两边再求微分，得 F d z + 2 1 [( ) ( ) ]( ) dx + dz F11 + dy + dz F12 dx + dz + F d z + 2 2 [(dx + dz)F21 + (dy + dz)F22 ](dy + dz) = 0 解得 2 11 12 22 2 22 2 11 1 2 2 [ ( 2 ) 1 F dx F dy F F F dz F F d z + + + + + − = 2F dxdy 2[(F F )dy (F F )dx]dz + 12 + 12 + 22 + 11 + 21 [ ( 2 ) 1 11 12 22 2 22 2 11 1 2 F dx F dy F F F F F + + + + + − = 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) F F F dx F dy + +

+2F12xdy-2(F12+F2)d+(F1+F21)dx] Fdx+fdy F1+F2 +(,2(计+F+F(F1+2F2+F2 F1+F2 (F1+F2)2 2F2(F12+F2),F2(F1+2F12+F2 F1+F2 (F1+F2) +2(F1 F(F2+F2)+F2(F1+F21),(F1+2F12+F2)FF2 (F1+F2) dxd小y] F1+F2 故 [F1 2F1(F1+F21),F1(F1+2F12+F2 F1+F2 F1+F2 (F1+F2)2 2(F1+2)+点(hn+2h+) F1+F2 (F1+F2)2 +F2-(F2+F2)+F(F1+F)+(F1+2F12+F2)F少 2 F1+F2 (F1+F2)2 §4方向导数 对多元函数u=f(P),前面曾讨论了它在某点(x0,y)的可微、偏导数、连续之间的关系。 下面进一步讨论方向导数与这些概念之间的关系。如下图 ∫连续 f可 ∫x,J,存在 可f d eln, atk 存在 4 a(±i) 存在 1→4课本定理 3→5由偏导数定义和方向导数定义即得 ￥3,5÷3例:函数二=x2+y2在P(00)点沿任意方向的方向导数存在, a() a()

8 2 2[( ) ( ) ] + F12dxdy− F12 + F22 dy + F11 + F21 dx 1 2 1 2 F F F dx F dy + + 2 2 1 2 11 12 22 2 1 1 2 1 11 21 11 1 2 ) ( ) 2 ( ) ( 2 ) [( 1 dx F F F F F F F F F F F F F F + + + + + + − + − = + + + + + + + + − 2 2 1 2 11 12 22 2 2 1 2 2 12 22 22 ) ( ) 2 ( ) ( 2 ) ( dy F F F F F F F F F F F F ) ] ( ) ( ) ( ) ( 2 ) 2( 2 1 2 11 12 22 1 2 1 2 1 12 22 2 11 21 12 dxdy F F F F F F F F F F F F F F F F + + + + + + + + + − 故 ] ( ) 2 ( ) ( 2 ) [ 1 2 1 2 11 12 22 2 1 1 2 1 11 21 11 1 2 F F F F F F F F F F F F F F z xx + + + + + + − + − = ] ( ) 2 ( ) ( 2 ) [ 1 2 1 2 11 12 22 2 2 1 2 2 12 22 22 1 2 F F F F F F F F F F F F F F z yy + + + + + + − + − = ] ( ) ( ) ( ) ( 2 ) [ 2 2 1 2 11 12 22 1 2 1 2 1 12 22 2 11 21 12 1 F F F F F F F F F F F F F F F F F F z xy + + + + + + + + − + − = §4 方向导数 对多元函数 u = f (P) ，前面曾讨论了它在某点 ( , ) 0 0 x y 的可微、偏导数、连续之间的关系。 下面进一步讨论方向导数与这些概念之间的关系。如下图 2 1 3 5 4 1  4 课本定理 3  5 由偏导数定义和方向导数定义即得。 4  3，5  3 例：函数 2 2 z = x + y 在 (0,0) P0 点沿任意方向 l  的方向导数存在， 1 0 lim ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 = + + − =   → x y x y l f P   z f 可微 f 连续 x f ， y f 存在 l   ， l f   存在 ( i ) f     ， ( j) f     ， ( k ) f     存在

特别地,沿坐标轴正、负向的方向导数为 af(Po lim o() lim a(±i)Ax0|△x a(±j)ax-0|△y 但y() = lim 不存在。同理 af(Po) 不存在。 ay 从上面的讨论不难看出,关于3、5有以下结论 (1)af(P) 存在台(P)cf(P) 存在,且 a(±i)a(±j) af (po) af(po) af(po) af(po) a(-i)可 a(-j) 这时有()=9(B),y(B)=9(P 41否则有4→3,与小3矛盾 x+y≠0 2例:f(x,y)={x+y +y=0 lim f(r, y =lim x(x+kx)-1 k 故f(x,y)在B(00)点不连续,。但任意方向1=(0s.smO),当0≠3z,7z lm /(pcos, psin 0)-/(0,0)-lim_p cosesin8-cosesin 6 0 p-(cos 0+sin 6) cos+sin 8 当 时,mf( p cost, psn6)-f(00)_10-0 =Im =0 即f(x,y)在P(0,0)点沿任意方向的方向导数都存在 =|cos+snO,0≠ cossie 3丌7丌 44 52否则有4→2,与42矛盾。或否则与32矛盾。 24例!;设∫(x,y)=(x2+y2)y3,显然∫(x,y)在P(0.0)点连续,但沿任意方向

9 特别地，沿坐标轴正、负向的方向导数为 1 | | | | 0 lim ( ) ( ) 0 0 =   − =     → x x i f P x  ， 1 | | | | 0 lim ( ) ( ) 0 0 =   − =     → y y j f P x  。 y 但 x x x f P x   − =    → | | 0 lim ( ) 0 0 不存在。同理， y f P   ( ) 0 不存在。 从上面的讨论不难看出，关于 3、5 有以下结论： x f P   ( ) 0 ， y f P   ( ) 0 存在  ( ) ( ) 0 i f P     ， ( ) ( ) 0 j f P     存在，且 =   i f P  ( ) 0 ( ) ( ) 0 i f P   −  − ， =   j f P  ( ) 0 ( ) ( ) 0 j f P   −  − 这时有 x f P   ( ) 0 i f P    = ( ) 0 ， y f P   ( ) 0 j f P    = ( ) 0 。 4  1 否则有 4  3，与 4  3 矛盾 4  2 例：      + = +  = + 0, 0 , 0 ( , ) x y x y x y xy f x y kx k x x kx f x y x y x kx x ( ) 1 lim ( , ) lim 2 2 0 0 2 − = − + = → =− + → 故 f (x, y) 在 (0,0) P0 点不连续。但任意方向 l = (cos ,sin  )  ，当 4 7 , 4 3    时， = + = − → → (cos sin ) cos sin lim ( cos , sin ) (0,0) lim 2 2 0 0              f f     cos sin cos sin + ， 当 4 7 , 4 3   = 时， 0 0 0 lim ( cos , sin ) (0,0) lim 0 0 = − = − →  →        f f ， 即 f (x, y) 在 (0,0) P0 点沿任意方向 l  的方向导数都存在       =  + =   4 7 , 4 3 0, 4 7 , 4 3 , cos sin cos sin           l f  5  2 否则有 4  2，与 4  2 矛盾。或否则与 3  2 矛盾。 2  4 例： 设 2 2 1/ 3 f (x, y) = (x + y ) ，显然 f (x, y) 在 (0,0) P0 点连续，但沿任意方向 l 

的方向导数不存在,事实上 lim /(ecos, psin 0)-/(0,0) m 不存在 6 34例:设f(x,y) 0.xy=0·则90)=900)=0,但 1,xy≠0 f(ecos 8, psin 0)-f(0, 0) ≠ 1不存在 Taylor公式 aylor公式的几种形式 若函数∫(x,y)在P(x,y)点的某领域内有直到n+1阶连续偏导数,则 (D)/(x, y)=f(o+Ax, yo+Ay)=2M(Ax+Ay m)'(xo, yo)+R 其中Rn (n+1)! xdf(xn+Br,y+的Ay) +△v (2)为方便,记h=Ax,k=△y,则 f(, y)=f(xo +h,yo +k)=2I(h+ko)'f(o, yo)+R 其中 R 0+k2)/(x+m,y30+(k) (n+l(h-+k (3)(xy)=(x+△x0+Ay)=∑/(x,)+R 其中Rn d"f(xo +BAr, yo+BAy (n+1) 这是用微分表示的 Taylor公式,它与一元函数的 Taylor公式在形式上更为接近,由此也可以看到 元函数中fm(x)在二元函数的对应物是d"(x,y) 例1设函数∫(x,y)有直到n阶连续偏导数,试证u(t)=∫(a+ht,b+kD)的n阶导数 l"(1)=(h+k)”f(a+ht,b+k)

10 的方向导数不存在，事实上 1/ 6 0 0 1 lim ( cos , sin ) (0,0) lim       → → = f − f 不存在。 3  4 例： 设    =  = 0, 0 1, 0 ( , ) xy xy f x y ，则 0 (0,0) (0,0) =   =   y f x f ，但 2 3 , , 2 0,      时，         1 lim ( cos , sin ) (0,0) lim →0 →0 = f − f 不存在。 §5 Taylor 公式 Taylor 公式的几种形式 若函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 0 P x y 点的某领域内有直到 n +1 阶连续偏导数，则 （1） n k n k f x y R y y x x k f x y f x x y y +   +    = +  +  =   = ( ) ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 其中 ( ) ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 f x x y y y y x x n R n n +  +    +     + = +   （2）为方便，记 h = x, k = y ，则 n k n k f x y R y k x h k f x y f x h y k +   +   = + + = = ( ) ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 其中 ( ) ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 f x h y k y k x h n R n n + +   +   + = + （3） n k n k d f x y R k f x y = f x + x y + y =  + = ( , ) ! 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 其中 ( , ) ( 1)! 1 0 0 1 d f x x y y n R n n +  +  + = +   这是用微分表示的 Taylor 公式，它与一元函数的 Taylor 公式在形式上更为接近，由此也可以看到 一元函数中 ( ) ( ) f x n 在二元函数的对应物是 ( , ) ( ) df x y n 。 例 1 设函数 f (x, y) 有直到 n 阶连续偏导数，试证 u(t) = f (a + ht,b + kt) 的 n 阶导数 ( ) ( ) ( , ) ( ) f a ht b kt y k x u t h n n + +   +   =