第七章导数的应用 1函数的升降、凸性和函数作图 1.应用函数的单调性证明下列不等式 (1)-x0 (4) tanx>x+ (0,x), (5)2√x>3--,x>1 2.确定下列函数的单调区间 (1) (2) (3)y=2x-ln (4) (5)y=2x-sinx (6)y=xe(m>0,x≥0) 3.求下列函数的极值: (1) (2)y=x+ x 1+3 (3)y 4+5x2 (nx)- (4)y=
第七章 导数的应用 1 函数的升降、凸性和函数作图 1．应用函数的单调性证明下列不等式： （1） 2 sin , (0, ); 2 x x x x （2） 3 sin , 0; 6 x x x x x − （3） 2 ln(1 ) , 0; 2 x x x x x − + （4） 3 tan , (0, ); 3 2 x x x x + （5） 1 2 3 , 1. x x x − 2．确定下列函数的单调区间： （1） 3 y x x = − 6 ; （2） 2 y x x = − 2 ; （3） 2 y x x = − 2 ln ; （4） 2 1 ; x y x − = （5） 2 y x x = − 2 sin ; （6） ( 0, 0). n x y x e n x − = 3．求下列函数的极值： （1） y x x = − + ln(1 ); （2） 1 y x ; x = + （3） 2 1 3 ; 4 5 x y x + = + （4） 2 (ln ) ; x y x =
(5)y=2x3-x4; (6)y=arctan x--In(1+x) xsin2,x≠0, 4.设∫(x) 0 (1)证明:X=0是函数的极小值点 (2)说明在∫的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件 5.证明:若函数f(x)在点x处有∫,(x0)0,则x为∫的极大值点 6.设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1,x2=2处都取的极值,试定出a和b的值;并问 这时∫在x和x2是取得极大值还是极小值; (1)求函数f(x)=ax-nx在x>0上的极值; (2)求方程ax=lnx有两个正实根的条件 8.设f(x),g(x)在实轴上连续可微,且 f(x) g(x) 0. f(x)g(x) 求证:f(x)=0的两实根之间一定有g(x)=0的根 9.确定下列函数的凸性区间与拐点: (1) (2)y (3)y=ln(1+x2); y x+1 10.证明曲线yr2+1有位于同一直线上的三个拐点 1l.问a,b为何值时,点(1,3)为曲线y=ax3+bx2的拐点? 12.证明 (1)若f(x)为下凸函数,A为非负实数,则Af(x)为下凸函数; (2)若∫(x)、g(x)均为下凸函数,则f(x)+g(x)为下凸函数
（5） 3 4 y x x = − 2 ; （6） 1 2 arctan ln(1 ). 2 y x x = − + 4．设 4 2 1 sin , x 0, ( ) 2 0 , x 0. x f x = = （1）证明： x 0 = 是函数的极小值点； （2）说明在 f 的极小值点 x = 0 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 5．证明：若函数 f x( ) 在点 0 x 处有 ' ' 0 _ 0 f x f x ( ) 0, ( ) 0 + ，则 0 x 为 f 的极大值点. 6．设 2 f x a x bx x ( ) ln = + + 在 1 2 x x = = 1, 2 处都取的极值，试定出 a 和 b 的值；并问 这时 f 在 1 x 和 2 x 是取得极大值还是极小值； (1) 求函数 f x ax x ( ) ln = − 在 x 0 上的极值； (2) 求方程 ax x = ln 有两个正实根的条件. 8.设 f x( ) ， g x( ) 在实轴上连续可微，且 ' ' ( ) ( ) 0. ( ) ( ) f x g x f x g x 求证： f x( ) 0 = 的两实根之间一定有 g x( ) 0 = 的根. 9.确定下列函数的凸性区间与拐点： （1） 2 3 y x x = − 3 ; （2） 2 1 y x ; x = + （3） 2 y x = + ln(1 ); （4） 2 y x = +1 . 10.证明曲线 2 1 1 x y x + = + 有位于同一直线上的三个拐点. 11.问 a，b 为何值时，点 (1,3) 为曲线 3 2 y ax bx = + 的拐点？ 12.证明： (1) 若 f x( ) 为下凸函数， 为非负实数，则 f x( ) 为下凸函数； (2) 若 f x( ) 、 g x( ) 均为下凸函数，则 f x g x ( ) ( ) + 为下凸函数；
(3)若f(x)为区间I上的下凸函数,g(x)为J上的下凸递增函数,f(D)cJ,则 gf(x)为上的下凸函数 13.设f(x)为区间I上严格上凸函数,证明:若x∈I为f(x)的极小值点,则x0为 f(x)在/上唯一的极小值点 14.应用下凸函数概念证明如下不等式 (1)对任意实数a,b,有 ); (2)对任何非负函数a,b,有 arctan a+b arctan a+ arctan b 2 15.如何选择参数h>0,方能使曲线 h-2x2 在x=±(>0为给定的常数)处有拐点 16.求y 的极值及拐点,并求拐点处的切线方程. 17.作出下列函数的图形: (1)y= x (2)y=e(x-1)2 (3)y=2-1 (4) V=In+r (5)y=y=x-2arctan x; (6)y=xe x2-2x-3 (7)y (8)y
(3) 若 f x( ) 为区间 I 上的下凸函数， g x( ) 为 J 上的下凸递增函数， ( ) f I J ，则 g f x( ) 为 I 上的下凸函数. 13.设 f x( ) 为区间 I 上严格上凸函数，证明：若 0 x I 为 f x( ) 的极小值点，则 0 x 为 f x( ) 在 I 上唯一的极小值点. 14.应用下凸函数概念证明如下不等式： (1) 对任意实数 a b, , 有 2 1 ( ); 2 a b a b e e e + + (2) 对任何非负函数 a b, , 有 2arctan arctan arctan 2 a b a b + + . 15.如何选择参数 h 0 ，方能使曲线 2 2 h h x y e − = 在 x = （ 0 为给定的常数）处有拐点. 16.求 2 2 1 x y x = + 的极值及拐点，并求拐点处的切线方程. 17.作出下列函数的图形： （1） 3 y x x = − 6 ; （2） 2 ( 1) ; x y e − − = （3） 2 1 ; 1 y x = − （4） 1 ln ; 1 x y x + = − （5） y y x x = = − 2arctan ; （6） ; x y xe − = （7） 2 2 2 3 ; 1 x x y x − − = + （8） 3 3 ( 1) ; ( 1) x y x − = +
2函数的最大值最小值问题 1.求下列函数在指定区间上的最大值与最小值 l,[-12] (2)y=2 tan x-tan2x, [0, - (3)y=√xhnx,(O,+∞) 4)y=x2-3x+2,101 2.给定长为/的线段,试把它分成两段,使以这两段为边所围成的矩形面积为最大 3设用某仪器进行测量时,读得n次实验数据为a1,a2,…,an,问以怎样的数值x表达 所要测量的真值,才能使它与这n个数之差的平方和为最小 4.求内接于椭圆x+y=1而边平行于坐标轴的面积最大的矩形 5点M(p,p)到抛物线y2=2px最短距离 6.做一个圆柱形锅炉,已知起容积为V,两端面材料的每单位面积价格为a元侧材料 的每单位面积价格为b元,问锅炉的直径与高的比等于多少时,造价最省? 7.某村计划修建一条断面面积为4m2的梯形渠道,侧面的坡度为(即底边与斜高间 夹角θ满足tanθ≡-),底边b与斜高l为多长时湿周最小、.(根据经验,湿周最小时渠道 过水能力最大.) 8.设炮口的仰角为a,炮弹的初速为v0m/s,炮口取作原点,发炮时间取作t=0,不 计空气阻力时,炮弹的运动方程为: x=tv cos a y=to sina--gi 若初速v不变,问如何调整炮口的仰角a,使炮弹射程最远
（9） 4 3 (1 ) x y x = + . 2 函数的最大值最小值问题 1．求下列函数在指定区间上的最大值与最小值 （1） 5 4 3 y x x x = − + + − 5 5 1, [ 1,2]; （2） 2 2 tan tan , [0, ); 2 y x x = − （3） y x x = + ln ,(0, ); （4） 2 y x x = − + 3 2 , [-10,10]; （5） x-3 y=e , [-5,5]. 2．给定长为 l 的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的矩形面积为最大. 3.设用某仪器进行测量时，读得 n 次实验数据为 1 2 , , , , n a a a 问以怎样的数值 x 表达 所要测量的真值，才能使它与这 n 个数之差的平方和为最小. 4.求内接于椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = 而边平行于坐标轴的面积最大的矩形. 5.点 M p p ( , ) 到抛物线 2 y px = 2 最短距离. 6.做一个圆柱形锅炉，已知起容积为 V ，两端面材料的每单位面积价格为 a 元.侧材料 的每单位面积价格为 b 元，问锅炉的直径与高的比等于多少时，造价最省？ 7.某村计划修建一条断面面积为 2 4m 的梯形渠道，侧面的坡度为 3 4 （即底边与斜高间 夹角 满足 3 tan 4 = ），底边 b 与斜高 l 为多长时湿周最小.（根据经验，湿周最小时渠道 过水能力最大.） 8.设炮口的仰角为 ，炮弹的初速为 0 v m s/ ，炮口取作原点，发炮时间取作 t = 0 ，不 计空气阻力时，炮弹的运动方程为： 0 2 0 cos 1 sin 2 x tv y tv gt = = − 若初速 0 v 不变，问如何调整炮口的仰角 ，使炮弹射程最远