第三章复变函数的级数 无穷级数: 系列无穷多个数l1,l2l2…;un…写成l1+l2+l2+…+un+ 就称为无穷级数,记为∑n。这仅仅是一种形式上的相加。 这种加法是不是具有和数呢?这个和数的确切意义是什么 呢? 若级数∑n收敛于S,也称此值S为级数的和数’
第三章 复变函数的级数 无穷级数： 一系列无穷多个数 写成 就称为无穷级数，记为 。这仅仅是一种形式上的相加。 这种加法是不是具有‘和数’呢？这个‘和数’的确切意义是什么 呢？ 若级数 收敛于 S，也称此值 S为级数的‘和数’。 u1 ,u 2 ,u3",u n " u1 + u 2 + u3 + " + u n + " ∑ ∞ n =1 n u ∑ ∞ n =1 n u
为什么要研究级数? (1)级数可作为函数的表达式,是研究函数的工具; (2)常微分方程的级数解。 以下问题值得关心: (1)级数的敛散性; (2)级数收敛的定义、条件、判据; (3)收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等
为什么要研究级数？ ( 1) 级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具； ( 2) 常微分方程的级数解。 以下问题值得关心： (1)级数的敛散性； (2) 级数收敛的定义、条件、判据； (3) 收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等
§3.1复数项级数 、复数项级数 1.定义:形如∑=+++…++灬的级数称为复数 项级数,其中n=an+i,且a和b为实常数 2.部分和: 十21+2,+.2
1. 定义：形如 012 0 ...... ..... n n n z zzz z ∞ = ∑ = ++ + + + 的级数称为复数 项级数，其中 nn n z a ib = + , 且an和bn为实常数 2. 部分和： 1 012 1 0 ...... n n nk k s zzz z z − − = = +++ + = ∑ §3.1 复数项级数 一、复数项级数
3收敛的条件和定义 a定义:如果当n→∞时,部分和5=∑:有确定的极限 即 Ims= s 则称级数∑收敛,s称为级数和。反之,如果极限不存在, 则称级数发散。 b收敛的必要条件:{m2=0 证明:Sk=21+2+…+k2+k1+k=8k1+k→=Sk-S
3.收敛的条件和定义 a.定义：如果当n → ∞时，部分和 1 0 n n k k s z − = = ∑ 有确定的极限， 即 lim n n s s →∞ = 则称级数 0 n k k z = ∑ 收敛，s 称为级数和。反之，如果极限不存在， 则称级数发散。 b.收敛的必要条件：lim 0 k k z →∞ = 证明： 12 2 1 1 1 ...... k k k kk k kkk s zz z z z s z z ss =++ + + + = +⇒ =− −− − −
由级数收敛得:m:= Imsk-lims:=0 →)00 c.收敛的充分必要条件: 任给E>0,存在自然数N(),且当n>N()时,对任 何自然数p,如果有∑<成立,则∑收敛 4绝对收敛的定义及其判别法 a定义:若∑收敛,则称∑绝对收敛
由级数收敛得： 1 lim lim lim 0 k kk k kk z ss − →∞ →∞ →∞ =− = c.收敛的充分必要条件： 任给ε > 0 ，存在自然数 N( ) ε ，且当 n N > ( ) ε 时，对任 何自然数 p，如果有 1 n p k k n z ε + = + ∑ < 成立，则 0 k k z ∞ = ∑ 收敛。 4.绝对收敛的定义及其判别法 a.定义：若 0 k k z ∞ = ∑ 收敛，则称 0 k k z ∞=∑ 绝对收敛
b判别法:∑F的每一项都是复数的模,即正实数,所以它实际 上就是正项级数,这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级 数的判别法。 若m=减比值判别法成m=”(根式判别法,则 在r1时是绝对收敛,在1时发散。 注意:一个收敛的级数并不一定绝对收敛,但绝对收敛的级数 定收敛:m“≤lin叫x
b.判别法： 0 k k z ∞ = ∑ 的每一项都是复数的模，即正实数，所以它实际 上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级 数的判别法。 若 1 lim ( lim k k k k k kz r zr →∞ →∞ z − = = 比值判别法)或 （根式判别法），则 0 k k z ∞=∑ 在 r1 时发散。 注意：一个收敛的级数并不一定绝对收敛，但绝对收敛的级数 一定收敛： 1 1 lim lim k k k k k k u u r →∞ →∞ u u − − ≤ =
5条件收敛级数的定义 若∑收敛而∑=发散,则称∑x为条件收敛级数。 k=0 、复变函数项级数 1.定义:∑v()=(2+w() …+w(z)+… 称为复变函数项级 数,其中z为复变数,W"()为复变函数。 在D上给定点公:复变函数项级数→>复数项级数 D上无数多个点z:复变函数项级数→无限多个复数项级数 2.复变函数项级数收敛的充要条件 充要条件:对于D上(或L)上的点z,任给ε>0,存在自然数 N(a2,当n>NE,)时,有
5. 条件收敛级数的定义 若 收敛而 发散，则称 为条件收敛级数。 二、复变函数项级数 1.定义： 称为复变函数项级 数，其中 z 为复变数， 为复变函数。 在D上给定点z：复变函数项级数 复数项级数 D上无数多个点z：复变函数项级数 无限多个复数项级数 2.复变函数项级数收敛的充要条件 充要条件：对于D上(或L)上的点z，任给 ，存在自然数 ，当 时，有 ∑ ∞ k=0 k z ∑ ∞ k =0 k z ∑ ∞ k=0 k z ∑ = + +"+ +" ∞ = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 w z w z w z w z k k k w (z) k → → ε > 0 N(ε ,z) n > N(ε ,z)
∑v()<0(p为任意自然数) 则称∑()在点收敛。 对于不同的点z,自然数NE,)不同。 定义:若级数在D或L上所有点z收敛,则称级数在D(或L) 上收敛,∑(=)=S(称为级数和
( ) 0 1 ∑ < + = + n p k n k w z (p为任意自然数) 则称 在点z收敛。 对于不同的点z，自然数 不同。 定义：若级数在D(或L)上所有点z收敛，则称级数在D(或L) 上收敛， 称为级数和。 ∑ ∞ =0 ( ) k k w z N(ε ,z) ( ) ( ) 0 w z S z k ∑ k = ∞ =
3.复变函数项级数一致收敛的充分必要条件 定义:任给>0,存在一个与z无关的自然数Ne) 当n>N(a)时,对D(或L)上所有z,均有 ∑w()6(p为任意自然数),则称 ∑w()在D(或L)一致收敛。 比较收敛与一致收敛的区别
3.复变函数项级数一致收敛的充分必要条件 定义：任给 ε > 0 ，存在一个与 z无关的自然数 N( ) ε ， 当n N> ( ) ε 时，对 D（或 L）上所有 z，均有： 1 ( ) n p k k n w z ε + = + ∑ < （p 为任意自然数），则称 0 ( ) k k w z ∞ = ∑ 在 D（或 L）一致收敛。 比较收敛与一致收敛的区别!
致收敛级数的判别方法 判别法1(外尔斯特拉斯判别法) 已知正项级数收敛,若在D(或L)上的所有点均有w()sm, 则级数∑()在D(或L)上绝对且一致收敛。 实质:1找一个收敛的正项级数∑m(收敛性比较容易判断) 2将w(z)与m比较(在D上所有点) 判别法2 已知()在D(或L)上是个有界函数,若∑(在D(或L) 上一致收敛,则∑)w()也在D(或L)上一致收敛
三、一致收敛级数的判别方法 判别法 1（外尔斯特拉斯判别法） 已知正项级数收敛，若在 D（或 L）上的所有点均有 ( ) wz m k k ≤ ， 则级数 0 ( ) k k w z ∞ = ∑ 在 D（或 L）上绝对且一致收敛。 实质：1.找一个收敛的正项级数 0 k k m ∞ = ∑ （收敛性比较容易判断） 2. 将 ( ) w z k 与 mk 比较 （在 D 上所有点） 判别法 2 已知 u (z ) 在 D（或 L）上是个有界函数，若 0 ( ) k k w z ∞ = ∑ 在 D（或 L ） 上一致收敛，则 0 () () k k uzw z ∞ = ∑ 也在 D（或 L）上一致收敛
