第六章微分学基本定理 微分中值定理 1.证明:(1)方程x3-3x+c=0(c是常数)在区间[,1内不可能有两个不同的实 根 (2)方程x"+px+q=0(n为正整数,p,q为实数)当n为偶数时至多有两个实 根;当n为奇数时至多有三个实根 2.设f(x)=x"(1-x)”,m,n为正整数,x∈[0,1],则存在ξ∈(0,1),使 3.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式 (1)|sinx-inys|x-yxy∈(-0+∞) )anxx∈(-22)等号成立当且仅当x=0 (3)ex>1+x.x≠0 (4) 0. 4.设函数在点a具有连续的二阶导数,证明 li f(a+h)+f(a-h)-2f(a)=f(a) h 5.设lmf(x)=a,求证:任意T>0,有 x→+ lim [ f(x+r)-f(x)= Ta 6.函数∫(x)在[a,b可导,其中a≥0,证明:存在5∈(a,b),使得 5f(b)-f(a)=(b2-a2)f() 7.设f(x)在(a,+∞)上可导,且limf(x)=limf(x)=A。求证:存在∈(a,+∞) 使∫(5)=0。 8.设∫(x)可导,求证:f(x)在两零点之间一定有∫(x)+∫(x)的零点
第六章 微分学基本定理 1 微分中值定理 1．证明：（1）方程 3 x x c − + = 3 0 （ c 是常数）在区间 [0,1] 内不可能有两个不同的实 根； （2）方程 n x 0 + + = px q （ n 为正整数， p q, 为实数）当 n 为偶数时至多有两个实 根；当 n 为奇数时至多有三个实根。 2．设 ( ) (1 ) , , m n f x x x m n = − 为正整数， x [0,1] ，则存在 (0,1) ，使 1 m n = − 3．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1） sin sin , , ( , ); x y x y x y − − − + （2） tan , ( , ), 2 2 x x x − 等号成立当且仅当 x = 0 ； （3） 1 , 0; x e x x + （4） ln ,0 ; y x y y x x y y x x − − （5） 2 arctan , 0. 1 x x x x x + 4．设函数在点 a 具有连续的二阶导数，证明 '' 2 0 ( ) ( ) 2 ( ) lim ( ). h f a h f a h f a f a → h + + − − = 5．设 ' lim ( ) x f x a →+ = ，求证：任意 T 0 ，有 lim [ ( ) ( )] . x f x T f x Ta →+ + − = 6． 函数 f x( ) 在 [ , ] a b 可导，其中 a 0 ，证明：存在 ( , ) a b ，使得 2 2 ' 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ). f b f a b a f − = − 7．设 f x( ) 在 ( , ) a + 上可导，且 lim ( ) lim ( ) x a x f x f x A → + → = = 。求证：存在 + ( , ) a ， 使 ' f ( ) 0 = 。 8．设 f x( ) 可导，求证： f x( ) 在两零点之间一定有 ' f x f x ( ) ( ) + 的零点
9.设函数f(x)在x附近连续,除点外可导,且m/(x)=4,求证:f(n)存 在,且∫(x)=A 10.若∫(x)在[a,b可导,且∫(a)≠∫(b),k为介于f∫(a)和∫(b)之间的任一实 数,则至少存在一点∈(a,b),使∫(2)=k 11.设函数f(x)在(a,b)内可导,且f∫(x)单调,证明∫(x)在(a,b)连续 12.若函数∫(x),g(x)和h(x)在[{ab]连续,在(a,b)可导,证明存在ξ∈(an,b), 使得 f(a g(a) h(a) ∫(b)g(b)h(b)=0 f(5)g(5)h(5 13.设∫(x)在(-∞,+∞)连续,且Iimf(x)=+∞,证明:f(x)在(-∞,+∞)上取到 X→土 它的最小值 14.设f(x)在[a,b)连续,limf(x)=B (1)若存在x1∈[a,b),使f(x)>B,则f(x)在[a,b)上达到最大值; (2)如果存在x1∈[a,b),使∫(x1)=B,能否断言f(x)在[a,b)上达到最大值? 15.设f(x)在[a,+∞)有界,∫(x)存在,且limf(x)=b.求证b=0 16.求证: arcsin x+ arccos x=x(≤1) 2微分中值定理及其应用 1.求下列待定型的极限: (1)Iim tan c x→0 sin bx 1-coS x (2) lim sIn x (3)Im(1+x)-x (4)lin tan x-x x→0x-Sinx
9．设函数 f x( ) 在 0 x 附近连续，除 0 x 点外可导，且 0 ' lim ( ) x x f x A → = ，求证： ' 0 f x( ) 存 在，且 ' 0 f x A ( ) = . 10．若 f x( ) 在 [ , ] a b 可导，且 ' ' f a f b ( ) ( ) ，k 为介于 ' f a( ) 和 ' f b( ) 之间的任一实 数，则至少存在一点 ( , ) a b ，使 ' f k ( ) = . 11．设函数 f x( ) 在 ( , ) a b 内可导，且 ' f x( ) 单调，证明 ' f x( ) 在 ( , ) a b 连续. 12．若函数 f x( ) ， g x( ) 和 h x( ) 在 [ , ] a b 连续，在 ( , ) a b 可导，证明存在 ( , ) a b ， 使得 ' ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) f a g a h a f b g b h b f g h = . 13．设 f x( ) 在 ( , ) − + 连续，且 lim ( ) x f x → = + ，证明： f x( ) 在 ( , ) − + 上取到 它的最小值. 14．设 f x( ) 在 [ , ) a b 连续， lim ( ) x b f x B → − = . （1）若存在 1 x a b [ , ) ，使 1 f x B ( ) ，则 f x( ) 在 [ , ) a b 上达到最大值； （2）如果存在 1 x a b [ , ) ，使 1 f x B ( ) = ，能否断言 f x( ) 在 [ , ) a b 上达到最大值？ 15．设 f x( ) 在 [ , ) a + 有界， ' f x( ) 存在，且 ' lim ( ) x f x b →+ = .求证 b = 0 . 16．求证： arcsin arccos ( 1) 2 x x x + . 2 微分中值定理及其应用 1．求下列待定型的极限： （1） 0 tan lim ; x sin ax → bx （2） 2 3 0 1 cos lim ; x sin x → x x − （3） 0 ln(1 ) lim ; x cos 1 x x → x + − − （4） 0 tan lim ; x sin x x → x x − −
(5) In cos ax (6) lim x→0 COS an x (7) lim secx十 (8) (9) lim(T-x)tan (10) lim xl-r (11) lim - (a, 6>0); arctan x (12) lim sIn ln° (14) lim xInx(b, c>0) -2sinx (15) lim cos 3x (16)lim n x→0cotx (17)lim 1+x=e (18)lim x (19) lim In (20) lim tan x
（5） 0 1 1 lim ; 1 x x→ x e − − （6） 0 ln cos lim ; ln cos x ax → bx （7） 2 tan 6 lim ; x sec 5 x x → − + （8） 1 1 1 lim ; x→ ln 1 x x − − （9） lim( ) tan ; x 2 x x → − （10） 1 1 1 lim ; x x x − → （11） lim ( , 0); b ax x x a b →+ e （12） arctan 2 lim ; 1 sin x x x →+ − （13） ln lim (b,c>0); c b x x →+ x （14） 0 lim ln (b,c>0); b c x x x → + （15） 6 1 2sin lim ; x cos3 x x → − （16） 0 ln lim ; cot x x x → + （17） 1 0 (1 ) lim ; x x x e → x + − （18） sin 0 lim ; x x x → + （19） 0 1 lim ln ; x x x → + （20） 2 1 0 tan lim ; x x x → x
(21) lim 22) lim sin Inx 2.对函数f(x)在[0,x]上应用拉格朗日中值定理有 f(x)-f(0)=f(x)x,O∈(0,1) 试证对下列函数有limb (1)f(x)=ln(1+x) (2)f(x)=ex 3.设f(x)二阶可导,求证: lm(x+2h)-2/(x+b)+x=f(x) 4.下列函数不能用洛必达法则求极限: (1) lim x→0Sinx (2)im x+sin x 2x+sin 2x I-o(2x+sin x)e (4)lim(x-1)sinx In 1+sin -x
（21） 2 2 0 1 1 lim ; x→ x x sin − （22） 0 lim sin ln . x x x → + 2．对函数 f x( ) 在 [0, ] x 上应用拉格朗日中值定理有 ' f x f f x x ( ) (0) ( ) , (0,1). − = 试证对下列函数有 0 1 lim x 2 → = ： （1） f x x ( ) ln(1 ); = + （2） ( ) . x f x e = 3．设 f x( ) 二阶可导，求证： '' 2 0 ( 2 ) 2 ( ) ( ) lim ( ). h f x h f x h f x f x → h + − + + = 4．下列函数不能用洛必达法则求极限： （1） 2 0 1 sin 2 lim ; x sin x → x （2） sin lim ; cos x x x → x x + − （3） sin 2 sin 2 lim ; (2 sin ) x x x x → x x e + + （4） 2 1 ( 1)sin lim . ln 1 sin 2 x x x x → − +