第四章函数的连续性 用定义证明下列函数在定义域内连续 (3)y=|x|; (4) y=sin 2.指出下列函数的间断点并说明其类型: (1)f(x)=x+ 1 (2)f(x) (1+x)2 (3)f(x)=cos21 (4)f(x)=[x+[-x (5)f(x) x (6) f(x)=sgn x| (7) f(x)=sgn(cos x): (8)f(x) (9)f(x) x|≤1, 1,|x卜>1 cos (10)f(x) x|≤1, x卜 (11)f(x) sinx,x为有理数 x为无理数 (12)(x)={x,x为有理数 -x,x为无理数 3.当x=0时下列函数无定义,试定义f(O)的值,使f(x)在x=0连续 (1)f(x)= 1+x-1 (2)f(x)=tan zr: (3 f(x)=sin x -: (4)f(x)=(1+
第四章 函数的连续性 1． 用定义证明下列函数在定义域内连续： (1) y x = ； (2) 1 y x = ； (3) y x = | | ； (4) 1 y sin x = . 2．指出下列函数的间断点并说明其类型： (1) 1 f x x ( ) x = + ； (2) 2 ( ) (1 ) x f x x = + ； (3) 2 1 f x( ) cos x = ； (4) f x x x ( ) [ ] [ ] = + − ； (5) sin ( ) | | x f x x = ； (6) f x x ( ) sgn | = ； (7) f x x ( ) sgn(cos ) = ； (8) ( ) ln f x x = ； (9) , | | 1, ( ) 1 , | 1 x x f x x = ； (10) cos , | | 1, ( ) 2 1 , | 1 x x f x x x = − ； (11) sin , , ( ) 0 , x x f x x = 为有理数 为无理数； (12) , , ( ) , x x f x x x = − 为有理数 为无理数. 3．当 = x 0 时下列函数无定义，试定义 f (0) 的值，使 f x( ) 在 = x 0 连续： (1) 3 1 ( ) 1 1 x f x x + − = + − ； (2) tan 2 ( ) x f x x = ； (3) 1 f x x ( ) sin sin x = ； (4) ( ) x f x x = (+ )
4.设f(x)是连续函数,证明对任何c>0,函数 C,f(x)0),则l=0 16.求下列极限 (2) lim(arctan x)cos-:
4．设 f x( ) 是连续函数，证明对任何 c 0 ，函数 , ( ) , ( ) ( ), ( ) , , ( ) c f x c g x f x f x c c f x c − − = 是连续的. 5．若 f x( ) 在 0 x 点连续，那么 f x( ) 和 2 f x( ) 是否也在 0 x 点连续？反之如何？ 6．若函数 f x( ) 字 = x 0 点连续，而 g x( ) 在 = x 0 点不连续，问此二函数的和、积在 0 x 点是否连续？又若 f x( ) 和 g x( ) 在 0 x 点都不连续，问此二函数的和、积在 0 x 点是否必不 连续？ 7．证明若连续函数在有理点的函数值为 0，则此函数恒为 0. 8．若 f x( ) 在 [ , ] a b 连续，恒正，按定义证明 1 f x( ) 在 a b, 连续. 9．若 f x( ) 和 g x( ) 都在 [ , ] a b 连续，试证明 max( ( ) ( )) f x g x 和 min( ( ) ( )) f x g x 都在 [ , ] a b 连续. 10．证明：设 f x( ) 为区间 ( , ) a b 上单调函数，若 0 ( ) x a b, 为 f x( ) 的间断点，则必是 f x( ) 的第一类间断点. 11．若 f x( ) 在 [ , ] a b , 1 2 n a x x x b ，则在 1 2 [ , ] x x 中必有 ，使得 1 2 ( ) [ ( ) ( ) ( )] n f f x f x f x n = + + + . 12．研究复合函数 f g 和 g f 的连续性. 设 (1) 2 = = + f x x g x x ( ) sgn , ( ) 1 ； (2) 2 = = ( − f x x g x x x ( ) sgn , ( ) 1 ) . 13．证明：若 f x( ) 在 [ , ] a b 连续，且不存在 x a b, ] ，使 = f x( ) ，则 f x( ) 在 [ , ] a b 恒正或恒负. 14．设 f x( ) 为 [ , ] a b 上的递增函数，值域为 [ ( ), ( )] f a f b ，证明 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续. 15 ． 设 f x( ) 在 + [ , ) a 上连续，且 0 ( ) ( 0) f x x x ， 若 1 a 0 ， 1 ( ) ( 1, 2, ) n n a f a n + = = .求证： (1) lim n n a → 存在； (2) 设 lim n n a l → = ，则 = f l l ( ) ； (3) 如果将条件改为 0 ( ) ( 0) f x x x ，则 = l 0 . 16．求下列极限： (1) 1 1 1 1 lim 2 x x x x x − + → + + ； (2) 1 lim arctan cos x x →+ x ( ) ； (3) 2 1 0 lim (cos ) x x x → ；
17.证明方程x3+px+q=0(P>0)有且只有一个实根
(4) 2 0 cos 5 lim 1 ln(1 ) x x e x → x x + + + − . 17．证明方程 3 + + = x px q p 0 ( 0) 有且只有一个实根