《概率论与数理统计》课程教学资源：第七章习题课

第七章习题课

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问题1极大似然估计具有不变性矩估计 是否也具有? 答否 例如X服从反射正态分布其pd;为 21 x>0 f(x)=\zo 口现用矩法分别对a和2作估计

问题 1 极大似然估计具有不变性, 矩估计 是否也具有？ 答 否. 例如 X 服从反射正态分布,其p.d.f.为        = − 0 0 0 2 1 ( ) 2 2 2 x e x f x x    现用矩法分别对  和  2作估计

E(X2N4(X2)=0,DX)=(1-2m 设(X1,X2,,Yn)为总体的样本 E(H2)=D)+B(B=a2/ 由矩法,令E(X)=√2/zo i=1 分别得矩G=Vz/2R 2 估计量为1a=1SX →0≠ 所以矩估计不具有不变性

设（ X1 , X2 ,…, Xn ）为总体的样本 7-37 2 D(X) = (1− 2/) 由矩法，令 = = + = = n i Xi n E X D X E X 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( )  E(X) = 2 / = X =  = n i Xi n 1 2 1 2   ˆ =  / 2 X 2 2    ( ˆ)  所以矩估计不具有不变性 分别得矩 估计量为 E(X ) = 2 /  , ( ) , 2 2 E X =

问题2似然方程的解都是极大似然估计吗? 答不尽然 例如X服从柯西 Cauchy)分布其pdf为 f(x;) <X< [1+(x-0)2] 当n=1时,似然函数为 L(6)= z[1+(x1-0)2]

问题2 似然方程的解都是极大似然估计吗？ 答 不尽然. 例如 X 服从柯西(Cauchy)分布,其p.d.f.为 [1 ( ) ] 1 ( ; ) 2    + − = x f x −  x   当 n =1 时，似然函数为 [1 ( ) ] 1 ( ) 2  1   + − = x L

7-38 hnL(0)=-hz-h[1+(x-0)2] 此时,对数似然方程为 dhL 2(x-6 de 1+(x-)20 故=X是O极大似然估计 当n=2时,似然函数为 L(6) z2[1+(x1-0)1I1+(x2-0)

7-38 ln ( ) ln ln[1 ( ) ] 2 L  = −  − + x1 − 当 n = 2 时，似然函数为 此时，对数似然方程为 0 1 ( ) ln 2( ) 2 1 1 = + − − =    x x d d L 1 故  ˆ = X 是  极大似然估计. [1 ( ) ][1 ( ) ] 1 ( ) 2 2 2 1 2     + − + − = x x L (1)

7-38 要使L(0达到最大,只要(1)的分母最小 令f(0)=[1+(x-0)]1+(x2-0)2] 由f(O)=-2(x+x12-20) [e2-(x1+x2)0+xx2+1]1=0(2 解得三个解:=(X1+X2)2 a23=(x1+x2)±√(x-x2)2-412 通过f"(O)的正负可判得:

7-38 要使 L( ) 达到最大，只要(1)的分母最小 令 ( ) [1 ( ) ][1 ( ) ] 2 2 2 f  = + x1 − + x − 由 ( ) = −2( + −2 ) f  x1 x2  [ ( ) 1] 0 1 2 1 2 2   − x + x  + x x + = 解得三个解： ( )/ 2 1 = X1 + X2 [( ) ( ) 4 ]/ 2 2 2,3 = X1 + X2  X1 − X2 − (2) 通过 f () 的正负可判得:

7-38 当B为的极大似然估计时,,不是O的 极大似然估计之,当3为的极大似 然估计时,θ不是的极大似然估计. 而无论发生何种情况,似然方程(2) 的三个解不全是b的极大似然估计

7-38 而无论发生何种情况 , 似然方程 (2) 极大似然估计； 当 1 为  的极大似然估计时， 反之 , 当  2,3 为  的极大似 然估计时, 不是 的极大似然估计. 1   2,3 不是  的 的三个解不全是  的极大似然估计

7-16解一X~B(m,) 令=E(X)=m0 →B=X/n202=x2/ E(02)=E(X2/n2)=E(x2)/n2 =[D(X)+E2(X)/n2 =[1(r2 O2的无偏佔计量为Ⅹ2/n2

7 -16 X B n ~ ( , )  令 ˆ 2 2 2  =  =   X n X n / / X E X n = = ( )  2 2 = + [ ( ) ( )]/ D X E X n 2 2 2 2 2 E E X n E X n ( ) ( / ) ( ) /  = =  2 2 2  的无偏估计量为X n/ . 解一 [ (1 )/ ( ) ]/ . 2 2 2 = n  −  n + n  n =  ？

Q解二X~B(,0)令E(X)=mB=x 样本容量为 E|>x2|=∑E(x2)何与分布的 参数n相同? ∑[D(X)+E(Xx)2=n(-+m X+n(n-1) (x2-X1) 为的无偏估计 n2(n-1)

X B n ~ ( , )  令  解二 E(Xi ) = n = X = = + n i D Xi E Xi n 1 2 [ ( ) ( )] 1   = =  =      n i i n i i E X n X n E 1 2 1 2 ( ) 1 1 2 = n(1−) + (n) 2 = X + n(n −1) ( 1) ( ) ˆ 2 1` 2 2 − − = = n n X X n i i i  样本容量为 何与分布的 参数n 相同？ 为 的无偏估计. 2 

正确解X~B(n,b)令E(X1)=n=X, E∑x2=∑ E(X2) ∑[D(X)+E(x)=m(1-0)+(0) =X+n(n-12 ∑(X2-X) 为的无偏估计. m1(-1)

正确解 X B n ~ ( , )  令  E(X ) n X , i =  = = = + m i D Xi E Xi m 1 2 [ ( ) ( )] 1   = =  =      m i i m i i E X m X m E 1 2 1 2 ( ) 1 1 2 = n(1−) + (n) 2 = X + n(n −1) ( 1) ( ) ˆ 1` 2 2 − − = = mn n X X m i i i  为 的无偏估计. 2 