《数学分析》课程教学资源（讲义）第二十二章 各种积分间的联系与场论初步

第二十二章各种积分间的联系与场论初步 下面的图表给出了各种积分间的联系,在计算中可以根据这些关系,将一种积分转化为另一种积 分 格林公式 曲线积分 曲线积分 积分 斯托克司公式 第二型 三重 曲面积分 曲面积分 高斯公式积分 例1设L为平面上封闭曲线,l为平面上任意方向,n是L的外法线方向。证明 os(n, /)ds=0 WEB: n=(cos(n, x),cos(n,y)), T=cos(T, x), cos(T, y)) 因为 Ty (n,y)=(,-x)=丌-(,x) 则 cos(n, x)=cos(t, y), cos(n, y)=-cos(t, x) cos(n, /)=n1=cos(n, x), cos(n, y))(cos(l, x),cos(,y)) icos(t, y),cos(T, x)). cos(l, x),cos(,y)) cos(, y)cos(t, x))+cos(, x)cos(t, y) cod÷5-co,y)+cox,x)b=J。d=0 注1此例给出了平面上闭曲线切线正向和外法线矢量的关系:(这个结果在7、8、12题都要用到) cos(n, x)=cos(T, y), cos(n, y)=-cos(T, x) 注2利用这个关系,可得格林公式的另一种形式 Psn)+Qco减,y=+图 或(用外法向矢量) {P,Q}·nds= aP cO +dxdy 试比较(用正向的切线矢量)

1 第二十二章 各种积分间的联系与场论初步 下面的图表给出了各种积分间的联系，在计算中可以根据这些关系，将一种积分转化为另一种积 分。   格林公式 斯托克司公式 n  高斯公式 例 1 设 L 为平面上封闭曲线， l  为平面上任意方向， n  是 L 的外法线方向。证明 y  = L cos(n,l )ds 0   x 证明 n {cos(n, x), cos(n, y)}    = ， {cos( , x), cos( , y)}    = 因为 (n, x) ( , y)   = ， (n, y) ( , x)  ( , x)    = − = − 则 cos(n, x) cos( , y)   = ， cos(n, y) cos( , x)   = − n l n l     cos( , ) =  {cos(n, x), cos(n, y)}   = {cos(l , x), cos(l , y)}    {cos( , y), cos( , x)}   = − {cos(l , x), cos(l , y)}    cos(l , y) cos( , x)} cos(l , x) cos( , y)     = − + cos( , ) = − cos( , ) + cos( , ) = 0 = 0 L L D n l ds l y dx l x dy dxdy     注 1 此例给出了平面上闭曲线切线正向和外法线矢量的关系：（这个结果在 7、8、12 题都要用到） cos(n, x) cos( , y)   = ， cos(n, y) cos( , x)   = − 注 2 利用这个关系，可得格林公式的另一种形式：     +   + = L D dxdy y Q x P [Pcos(n, x) Qcos(n, y)]ds [ ]   或（用外法向矢量）   L {P,Q} nds     +   = D dxdy y Q x P [ ] 试比较（用正向的切线矢量） 第一型 曲线积分 三 重 积分 二 重 积分 第一型 曲面积分 积分 第二型 曲线积分 第二型 曲面积分 面积分

于5{PQ:动=』 事实上 S,LPcos(i, x)+@cos(ni, y)ds=f, PCos(t, y)-@cos(, x)]ds f-+P=+ 注3我们已经知道,格林公式是斯托克司公式当L是平行于Oxy坐标面的平面曲线时的特殊情形。 而从格林公式的上述形式可以看出,格林公式也可作为高斯公式的特殊情形。 在高斯公式中,设P(x,y),Q(x,y),R(x,y)不依赖于二。考虑平行于z轴的单位高柱体的边界曲 面S的外侧,它在Oxy面的投影为曲线L。记柱面的上底面为S1,下底面为S2,侧面为S3则 s Payd=+OdEd+Rdxdy Cs, +s,+s)Pdyd+oddx+Rdxdy s R(x, y)dxdy +s. R(x, y)dxdy+s. Pdyd=+Oddr s, P(x, y)dyd= +O(x, y)docx =odf P(x, (), y)dy-Sod P(x, (), y)dy +odo(x,y(x))x-fodf2(,y2(x)cx S P(x(),y)dy- P(x, ( ) y)dy+o(,y(x))cx-oo(x,y2(x)ax S, P(x, y)dy-O(x, y)dx=f,[Pcos(n, x)+Ocos(n, y)]ds 又t× ldxdyd==odel,[ aP aO ∫DC Pcox)+Q,y=』 P 例2设l(x,y),v(x,y)具有二阶连续偏导数,证明 fad=

2      −   + =  = L L D dxdy x P x Q Pdx Qdy {P,Q} ds [ ]  事实上 + = L [Pcos(n, x) Qcos(n, y)]ds    − L [Pcos( , y) Qcos( , x)]ds       +   = − + = L D dxdy y Q x P Qdx Pdy [ ] 注 3 我们已经知道，格林公式是斯托克司公式当 L 是平行于 Oxy 坐标面的平面曲线时的特殊情形。 而从格林公式的上述形式可以看出，格林公式也可作为高斯公式的特殊情形。 在高斯公式中，设 P(x, y),Q(x, y), R(x, y) 不依赖于 z 。考虑平行于 z 轴的单位高柱体的边界曲 面 S 的外侧，它在 Oxy 面的投影为曲线 L 。记柱面的上底面为 1 S ，下底面为 S2 ，侧面为 3 S ，则  + + S Pdydz Qdzdx Rdxdy =  + + + + 1 2 3 ( ) S S S Pdydz Qdzdx Rdxdy =  + + + 1 2 3 ( , ) ( , ) S R x y dxdy S R x y dxdy S Pdydz Qdzdx =  + 3 ( , ) ( , ) S P x y dydz Q x y dzdx =   −   d c d c dz P x y y dy dz P x y y dy 1 1 1 0 1 0 ( ( ), ) ( ( ), ) +   −  b a b a dz Q x y x dx dz Q x y x dx 2 1 1 0 1 0 ( , ( )) ( , ( )) =  − + − b a b a d c d c P x y y dy P x y y dy Q x y x dx Q x y x dx 1 1 1 2 ( ( ), ) ( ( ), ) ( , ( )) ( , ( )) =  − L P(x, y)dy Q(x, y)dx =  + L [Pcos(n, x) Qcos(n, y)]ds   又 dxdydz z R y Q x P V   +   +   [ ]    +   =  D dxdy y Q x P dz 1 0 [ ]    +   = D dxdy y Q x P [ ] 即     +   + = L D dxdy y Q x P [Pcos(n, x) Qcos(n, y)]ds [ ]   例 2 设 u(x, y), v(x, y) 具有二阶连续偏导数，证明 （1）     +   =    2 2 2 2 [ ]dxdy y u x u ds n u L 

au av au av (2) △ uddi= d+5 其中M=2×2少,O为闭曲线L所围的平面区域,为(x,y)沿L外法线方向万的导数 证(1)在格林公式的等价形式中令POae os(n, y)lds dady a2u a2u dxd小y ax ay (2),veds=,, v[cos(n, x)+cos(n, y)]d ∫「.(a)+()d I vAudxdu xd小y Ox ax ayay 注4在式中令v=1,则(2)即化为(1) 注5设△ a2ua2u02u,S为空间立体V的边界 为l(x,y)沿S外法线方向n的导 数,则有格林第一公式: Audxdydz du. gradvdxdyct + 格林第二公式 AM△|=手,iai I12394]题的(2)(3)分别是格林第一和第二公式的低维情形,在格林第一公式中令v=l即得 (2)394 例3用斯托克司公式计算下列积分 (a) (b)L是曲线x2+y2+z2=2Rx,x2+y2=2nx(00),它的方向与所围曲面的上 侧构成右手法则 解S是曲面x2+y2+z2=2Rx(z>0)上L所围部分的上侧。它关于x平面对称,在xy平面的

3 （2）      +     +      = − L ds n u dxdy v y v y u x v x u v udxdy [ ]    其中 2 2 2 2 y u x u u   +    = ， 为闭曲线 L 所围的平面区域， n u    为 u(x, y) 沿 L 外法线方向 n  的导数。 证 （1）在格林公式的等价形式中令 y u Q x u P   =   = , 得，     +   =   +    2 2 2 2 [ cos( , ) cos( , )] [ ]dxdy y u x u n y ds y u n x x u L   即     +   =    2 2 2 2 [ ]dxdy y u x u ds n u L  （2） =    ds n u v L  n y ds y u n x x u v L [ cos( , ) cos( , )]     +    dxdy y u v x y u v x [ ( ) ( )]     +     =  dxdy y v y u x v x u v udxdy [ ]     +     =  =   注 4 在式中令 v =1 ，则（2）即化为（1）。 注 5 设 2 2 2 2 2 2 z u y u x u u   +   +    = ， S 为空间立体 V 的边界， n u    为 u(x, y) 沿 S 外法线方向 n  的导 数，则有格林第一公式：       = −  + V V S dS n u v udxdydz gradu gradvdxdydz v  格林第二公式：       =   V S dS u v n v n u dxdydz u v u v   [12/394] 题的（2）（3）分别是格林第一和第二公式的低维情形，在格林第一公式中令 v = u 即得[13 （2）/394]。 例 3 用斯托克司公式计算下列积分 (a)  + + + + + L (y z )dx (x z )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 (b) L 是曲线 x y z 2Rx 2 2 2 + + = ， 2 (0 , 0) 2 2 x + y = rx  r  R z  ，它的方向与所围曲面的上 侧构成右手法则。 解 S 是曲面 2 ( 0) 2 2 2 x + y + z = Rx z  上 L 所围部分的上侧。它关于 zx 平面对称，在 xy 平面的

投影是Dn:x2+y2≤2x (y2+=ax+(x2+2)dy+(x2+y2d dyd- ddx dxd (斯托克司公式) x +y 2(y-)z+(-x)ddr+(x-y) =2(y--)d+(x-y)dc(21(=-x)dcx=0,对称性) =2』-.xy{x-Ry, (两类曲面积分的关系) TIy-sXx-R)+(x-y)=kS 2 (Dy(x-R)-yyS=0,对称性) =2RI-dS=2Rll cos ys 2Rth=2!abh=2Rm2(两类曲面积分的关系,几何意义) 注6这题很巧妙,是一道综合性很强的题,用到的知识有: 1、斯托克司公式 2、两类曲面积分的关系,曲面的法向矢量 3、对称性 4、几何意义 例4证明高斯积分 cos(r, nl ds=0 其中L是平面上一单连通区域O的边界,而r是L上一点到外某一定点的距离,n是L的外 法线方向。又若r表示L上一点到O内某一定点的距离,则这个积分之值等于2丌。 解(1)设外某一定点(,n),则

4 投影是 D x y rx xy : 2 2 2 +  。  + + + + + L (y z )dx (x z )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2  + + +       = S y z x z x y x y z dydz dzdx dxdy 2 2 2 2 2 2 （斯托克司公式）  = − + − + − S 2 (y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy  = − + − S 2 ( y z)dydz (x y)dxdy （  − = S 2 (z x)dzdx 0 ，对称性）  = − −  − S R dS 2 {y z,0, x y} {x R, y,z} （两类曲面积分的关系） y z x R x y z dS R S  = [( − )( − ) + ( − ) ] 2 RzdS R S  = 2 （ [ ( − ) − ] = 0  y x R yz dS S ，对称性）   = = S S dS R dS R z 2R 2 cos 2 2R dxdy 2R dxdy 2R r S Dxy = = =    （两类曲面积分的关系，几何意义） 注 6 这题很巧妙，是一道综合性很强的题，用到的知识有： 1、 斯托克司公式 2、 两类曲面积分的关系，曲面的法向矢量 3、 对称性 4、 几何意义 例 4 证明高斯积分  = L ds r r n 0 cos( , )   其中 L 是平面上一单连通区域  的边界，而 r 是 L 上一点到  外某一定点的距离， n  是 L 的外 法线方向。又若 r 表示 L 上一点到  内某一定点的距离，则这个积分之值等于 2 。 解 （1）设  外某一定点 ( ,) ，则 r = {x −, y −}  ， 2 2 2 r = (x −) + (y −)

f osr, n) ds=f (x-5)cos(n, x)+(y-n)cos(n, y) f(xr-5)cos(t,y)-(y-n)cos(t,x)d -G-ndx+(x-s)dy ar x-5 ar ay 2r(x-5) 注意(5,m)是外某一定点,故(2)和(2)在内处处连续,由格林公式得 s(r, n) (y-n)dx+(x-5)dy )]dxdy (2)设(5,m)是内某一定点,这时格林公式不再成立。以(,m)为中心,E(>0)为半径作圆C E充分小使C完全含于内。取C的方向为顺时针方向,则由(1)知 COSU 故 ds (-n)ar+(x-s)dy (y-m)x+(x-5)d

5    = L L ds r r n ds r r n 2 cos( , )     =  − + − L ds r x n x y n y 2 ( ) cos( , ) ( ) cos( , )      − − − = L ds r x y y x 2 (  ) cos( , ) ( ) cos( , )    − − + − = L r y dx x dy 2 ( ) (  ) r x x r − =   ， r y y r − =   4 2 2 4 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) r r x r x r r r x r x x    − − =   − − = −   4 2 2 2 2( ) ( ) r r y r y y  − − = −   注意 ( ,) 是  外某一定点，故 ( ) 2 r x x −   和 ( ) 2 r y y −   在  内处处连续，由格林公式得  L ds r cos(r,n)    − − + − = L r y dx x dy 2 ( ) (  ) + −   = [ ( ) 2 r x x   dxdy r y y ( )] 2 −   0 2 2( ) 2( ) 4 2 2 2 = − − − − =     dxdy r r x y （2）设 ( ,) 是  内某一定点，这时格林公式不再成立。以 ( ,) 为中心，  ( 0) 为半径作圆 C ，  充分小使 C 完全含于  内。取 C 的方向为顺时针方向，则由（1）知 0 cos( , ) ( + ) =   L C ds r r n   故  L ds r cos(r,n)    = − C ds r cos(r,n)    − − + − = − C r y dx x dy 2 ( ) ( )  − − + − − = C (y )dx (x )dy 1 2   

i [2dxdy=2x 几何解释积分值s,nd是从点(5,m)所能看到曲线L的角的度量。事实上,以r为半径作 圆心角为dφ的圆弧,则 rdo= cos(r, n )ds 是ds在圆弧上的投影,而 cos(r 就是从点(5,)所能看到元素d的角的度量,将所有这些角求和,得 cos(r, n) 就是从点(5,)所能看到曲线L的角的度量。注意 Cos(F,n)0时是正角,即dp>0 故当(5,n)是σ外某一定点时,正负角抵消,积分 os(r, n) 而当(5,m)是O内某一定点时,总有cos(F,n)>0,因而积分 cos(r, n) 根据这个几何解释可知,当(5,刀)是曲线L上某一定点时,积分 cos(r, n) 注7:这是一个著名的积分,要用到5/392给出的平面上封闭曲线的正向与外法线方向n的关系。相 应的也有曲面积分的高斯积分(9/393) cos(r, n) 6

6   2 2 1 2 = =  D dxdy 几何解释 积分值  L ds r cos(r,n)   是从点 ( ,) 所能看到曲线 L 的角的度量。事实上，以 r 为半径作 圆心角为 d 的圆弧，则 rd cos(r,n)ds    = 是 ds 在圆弧上的投影，而 ds r r n d cos( , )    = 就是从点 ( ,) 所能看到元素 ds 的角的度量，将所有这些角求和，得  L ds r cos(r,n)   就是从点 ( ,) 所能看到曲线 L 的角的度量。注意 cos(r,n)  0   时是负角，即 d  0 cos(r,n)  0   时是正角，即 d  0 故当 ( ,) 是  外某一定点时，正负角抵消，积分 0 cos( , ) =  L ds r r n   。 而当 ( ,) 是  内某一定点时，总有 cos(r,n)  0   ，因而积分  L ds r cos(r,n)   = 2 。 根据这个几何解释可知，当 ( ,) 是曲线 L 上某一定点时，积分  L ds r cos(r,n)   = 。 注 7：这是一个著名的积分，要用到 5/392 给出的平面上封闭曲线的正向   与外法线方向 n  的关系。相 应的也有曲面积分的高斯积分（9/393），  S dS r r n 2 cos( , )  

求解的思想方法是一样的,几何解释也很有意义。 积分与路径无关 例5求/=Jxkx2+y2-1)x+yx2+y2-1)小,其中L是被积函数的定义域内从20 到(0,2)的逐段光滑曲线 解被积函数的定义域D:x2+y2>1 记P=xh(x2+y2-1),Q=yh(x2+y2-1),则PQ在定义域D内有连续的偏导数,且 ao aP axax2+y2_,取C:x2+y2≤4,逆时针方向,则 In( x+ =hn 3 xdx+ ydy=In 3 Oddy=0 于是D内任意一条封闭曲线l,若l包围了单位圆,则 Pdx +Ody= h Pdx +Ody=0 若l不包围单位圆,则由格林公式 Pdx+Ody= ar ay ardy=o 故积分与路径无关。取平行于坐标轴的折线段如图,得 ∫xh(x2+y2-1)+y(x2+y2-1) y4+y2-1)+xh(x2+4-1)=0 场论初步 例6计算曲面积分∫moFn△S,其中F={x-:x2-y2-3xy3),.S为球面:=√4-x2-y 万是S上侧的单位向量。 解法1用 Stokes公式。取 L:x2+y2=4或x=cosO,y=sn0,0≤0≤2 「noF,ns= rotF.dS

7 求解的思想方法是一样的，几何解释也很有意义。 积分与路径无关 例 5 求  = + − + + − L I x ln( x y 1)dx y ln( x y 1)dy 2 2 2 2 ,其中 L 是被积函数的定义域内从(2,0) 到(0,2)的逐段光滑曲线。 解 被积函数的定义域 : 1 2 2 D x + y  记 ln( 1) 2 2 P = x x + y − ， ln( 1) 2 2 Q = y x + y − ，则 P,Q 在定义域 D 内有连续的偏导数，且 1 2 2 2 + − =   =   x y xy y P x Q 。取 : 4 2 2 C x + y  ，逆时针方向，则  = + − + + − C x ln( x y 1`)dx y ln( x y 1)dy 2 2 2 2  = ln 3 + = ln 3 0 = 0   C D xdx ydy dxdy 于是 D 内任意一条封闭曲线 l ，若 l 包围了单位圆，则  + l Pdx Qdy = + = 0  C Pdx Qdy 若 l 不包围单位圆，则由格林公式  + l Pdx Qdy [ ] = 0   −   =  dxdy y P x Q D 2 故积分与路径无关。取平行于坐标轴的折线段如图，得  = + − + + − L I x ln( x y 1)dx y ln( x y 1)dy 2 2 2 2 2   = + − + + − = 0 2 2 2 0 2 y ln( 4 y 1)dy xln( x 4 1)dx 0 场论初步 例 6 计算曲面积分   S rotF ndS   ，其中 { , , 3 } 3 2 F = x − z x − yz − xy  ，S 为球面： 2 2 z = 4 − x − y ， n  是 S 上侧的单位向量。 解法 1 用 Stokes 公式。取 L ： 4 2 2 x + y = 或 x = cos, y = sin ,0    2   S rotF ndS    =  S rotF dS  

=5F=于x+x2d (二=0,d== IG4cos0 sin 0+cos 02 cos0)de =1609=1641c9=1643,z=12x 解法2用高斯公式。补一块面S1:x2+y2≤4,下侧 noF:ns=∫nonF:ds-』mF:△ f3divrotFdrdyds:-[rotF nds (divroIF=O) Co ap rOtF·ndS 5, ax ay (rOF.n是F在方方向的投影,即rotF在z轴方向的分量乘以(-1) 3x2dS=「3x2ddhy=d「3r3cos2bbh +1-≤4

8  =  L F ds    = + L xdx x dy 3 (z = 0,dz = 0)       ( 4cos sin 8cos 2cos )d 2 0 3  = − +    d  = 2 0 4 16cos  =  2 0 4 16 4 cos  d   12 4 2 2 3 16 4 =  =   解法 2 用高斯公式。补一块面 1 S ： 4 2 2 x + y  ，下侧   S rotF ndS    + =  S S1 rotF dS    −  S1 rotF dS    = V divrotFdxdydz   −  S1 rotF ndS   (divrotF = 0)   = −  S1 rotF ndS      −   = 1 [ ] S dS y P x Q ( rotF n    是 F  在 n  方向的投影,即 rotF  在 z 轴方向的分量乘以(-1))  = 1 2 3 S x dS  +  = 4 2 2 2 3 x y x dxdy   = 2 0 3 2 2 0 d 3r cos dr    2 12 4 1 4 3 4 4 =    =