《数学物理方法》电子教案 李高翔吴少平
《数学物理方法》电子教案 李高翔 吴少平
第一篇复变函数论 第一章复变函数和解析函数 思考:复变函数和实变函数的区别和联系。 实变函数:实变量的函数。例:xy-实变量;fxy)一实变函数 复变函数:复变量的函数,实变函数的推广。 实数→实变量→实变函数 复数→复变量→复变函数
第一篇 复变函数论 第一章 复变函数和解析函数 思考：复变函数和实变函数的区别和联系。 实变函数：实变量的函数。例：x,y— 实变量；f(x,y) —实变函数 复变函数：复变量的函数，实变函数的推广。 实数→实变量→实变函数 复数→复变量→复变函数
§1.1复数(复数的定义,几何表示,运算规则) 数的扩展:正数→负数→实数 在实数范围内:方程ax2+bxc 当△=b2-4ac<0时,没有实根。 →扩大数域,引进复数
§1.1 复数 （复数的定义，几何表示，运算规则） 数的扩展：正数→负数→实数 在实数范围内：方程 当 时，没有实根。 →扩大数域，引进复数 0 2 ax + bx + c = 4 0 2 Δ = b − ac <
一、复数的定义和基本概念 1定义:复数——形如z=x+iy的数(xy为实数,=1,i:虚数单位) 2基本概念:x=ReZ(实部)y=ImZ(虚部 纯虚数,共轭复数(z,z*),复数相等 二、复数的表示方法 1复平面 (1)直角坐标表示:在坐标平面xoy上,用点(xy表示复数zx+iy 平面上的点(xy)与复数z-x+iy一一对应。全体复数布满整个平 面——复平面(或z平面)
一、复数的定义和基本概念 1.定义：复数——形如 z=x+iy 的数（x,y 为实数， 2 i =−1，i：虚数单位） 2.基本概念：x=ReZ（实部） y=Im Z（虚部） 纯虚数，共轭复数（ z，z* ）,复数相等 二、复数的表示方法 1.复平面 (1)直角坐标表示：在坐标平面 xoy 上，用点(x,y)表示复数 z=x+iy →平面上的点(x,y)与复数 z=x+iy 一一对应。全体复数布满整个平 面——复平面（或 z 平面）
定义:x轴——实轴,y轴一一虚轴 从原点(0.0)出发指向点(xy)的矢量——复矢量 (2)极坐标表示:复平面上的点用极坐标(p,p)表示 x=pcos y=psin p →2=(0s9+in)(p:z的模,q:z的辐角) 注:用极坐标表示一个复数z时,辐角Argz的值不唯一: 0=00+2kr(k=0,±1 辐角主值:argz(0 <argz<2m) 辐角 Argzarg=+2kT(k=0, +1.) 利用欧拉公式: coso +isin p, 有 z=P(cos o+isin o)=pe
定义：x 轴——实轴，y 轴——虚轴 从原点(0,0)出发指向点(x,y)的矢量——复矢量。 (2)极坐标表示：复平面上的点用极坐标 表示 cos sin x y ρ ϕ ρ ϕ ⎧ = ⎨⎩ = ⇒= + z i ρϕ ϕ (cos sin ) （ ：z 的模， ：z 的辐角） 注：用极坐标表示一个复数 z 时，辐角 Argz 的值不唯一： 0 ϕϕ π = + =± 2 ( 0, 1...) k k 辐角主值： 辐角： Az z kk rg arg 2 ( 0, 1...) = + =± π 利用欧拉公式： cos sin i e i ϕ = + ϕ ϕ ，有 (cos sin ) i z ie ϕ = += ρ ϕ ϕρ (ρ,ϕ) ρ ϕ arg z (0 ≤ arg z < 2π )
2复球面 复数不仅可以用平面上的点表示,还可用球面上的点表示。 方法:过复平面的坐标原点作一球面与复球面相切,过o作复平面 的垂线交球面于N点(北极点),作射线NP交球面于P点,交复平 面于P点,可知P屿与P对应,所以以0为圆心的圆L上的点与复球 面纬线L上的点相对应,圆L内部的点与L下方的点对应。 圆L的半径ρ→∞,L趋向球顶缩成一点N 复平面的无限远处对应于球面上的一点N 这样,复平面的无限远处看成一个“点”—无限远点
2.复球面 复数不仅可以用平面上的点表示，还可用球面上的点表示。 方法：过复平面的坐标原点作一球面与复球面相切，过 o 作复平面 的垂线交球面于 N 点（北极点），作射线 NP 交球面于 P’点，交复平 面于 P 点，可知 P’与 P 对应，所以以 o 为圆心的圆 L 上的点与复球 面纬线 L’上的点相对应，圆 L 内部的点与 L’下方的点对应。 圆 L 的半径 ，L’趋向球顶缩成一点 N →复平面的无限远处对应于球面上的一点 N 这样，复平面的无限远处看成一个“点”——无限远点。 ρ → ∞
三、复数的运算规则 由于实数是复数的特例,故在规定其运算方法时,既 应使复数运算的法则适用于实数特例时,能够和实数运算 的结果相符合,又应使复数的算术运算能够满足实数算术 运算的一般规律(如交换律,结合律等)
三、复数的运算规则 由于实数是复数的特例，故在规定其运算方法时，既 应使复数运算的法则适用于实数特例时，能够和实数运算 的结果相符合，又应使复数的算术运算能够满足实数算术 运算的一般规律（如交换律，结合律等）
1加法Z=Z1+Z2=(x1+iy)+(x2+iy2)=(x+x2)+i(y1+y2) 几何意义:-1,2为复矢量。x=21+2遵守平行四边形 法则。 这样:|+222+2(两边之和不小于第三边) 1-2124-2(一边不小于两边之差) 2减法:Z=Z1-2=(x+iy)-(x1+iy)=(x-x)+i(y-y) 3乘法 Z=ZxZ=(x+iy, ).(x,+iy,)=(xx y,y2)+(xy 2 +,, Z1×2=pe"n2e n2e+) (模相乘,辐角相加)
1.加法ZZ Z =+ = 1 2 （x +iy）+（x +iy ）=(x +x )+i(y +y ) 1 1 2 2 12 12 几何意义： 1 z ， 2 z 为复矢量。 1 2 z = z + z 遵守平行四边形 法则。 这样： Z Z ZZ 1 2 12 + ≥+ （两边之和不小于第三边） ZZ Z Z 12 1 2 −≥− （一边不小于两边之差） 2.减法：ZZZ =− = 1 2 （x +iy）-（x +iy ） 1 1 2 2 12 12 =(x -x )+i(y -y ) 3.乘法: ZZZ =×= ⋅ 1 2 （x +iy） 1 1 2 2 12 12 12 21 （x +iy）=(xx -yy )+i(xy +x y ) 1 2 12 ( ) 1 2 1 2 12 ii i ZZ e e e ϕ ϕ ϕϕ ρ ρ ρρ + ×= = (模相乘,辐角相加)
4除法之=2=+1(x)1)2(+x2 Z, X,+iy2 (x,+iy).(x2-iy2) x2+y2 (分母有理化) p,e pI Z,pie p2 (模相除,辐角相减) 5乘方N个Z相乘 pe 棣摩弗公式(CoSo+ -lSin pp)y= cos n+ -sInne
4.除法: 1 2 Z Z Z ⋅ == + ⋅ 1 1 1 1 2 2 12 12 21 12 22 22 2 2 2 2 2 2 22 22 x +iy （x +iy）（x -iy ） (x x +y y ) x y -x y = = +i x +iy （x +iy ）（x -iy ） x +y x +y (分母有理化) 1 1 2 2 11 1 ( ) 22 2 i i i Z e e Z e ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ρ ρ ρ − = = (模相除，辐角相减) 5.乘方:N 个 Z 相乘 n n in Z e ϕ = ρ 棣摩弗公式: (cos sin ) cos sin n ϕϕ ϕ ϕ + =+ i nin
6开方:0= 令 设W=De 已知p,0,求:P, e e",有: p=po →p=Vo . kT n=00+2kz (k:整数) nn 即w的模p与的模一一对应 w的辐角与-的辐角不是一一对应 仅有n个不同的值满足w"=0 即 poe (k=0,,…-1)
6.开方: 令 。设 ， 。 已知 ，求： 由 ，有: 即 w 的模 ρ 与 的模一一对应. w 的辐角与 的辐角不是一一对应. 仅有 n 个不同的值满足 即 0 z 0 z n z0 = w 0 w z n = ϕ ρ i w = e 0 0 0 ϕ ρ i z = e 0 0 ρ ,ϕ ρ, ϕ 0 0 ϕ ϕ ρ ρ n in i e = e ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = + → = + = → = ( ) 2 2 0 0 0 0 k：整数 n k n n k n n ϕ π ϕ ϕ π ϕ ρ ρ ρ ρ 0 w z n = ( 0,1, 1) ) 2 ( 0 0 0 = = = − + w z e k n nk n i n n " ϕ π ρ