第二章数列的极限 数列的极限 1.用定义证明下列数列的极限为零: (1) 10n (9) lim 1+2+3 2.用定义证明 星一④ 为偶 1,其中 n+1 ,n为奇数 3n+1 (4) lim x=3,其中xn= n=3k+1(k=1,2,…), 3.用定义证明: (1)若iman=a,则对任一正整数k,有 lim a=a;
第二章 数列的极限 数列的极限 1． 用定义证明下列数列的极限为零： (1) 2 1 lim n 1 n → n + + ； (2) sin lim n n → n ； (3) lim n n → ； (4) 2 ( 1) lim n n n → n + − − ； (5) lim ( 1 ) n n n → + − ； (6) 10 lim ! n n→ n ； (7) lim 1 n n n a → a ( ) ； (8) ! lim n n n → n ； (9) 2 1 2 3 lim n n → n + + + + ； (10) 1 lim 1 n n a a n − → ( + ) . 2．用定义证明： (1) 2 2 3 lim n 2 1 n n → n + = − ； (2) 2 lim n n n → n + = ； (3) lim n n x → = ，其中 1 , 1 , n n n n x n n n − = + 为偶数， 为奇数； (4) lim n n x → = ，其中 3 1 , 1 ( 1, 2, ) 2 , 2 3 n n k n x n k k n n n k n n = + = = + = + + = + − + ， ， . 3．用定义证明： (1) 若 lim n n a a → = ，则对任一正整数 k ，有 lim n k n a a + → = ；
(2)若 lim a=a,则 lim a|=|a|反之是否成立? (3)若 lim a=a,且a>b,则存在N,当n>N时,有an>b (4)若ima=a,且a>0,则mv=√l 4.极限的定义改成下面形式是否可以?(其中“彐”是逻辑符号,表示“存在”.) (1)VE>0,彐N>0,当n≥N时,有|xn-a|0,彐N>0,当n>N时,有|x-a|≤E (2)Vg>0,彐N>0,当n>N时,有|x-ak<ME(M为常数) 5.若{xy}收敛,能否断定{xn}、{y}也收敛? 6.设x≤a≤yn(n=1,2,…),且im(yn-xn)=0,求证: lim x, =a, lim y=a 7.利用极限的四则运算法则求极限 3n3+2n2 (3) (4)lim(y1+√2+…+√10) 8.求下列极限 (1) +—+…十 n→122·3 n+1) (2)im(+1 (3) lim( Gm2+1√m2+2 (4)lim(=+ (5)lim(--=) (6) (7)lim(√2√22…√2):
(2) 若 lim n n a a → = ，则 lim | n n a a → = .反之是否成立？ (3) 若 lim n n a a → = ，且 a b ，则存在 N ，当 n N 时，有 n a b ； (4) 若 lim n n a a → = ，且 0 n a ，则 lim n n a a → = . 4．极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“ ”是逻辑符号，表示“存在”.） (1) ， N 0 ，当 n N 时,有 n | - |< x a ； (2) ， N 0 ，当 n N 时,有 n | - | x a ； (2) ， N 0 ，当 n N 时,有 n | - | x a M （ M 为常数）. 5．若 x yn n 收敛，能否断定 xn 、 yn 也收敛？ 6．设 ( 1, ) n n = x a y n ，且 lim ( ) 0 n n n y x → − = ，求证： lim n n x a → = ， lim n n y a → = . 7．利用极限的四则运算法则求极限： (1) 3 2 3 2 3 2 1 lim n 3 2 n n n → n n + − + − + ； (2) 1 1 ( 2) 3 lim ( 2) 3 n n n n n→ + + − + − + ； (3) 1 1 2 lim 1 1 4 4 n n n → + + + + + + ； (4) lim ( 1 ) n n n n→ + + + . 8．求下列极限： (1) 1 1 1 lim ( ) 1 2 ( 1) n→ n n + + + + ； (2) 2 2 2 1 1 1 lim ( ) ( 1) (2 ) n→ n n n + + + + ； (3) 2 2 2 1 1 1 lim ( ) 1 2 n n n n n → + + + + + + ； (4) 2 1 3 2 1 lim ( ) 2 2 2n n n → − + + + ； (5) 1 lim (1 ) cos 2 n n n → − ； (6) lim n→ n − ； (7) lim n n → ( ) ；
(8)lim[(n+1)"-n"],00 则lim 13.利用单调有界原理,证明 lim x存在,并求出它 (1)x=√2, (2)x=c>0,x=yc+xn1,n=2,3,… (4)x=1,xn l,2, 14.若x=a>0,y=b>0(a0,且im=1>1, lim a=0
(8) lim [( 1) ] n n n n n → + − ， 0 1 a ； (9) lim n 2 n → n − ； (10) 1 1 lim 2 n n n → n ( − ) ( ) ； (11) 1 lim n n n → ！ ； (12) lim ln n n n n → . 9．证明：若 an ， bn 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则 a b n n 是发 散数列；又问 a bn n 和 ( 0) n n n a b b 是否也是发散数列？为什么？ 10．设 ( 1)n n = − x ，证明 xn 发散. 11．若 1 2 , , , m a a a 为 m 个正数，证明： 1 2 1 2 lim max( , , , ) n n n n m m n a a a a a a → + + + = . 12．设 lim n n a a → = ，证明： (1) [ ] lim n n n a a → n = ； (2) 若 0, 0 n a a ，则 lim 1 n n n a → = . 13．利用单调有界原理，证明 lim n n x → 存在，并求出它： (1) 1 2 1 2 , 2 , 2, n x x x n − = = = ； (2) 1 1 , , 2, n n x c x c x n − = = + = ； (3) n n c x n = （c > 0） ！ ； (4) 1 0 1 , 1 , 1, 1 n n n x x x n x − − = = + = + . 14．若 1 1 = = x a y b a b , 0 ( ) , 1 1 , , 2 n n n n n n x y x x y y + + + = = 证明： lim lim n n n n x y → → = . 15．证明：若 0 n a ，且 1 lim 1 n n n a l → a + = ， lim n n a → =
16.设lman=a,证明: (1)im当+a+a=a;(又问,它的逆命题成立否?) (2)若an>0,则lim√aa2…an=a 17.应用上题的结果证明下列各题: (1) lim ya=1(a>0); (3) limAn=l: (4)im_1 n (6)若mh=a(>0,则imyh 8.用定义证明下列数列为无穷大量: (){m} (2){n!} (3)(lnn}; 19.证明:若{x}为无穷大量,{y}为有界变量,则{x±yn}为无穷大量 20.(1)两个无穷大量的和的极限如何?试讨论各种可能性? (2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形; (3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形 21.利用 e,求下列极限 (3) lin
16．设 lim n n a a → = ，证明： (1) 1 2 lim n n a a a a → n + + + = ；（又问，它的逆命题成立否？） (2) 若 0 n a ，则 1 2 lim n n n a a a a → = . 17．应用上题的结果证明下列各题： (1) 1 1 3 lim n n → n + + + + = ； (2) lim 1 ( 0) n n a a → = ； (3) lim 1 n n n → = ； (4) 1 lim 0 n n n → = ！ ； (5) 1 lim n n n n → + + + + = ； (6) 若 1 lim ( ) n n n n b a b b + → = ，则 lim n n n b a → = . 18．用定义证明下列数列为无穷大量： (1) n ； (2) n！ ； (3) ln n ； (4) 1 1 3 n + + + + . 19．证明：若 xn 为无穷大量， yn 为有界变量，则 x y n n 为无穷大量. 20．(1) 两个无穷大量的和的极限如何？试讨论各种可能性？ (2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形； (3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形. 21．利用 1 lim 1 n n e → n + = ，求下列极限： (1) 1 lim 1 n n→ n − ； (2) 1 lim 1 1 n n→ n + + ； (3) 1 lim 1 2 n n→ n + ； (4) 2 1 lim 1 n n→ n +