《高等数学》课程教学资源：第十二章（12.11）微分方程的幂级数解法

§12.1微分方程的幂级数解法 当微分方程的解不能用初等函数或其积分表 达时,我们就要寻求其它解法.常用的有幂级数解 法和数值解法.本节我们简单地介绍微分方程的 幂级数解法. 自

§12.11 微分方程的幂级数解法 首页 上页 返回 下页 结束 铃 当微分方程的解不能用初等函数或其积分表 达时 我们就要寻求其它解法 常用的有幂级数解 法和数值解法 本节我们简单地介绍微分方程的 幂级数解法

幂级数解法基本思想 求微分方程=f(x,y)满足初始条件y==y的特解, 其中函数(x,y)是(x-x)、(y-y)的多项式 f(x,y)=aod+a10(x-x0)+a01(y-y0)+…+alm2(x-x0)/(y-y0) 这时我们可以设所求特解可展开为x-x的幂级数: 2=y+a1(x-x)+a2(x-x0)2+……+an(x-x0)2+ 其中a1,a2……,an,……,是待定的系数.把所设特解代入微分 方程中,便得一恒等式,比较这恒等式两端x-x0的同次幂的系 数,就可定出常数a1,a2,…,从而得到所求的特解 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 求微分方程 f (x, y) dx dy = 满足初始条件 0 0 y| y x=x = 的特解 其中函数f(x y)是(x−x0 )、(y−y0 )的多项式 f(x y)=a00+a10(x−x0 )+a01(y−y0 )+    +aim (x−x0 ) l (y−y0 ) m 这时我们可以设所求特解可展开为x−x0的幂级数 y=y0+a1 (x−x0 )+a2 (x−x0 ) 2+    +an (x−x0 ) n+     其中a1  a2      an      是待定的系数 把所设特解代入微分 方程中 便得一恒等式 比较这恒等式两端x−x0的同次幂的系 数 就可定出常数a1  a2      从而得到所求的特解 ❖幂级数解法基本思想

例1求方程y=x+y2满足y=0的特解 解这时x=0,y=0,故设 y=arxta2x-ta3xtaar 把y及y的幂级数展开式代入原方程,得 a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a3x4+… EXHaxtaoxta2x+ax++ =x+a12x2+2a1a2x3+(2+2a1a3)x4+ 由此,比较恒等式两端x的同次幂的系数,得 a1=0,a2=,a3=0,a4=0 0 于是所求解的幂级数展开式的开始几项为 y=7x2+ox3+ 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 于是所求解的幂级数展开式的开始几项为 下页 例1 求方程y=x+y 2满足y| x=0=0的特解 这时x0=0 y0=0 故设 y=a1 x+a2 x 2+a3 x 3+a4 x 4+     把y及y的幂级数展开式代入原方程 得 a1+2a2 x+3a3 x 2+4a4 x 3+5a5 x 4+    =x+(a1 x+a2 x 2+a3 x 3+a4 x 4+    ) 2 =x+a1 2x 2+2a1 a2 x 3+(a2 2+2a1 a3 )x 4+     由此 比较恒等式两端x的同次幂的系数 得 a1=0 2 1 a2 =  a3=0 a4=0 20 1 a5 =      20 1 2 1 2 5 y= x + x +  

今定理 如果方程 y"+P(x)y+Q(x)=0 中的系数Px)与Q(x)可在一R<x<R内展开为x的幂级数,那么在 R<x<R内此方程必有形如 ∑anx 的解 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理 如果方程 y+P(x)y+Q(x)y=0 中的系数P(x)与Q(x)可在−R<x<R内展开为x的幂级数 那么在 −R<x<R内此方程必有形如 n n n y a x  = = 0 的解

例2求方程y-xy=0的满足y=a=0,y10=1的特解 解这里P(x)=0,Q(x)x在整个数轴上满足定理的条件 因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数 y=aotaxta2r+ 由条件y0=0,得a=0;由ya=1,得a1=1 把y及y代入方程y-xy=0,得> 2a2+3.2a3x+(43a4-1)x2+(54a5-a2)x3+ +(6·5a6-a3)x4+…+(n+2)(m+1)an+2-an1x+……=0 提示:y=a1+2a2x+30x2+4a4x3+…+mxn4+ y=2a2x+3.2a3x+4.3ax2+……+m(n-1) 返回 页结東

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 下页 例2 求方程y−xy=0的满足y| x=0=0 y| x=0=1的特解 解 这里P(x)=0 Q(x)=−x在整个数轴上满足定理的条件 因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数 y=a1+2a2 x+3a3 x 2+4a4 x 3+    +nan x n−1+     y=a0+a1 x+a2 x 2+a3 x 3+a4 x 4+     y=2a2 x+32a3 x+43a4 x 2+    +n(n−1)an x n−2+     把y及y代入方程y−xy=0得 2a2+32a3 x+(43a4−1)x 2+(54a5−a 2 )x 3+ +(65a6−a3 )x 4+    +[(n+2)(n+1)an+2−an−1 ]x n+    =0 由y| 由条件y| x=0=0 得a0=0 x=0=1 得 a1=1 >>>

例2求方程y-xy=0的满足y=a=0,y10=1的特解 解这里P(x)=0,Q(x)x在整个数轴上满足定理的条件 因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数 y=aotaxta2r+ 由条件y0=0,得a0=0;由y"l=0=1,得a1=1 把y及y代入方程y-xy=0,得 2a2+3.2a3x+(43a4-1)x2+(54a5-a2)x3+ +(6·5a6-a3)x4+……+(n+2)(m+1)an+2-an1]x+……=0 于是>a2=0,a3=0,a5=0,a6=0,a8=0,a9=0, a4=43 7.64.301010.9.76.4.3 因此特解为y=x1+×不64+o。1 x10+ 10.9.7.6.43 首页上页返回 下”结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 >>> 例2 求方程y−xy=0的满足y| x=0=0 y| x=0=1的特解 解 这里P(x)=0 Q(x)=−x在整个数轴上满足定理的条件 因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数 y=a0+a1 x+a2 x 2+a3 x 3+a4 x 4+     把y及y代入方程y−xy=0得 2a2+32a3 x+(43a4−1)x 2+(54a5−a 2 )x 3+ +(65a6−a3 )x 4+    +[(n+2)(n+1)an+2−an−1 ]x n+    =0 由y| 由条件y| x=0=0 得a0=0 x=0=1 得 a1=1 4 3 1 4  a =  7 6 4 3 1 7    a =  10 9 7 6 4 3 1 1 0      a =      于是 a2=0 a3=0 a5=0 a6=0 a8=0 a9=0 因此特解为 10 9 7 6 4 3 1 7 6 4 3 1 4 3 1 4 7 1 0+       +    +  y=x+ x x x 