《数学分析》课程教学资源（讲义）第十章 定积分及其应用

第十章定积分及其应用 1定积分的概念 1.已知下列函数在指定区间上可积,用定义求下列积分: (1)xax(00) 2.设f(x)在[a+cb+C]可积,证明f(x+c)在[a,b]上可积,且 f(x+c)dx= f( 3.设 ∈(a,b), f(x 0,x∈a,c)u(c,b 求证f(x)dx=0 4.若函数∫(x)在[a,b]上可积,其积分是I,今在[a,b]内有限个点上改变f(x)的 值使它成为另一函数f(x),证明∫(x)也在[a,b]上可积,并且积分仍为I 2定积分的基本性质 设∫(x)在[a,b]连续,f(x)≥0,f(x)不恒为零,证明 ∫()k 2.设f(x)在ab连续,∫f(x)k=0,证明f(x)在ab上恒为零 3.举例说明∫2(x)在[a,b可积,但f(x)在[a,b]不可积 4.比较下列各对定积分的大小 2 sin xax

第十章 定积分及其应用 1 定积分的概念 1． 已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分： (1) (0 ) b a xdx a b    ； (2) ( ) b a kdx k  是常数 ； (3) 2 2 x dx -1 ； (4) 1 ( 1, 0) x a dx a a   0 . 2． 设 f x( ) 在 [ , ] a c b c + + 可积，证明 f x c ( ) + 在 [ , ] a b 上可积，且 ( ) ( ) b b c a a c f x c dx f x dx + + + =   . 3． 设 1, , ( , ), ( ) 0, [ , ) ( , ], x c c a b f x x a c c b  =  =     求证 ( ) 0 b a f x dx =  . 4． 若函数 f x( ) 在 [ , ] a b 上可积，其积分是 I ，今在 [ , ] a b 内有限个点上改变 f x( ) 的 值使它成为另一函数 * f x( ) ，证明 * f x( ) 也在 [ , ] a b 上可积，并且积分仍为 I . 2 定积分的基本性质 1． 设 f x( ) 在 [ , ] a b 连续， f x( ) 0  ， f x( ) 不恒为零，证明 ( ) 0 b a f x dx   . 2． 设 f x( ) 在 [ , ] a b 连续， 2 ( ) 0 b a f x dx =  ，证明 f x( ) 在 [ , ] a b 上恒为零. 3． 举例说明 2 f x( ) 在 [ , ] a b 可积，但 f x( ) 在 [ , ] a b 不可积. 4． 比较下列各对定积分的大小： (1) 1 1 2 0 0 xdx x dx  ， ； (2) 2 2 0 0 xdx xdx sin    ， ；

dx,3dx 5.证明下列不等式(设所给的积分存在) (1)1sled≤e; (2)1≤ e sinx x<-; (3)x sin x (3E[x4≤6 证明 lim dx=0: (2) lim asin”xdr=0 7.设∫(x),g(x)在[a,b]连续,证明 lim 2/()g(0,)Ax,=f(x)g(x)dx 其中a=x<x1<…<xn=b,Ax1=x-x-1,5,日∈[x-1x](=1,2,…,m) 8.设∫(x)在[a,b连续,且∫(a)=0,求证 f(x)dx≤ maxf(x a≤xb 9.设0<δ<1,求证 (1-r2)t 「(-ryat 10.(1)设∫(x)在[a,b上连续,且对[a,b上任一连续函数g(x)均有

(3) 1 1 2 0 1 3 3 x x dx dx − −        ， . 5． 证明下列不等式（设所给的积分存在）； (1) 1 2 0 1 x   e dx e  ； (2) 2 0 sin 1 2 x dx x      ； (3) 2 0 2 1 2 2 1 sin 2 dx x      −  ； (4) 4 0 ln 3 6 e xdx e x    . 6． 证明： (1) 1 0 lim 0 1 n n x dx → x = +  ； (2) 2 0 lim sin 0 n n xdx  → =  . 7． 设 f x g x ( ), ( ) 在 [ , ] a b 连续，证明 0 1 lim ( ) ( ) ( ) ( ) n b i i i a i f g x f x g x dx    → =   =  ， 其中 0 1 1 1 , , , [ , ]( 1,2, , ), n i i i i i i i a x x x b x x x x x i n =    =  = −  = − −     1 max i i n  x   =  . 8． 设 f x'( ) 在 [ , ] a b 连续，且 f a( ) 0 = ，求证： 2 ( ) ( ) max '( ) 2 b a a x b b a f x dx f x   −   . 9． 设 0 1    ，求证 1 2 1 2 0 (1 ) lim 0 (1 ) n n n t dt t dt  → − = −   . 10 ． (1) 设 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，且对 [ , ] a b 上 任 一 连 续 函 数 g x( ) 均 有

f∫(x)g(x)dx=0,证明∫(x)=0,x∈[a,b (2)设f(x)在[a,b上连续,且对所有那些在[a,b]上满足附加条件g(a)=g(b) 连续函数g(x),有[f(x)g(x)x=0证明:在[ab]上同样有f(x)=0 1l.设∫(x),g(x)在[a,b连续,求证: f(xg(x)d f2(x)x·.g2(x)dtx, 而且等号成立当且仅当g(x)=Af(x)(或∫(x)=Ag(x)),其中λ为常数。 12.设∫(x),g(x)在[a,b]连续,求证: [(x)+g(x)rdx s f2(x)dx+g(x)dx 而且等号成立当且仅当g(x)=4f(x)(≥0常数) 13.设f(x)在[①,1连续,f(x)≥a>0,求证 dx≥ f(xa 14.设y=φ(x)(x≥0)是严格单调增加的连续函数,o(O0)=0,x=(y)是它的反函 数,证明 (x)+0y)y2ab(a20b20) 15.用一致连续定义验证: (1)f(x)=√x在[0,1上是一致连续的: (2)f(x)=sinx在(-∞,+)上是一致连续的; (3)f(x)=x2在[a,b上一致连续,但在(-∞,+∞)上不一致连续 (4)f(x)=sinx2在(-∞,+∞)上不一致连续 3微积分基本定理 1.计算下列定积分 cos xdx

( ) ( ) 0 b a f x g x dx =  ，证明 f x x a b ( ) 0, [ , ]   . (2)设 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，且对所有那些在 [ , ] a b 上满足附加条件 g a g b ( ) ( ) 0 = = 的 连续函数 g x( ) ，有 ( ) ( ) 0 b a f x g x dx =  .证明：在 [ , ] a b 上同样有 f x( ) 0  . 11． 设 f x g x ( ), ( ) 在 [ , ] a b 连续，求证： 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx     ， 而且等号成立当且仅当 g x f x ( ) ( ) =  (或 f x g x ( ) ( ) =  )，其中  为常数。 12． 设 f x g x ( ), ( ) 在 [ , ] a b 连续，求证： 2 2 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx +  +    ， 而且等号成立当且仅当 g x f x ( ) ( ) =  (   0 常数). 13． 设 f x( ) 在 [0,1] 连续， f x( ) 0    ，求证： 1 1 0 0 1 1 ( ) ( ) dx f x f x dx    . 14． 设 y x x =  ( )( 0) 是严格单调增加的连续函数，   (0) 0, ( ) = =x y 是它的反函 数，证明 0 0 ( ) ( ) ( 0, 0). a b   x dx y dy ab a b +      15． 用一致连续定义验证： (1) 3 f x x ( ) = 在 [0,1] 上是一致连续的； (2) f x x ( ) sin = 在 ( , ) − +  上是一致连续的； (3) 2 f x x ( ) = 在 [ , ] a b 上一致连续，但在 ( , ) − +  上不一致连续； (4) 2 f x x ( ) sin = 在 ( , ) − +  上不一致连续. 3 微积分基本定理 1． 计算下列定积分： (1) 2 0 cos xdx   ；

(3)「M-smxd 2 - dx 2.求下列极限 (1)im∑-sin n→k=!n (3) lim (4)lim-√m(n+1)…(2n+1) 3.若∫(x)连续,求F(x): (1)F(x)=「f()t (2)F(x)= f(t)dt (3)F(x)=[edh: 4.求下列极限: cost dt (2) lin 5.设∫(x)在[0,+∞)连续且单调递增,求证:函数 F(x)

(2) 0 a a xdx −  ； (3) 2 0 1 sin xdx  −  ； (4) 3 4 2 4 dx x x − − −  ； (5) 2 1 ln x dx x  ； (6) 1 ln e e x dx  ； 2． 求下列极限： (1) 1 1 lim sin n n k k n n  → =  ； (2) 1 1 1 lim n→ n n n 1 2     + + +   + ； (3) 2 1 lim n n k k → = n  ； (4) 1 lim ( 1) (2 1) n n n n n → n + + ； 3． 若 f x( ) 连续，求 F x'( )： (1) 2 0 ( ) ( ) x F x f t dt =  ； (2) ( ) ( ) b x F x f t dt =  ； (3) 3 2 ( ) x t x F x e dt =  ； 4． 求下列极限： (1) 2 0 cos lim x n t dt → x  ； (2) ( ) 2 2 2 0 2 0 lim x t x n t e dt e dt →   ； 5． 设 f x( ) 在 [0, ) +  连续且单调递增，求证：函数 0 1 ( ) ( ) x F x f t dt x = 

在(0,+∞)上连续且单调递增。 定积分的计算 1.计算下列定积分 dx ()∫(√x+-) 、4- 6)∫xv2-xa sin mx cos ndx (10)x(x+√x)t: cosx (11) 1+sin 2x (12) (13)「 arctan xdx; (14) (15) X COS

在 (0, ) +  上连续且单调递增。 4 定积分的计算 1． 计算下列定积分 (1) 2 2 2 1 ( 1)( 3) 3 x x dx x + −  ； (2) 2 1 4 0 1 1 x dx x + +  ； (3) 1 5 1 5 x xdx 2 5 − −  ； (4) 9 4 1 ( ) x dx x +  ； (5) 1 2 0 4 − x dx  ； (6) 2 2 2 0 a x a x dx −  ； (7) 2 0 sin cos mx nxdx   ； (8) 1 2 3/ 2 0 ( 1) dx x x − +  ； (9) 3 0 1 1 xdx + + x  ； (10) 4 0 x x x dx ( ) +  ； (11) 2 2 1 cos 1 sin x dx x  +  ； (12) 1 0 x e dx  ； (13) 1 0 x xdx arctan  ； (14) 2 2 2 0 x xdx cos   ； (15) 2 2 x xdx cos  − ；

(16) (17) a+x (19) (20) 2.计算下列定积分 sIn (4) 7 xdx (5)「(a2-x2)ydx 6)J(1-x)dk 3.证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数,连续的偶函数的原函数中有且只有 一个为奇函数 4.设∫(x)在所示区间上是连续函数,证明 (1)2f(sin x)dx=2f(cosx)dx ()∫x(smx)dk=∫/(mx) d x dx (4)x'f(x)dx= xf(x)dx(a>0) sInx 5.计算积分 cOSx+sin x 6.利用分部积分法证明: Sof(u(x-u)du=lof()dtdu

(16) ln 2 2 3 0 x x e dx −  ； (17) sin cos mx nxdx  − ； (18) 2 0 ( 0) a a x x dx a a x −  +  ； (19) 2 2 2 4 0 a x a dx x −  ； (20) 1 3 2 10 5 0 x x dx (1 5 ) −  ； 2． 计算下列定积分 (1) 2 9 0 sin xdx   ； (2) 5 0 sin xdx   ； (3) 2 6 0 cos xdx   ； (4) 3 2 7 0 cos xdx   ； (5) 2 2 0 ( ) a n a x dx −  ； (6) 1 2 6 0 (1 ) − x dx  ； 3． 证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原函数中有且只有 一个为奇函数. 4． 设 f x( ) 在所示区间上是连续函数，证明： (1) 2 2 0 0 f x dx f x dx (sin ) (cos )   =   ； (2) 0 0 (sin ) (sin ) 2 xf x dx f x dx    =   ； (3) 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 a a a dx a dx f x f x x x x x + = +   ； (4) 2 3 2 0 0 1 ( ) ( ) ( 0) 2 a a x f x dx xf x dx a =    ； 5． 计算积分 2 0 sin cos sin x dx x x  +  . 6． 利用分部积分法证明： 0 0 0 ( )( ) ( ) x x u f u x u du f t dtdu − =   

7.设∫"(x)在[a,b]连续,且f(a)=f(b)=0,求证 ()Jf(x)=1 f(x(x-a)(x-b)dx (2)f(x)dbx≤ max(x川; 设∫(x)在x>0时连续,对任意a,b>0,积分值 ∫"(x) 与a无关,求证:f(x)=-(c为常数) 9.设f(x)在任一有限区间上可积分,且 lim f(x)=7 求证: m-f(dr 5定积分在物理中的应用初步 1.有一薄版 ≤1(a>b),长轴沿铅直方向一半浸入水中,求水对板的压力 2.修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为20m,水深27m,围囹高 出水面3m,要把水抽尽,计算克服重力所作的功。 3.某水库的闸门是一梯形,上底6m,下底2m,高10m,求水灌满时闸门所要的力 设水的比重为1000/m3 4.半径为r的球沉入水中,它与水面相接,球的比重为1,现将球从水中取出,要 作多少功? 5.把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知1kg的力能使弹簧伸长lcm,问 把弹簧拉长10cm要作多少功? 6.有一长为a的细棒,它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比,求此 细棒的平均密度 定积分的近似计算 1.已知 试把积分区间[0,1分成10等分,分别用梯形公式和抛物线 公式计算丌的近似值,精确到小数点后三位

7． 设 f x ''( ) 在 [ , ] a b 连续，且 f a f b ( ) ( ) 0 = = ，求证： (1) 1 ( ) ''( )( )( ) 2 b b a a f x dx f x x a x b dx = − −   ； (2) 3 ( ) ( ) max ''( ) 12 b a a x b b a f x dx f x   −   ； 8． 设 f x( ) 在 x  0 时连续，对任意 a b, 0  ，积分值 ( ) ab a f x dx  与 a 无关，求证： ( ) c f x x = （c 为常数）. 9． 设 f x( ) 在任一有限区间上可积分，且 lim ( ) x f x l → = 求证： 0 1 lim ( ) x x f t dt l → x =  5 定积分在物理中的应用初步 1． 有一薄版 2 2 2 2 1( ) x y a b a b +   ，长轴沿铅直方向一半浸入水中，求水对板的压力. 2． 修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为 20m，水深 27m，围囹高 出水面 3m，要把水抽尽，计算克服重力所作的功。 3． 某水库的闸门是一梯形，上底 6m，下底 2m，高 10m，求水灌满时闸门所要的力。 设水的比重为 1000 3 kg m/ . 4． 半径为 r 的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为 1，现将球从水中取出，要 作多少功？ 5． 把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知 1 kg 的力能使弹簧伸长 1cm，问 把弹簧拉长 10cm 要作多少功？ 6． 有一长为 a 的细棒，它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比，求此 细棒的平均密度. 6 定积分的近似计算 1． 已知 1 2 0 1 4 dx x  = +  ，试把积分区间 [0,1] 分成 10 等分，分别用梯形公式和抛物线 公式计算  的近似值，精确到小数点后三位

2.把积分区间10等分,用抛物线公式计算下列积分的近似值,精确到小数点后三 位 「=xt:()f含

2． 把积分区间 10 等分，用抛物线公式计算下列积分的近似值，精确到小数点后三 位： (1) 1 3 0 1− x dx  ； (2) 2 1 dx x 