《数学分析》课程教学资源（讲义）第一章 绪论

第一章绪论 本次教学内容 1.绪论 a介绍数学分析的主要内容:微积分 研究的对象:函数(连续量) 描述什么是连续量 Example:时间t与位移S 连续量随另外一个连续量连续地变化(函数的概念) 连续量的运算体系及其数学理论(微积分) b.初等数学:主要是离散量的运算体系(加,减,乘,除) c.两种体系的区别 初等数学主要是恒等变形技巧;而数学分析则是用不等式来刻划等式(用极限的概念) d.学习方法的不同 初、高中:从填鸭式一>启发式 以教师为主,强烈地依赖于教师。 大学 从启发式一>个人自发 以学生本身为主,教师引导。 e.微分问题 个连续量随着另一个连续量变化的“瞬时”变化率 xample:“瞬时”速度 f.积分问题:计算一个连续量在连续量的作用下的总和成积累 example:质点受力作用的位移,求力作用的功 e、f互为逆运算 g微积分的发展历史 产生于17世纪伽利略( galileo1564-1642)落体速度的变化惯性定律 用数学公式定量地描述物体学的规律(速度运动)(力做功) 笛卡儿( Descartes1596-1650)和费儿玛( Fermat1601-1665)创立的解析几何曲线的 切线下方图形的面积 牛顿( Newton1642-1727)和莱布尼兹( Leibniz 1646-1716)在前人的基础上建立了微 积分及其演算体系。 从形式演算一>严格的科学体系 哥西( Cauchy1789-1857) 波尔察诺( bolzano1781-1848) 维尔斯特拉斯( Weierstrass1815-1897) (用极限的概念) 戴德金( Dedekind I831-1916) 康托( Cantor1845-1918) 维尔斯特拉斯又给出了连续量的数学表示,建立了实数连续统的理论 注意:形成过程

第一章 绪论 本次教学内容: 1. 绪论 a. 介绍数学分析的主要内容: 微积分 研究的对象: 函数(连续量) 描述什么是连续量? Example: 时间 t 与位移 S 连续量随另外一个连续量连续地变化 (函数的概念). 连续量的运算体系及其数学理论 (微积分) b. 初等数学: 主要是离散量的运算体系 (加, 减, 乘, 除) c. 两种体系的区别. 初等数学主要是恒等变形技巧; 而数学分析则是用不等式来刻划等式(用极限的概念) d. 学习方法的不同 初、高中： 从填鸭式 －> 启发式 以教师为主，强烈地依赖于教师。 大学： 从启发式 －> 个人自发 以学生本身为主，教师引导。 e. 微分问题 一个连续量随着另一个连续量变化的“瞬时”变化率。 Example: “瞬时”速度 f. 积分问题：计算一个连续量在连续量的作用下的总和成积累 example: 质点受力作用的位移，求力作用的功。 e、f 互为逆运算 g. 微积分的发展历史 产生于 17 世纪 伽利略(Galileo 1564-1642) 落体速度的变化 惯性定律 用数学公式定量地描述物体学的规律（速度运动）（力做功） 笛卡儿（Descartes 1596-1650）和费儿玛（Fermat 1601-1665）创立的解析几何 曲线的 切线 下方图形的面积 牛顿（Newton 1642-1727）和莱布尼兹（Leibniz 1646-1716）在前人的基础上建立了微 积分及其演算体系。 从形式演算—> 严格的科学体系 哥西 (Cauchy 1789-1857) 波尔察诺（Bolzano 1781-1848） 维尔斯特拉斯（Weierstrass 1815-1897） （用极限的概念） 戴德金（Dedekind 1831-1916） 康托（Cantor 1845-1918） 维尔斯特拉斯又给出了连续量的数学表示，建立了实数连续统的理论 注意：形成过程

演算体系兮极限概念刻划基石:实数连续统 h.学习目的:掌握微积分,极限,实数连续统的概念和方法, 更主要的是,培养自己的积极思考问题和解决问题的能力。简单的说,拿任何 本书都能看懂,兼收并蓄 2.实数连续统 是重点与难点 a.离散量的特征:有最简单的最小的单元 example:自然数,可数 b.连续量 example:时间t 不能分解成最小的单元 问题:连续量的刻划 有理数必须研究数系 几何模型 实数轴 c.回忆集合的概念 表示方法:列举法,解析法 A={张三,李四,王五,赵六,…} A={xx是正偶数}={2,4,6,8,} Def: AcRoX∈A→x∈B A=B→AcB.BcA d.S是一个数集,定义一种运算“*” S中有次序的数a与b(有时有限制)有确定的数与之对应C=a*b 如果对a,b∈S,都有a*b∈S,则称S对运算是封闭的。 Example:自然数集,对于加法和乘法封闭。并且对加法和乘法满足交换律、结合律及 分配律。 S是一个数系。(S,*) (N,+,*) 数系中有顺序关系(大小关系) (A)对任意的a与b,下列关系有且仅有一个成立 a<bb<a或a=b (B)顺序关系的传递性 若a<b,b<c→a<c 自然数,存在归纳法

演算体系极限概念刻划 基石：实数连续统 h. 学习目的：掌握微积分，极限，实数连续统的概念和方法， 更主要的是，培养自己的积极思考问题和解决问题的能力。简单的说，拿任何 一本书都能看懂，兼收并蓄。 2．实数连续统 是重点与难点 a. 离散量的特征：有最简单的最小的单元 example: 自然数，可数 b. 连续量 example: 时间 t 不能分解成最小的单元 问题：连续量的刻划 有理数 必须研究数系 几何模型 实数轴 0 c. 回忆集合的概念 表示方法：列举法，解析法 A={张三，李四，王五，赵六,…} A={x|x 是正偶数}={2,4,6,8,…} Def : A  B  x A xB A = B  A  B,B  A d. S 是一个数集，定义一种运算“  ” S 中有次序的数 a 与 b（有时有限制）有确定的数与之对应 c = a b 如果对 a,b  S ，都有 a bS ，则称 S 对运算是封闭的。 Example1: 自然数集，对于加法和乘法封闭。并且对加法和乘法满足交换律、结合律及 分配律。 S 是一个数系。 (S, ) (N,+, ) 数系中有顺序关系（大小关系） (A) 对任意的 a 与 b，下列关系有且仅有一个成立 a  b,b  a或a = b (B) 顺序关系的传递性 若 a  b,b  c  a  c 自然数，存在归纳法

Example2整数系(E,+,-*) Example3有理数系 Q={D/q|p,q∈正整数,q≠0} 有理数的稠密性Va,b∈Q,a引 戴德金连续准则如果有大小顺序稠密的数系S,对它的每一个分划,都有S中唯一的 数存在,它不小于下类中的每一个数,也不大于上类中的每一个数,那么数系S连续的 A={∈Qa≤0或a>0且a20且b2>2 第二次课 实数基本定理:对R的每一个分划,必有唯一的实数,它大于或等于下类A中的每 个实数,小于或等于上类B中的每一个实数。 证明:往证存在唯一的实数r∈R,使得对任意a∈A有a≤r,对任意b∈B有 r≤b 1.先确定r,先看整数,由A非空知,有整数属于A,若对任意整数co∈A且同时 有co+l∈A→B是空集,矛盾。所以我们知必有整数c0,使得c0∈A,而co+l∈B 其次考虑 这时必存在c1是0,1,,9中的某数,使得co.c∈A,co、(c1+1)∈B(若C1=9,则 如此继续下去,在确定了Cn,即 CC0

Example2 整数系 (E,+,−, ) Example3 有理数系 Q ={p / q | p,q正整数，q  0} 有理数的稠密性 a,b Q,a  b  c Q,a  c  b Th1 不存在有理数 p / q 使得 ( / ) 2 2 p q = 把直线分割成两部分，必有唯一的分点。 Def 1, S 有大小顺序分成 A, B 两类 (i) 不空；A 与 B 都至少包含 S 中的一个数 (ii) 不漏；S 中的每个数, S=A  B (iii) 不乱；  a  A,  b ,必有 a  b A,B 为取的 S 的一个分划，记为 A|B A 称为分划的下类，B 称为分划的上类. Ex. S = Q  97 A = a aQ,a  ，  97 B = bbQ,b  戴德金连续准则 如果有大小顺序稠密的数系 S, 对它的每一个分划，都有 S 中唯一的 数存在，它不小于下类中的每一个数，也不大于上类中的每一个数，那么数系 S 连续的  , 0 0 2 2 A = a a Q a  或a  且a  ,  , 0 2 2 B = b b Q b  且b  第二次课 实数基本定理：对 R 的每一个分划，必有唯一的实数，它大于或等于下类 A 中的每一 个实数，小于或等于上类 B 中的每一个实数。 证明：往证 存在唯一的实数 r  R ，使得对任意 a A 有 a  r ，对任意 bB 有 r  b . 1.先确定 r ，先看整数，由 A 非空知，有整数属于 A ，若对任意整数 c0  A 且同时 有 c0 +1 A  B 是空集，矛盾。所以我们知必有整数 0 c ，使得 c0  A ，而 c0 +1 B 其次考虑 0 c .0, 0 c .1, 0 c .2,…., 0 c .9 这时必存在 1 c 是 0，1,…,9 中的某数，使得 0 c . 1 c  A , 0 c .( 1) c1 +  B (若 1 c =9，则 0 c . (c1 +1) = c0 +1.0 ) 如此继续下去，在确定了 n c ，即： 0 c 1 c 2 c …. 0n c , 0 c 1 c 2 c …. cn1,….., 0 c 1 c 2 c …. 9n c

由此确定c,,使得c coc1c2cn(cn1+1)∈B,这样,便得到实数r=coc1c2 下证:对任意a∈A,有a≤r 用反证法,如果不然,彐a∈A,有a>r a=do a a2 这时必须存在非负整数jo,使得ab>Cn,而 a,>c有jcoC1C2…C aoa1…an-1a10>coc1C2…C-1(ch+1)∈B aoa1…an-1an∈B 从而有a∈B,这与A|B是一个分划矛盾。这就证明了对任意a∈A,有a≤r。 同理可证,对任意b∈B,有b≥F。 3.下证唯一性 (反证法),否则彐n≠n2,同时对任意a∈A,a≤r1,a≤n2 对任意b有b≥b≥2,不妨设η<F2, 令 显然<r<→r∈A,r∈B, 这与A|B是R的一个分划矛盾 区间的表示法 闭区间[ab={≤x≤b} 开区间(ab)={a≤x≤bx∈R} ab),(ab]半开半闭区间。 实数s是有理数系的连续扩充

由此确定 n+1 c ，使得 0 c 1 c 2 c …. n c n+1 c  A ； 0 c 1 c 2 c …. n c ( 1) cn+1 +  B ，这样，便得到实数 r = 0 c 1 c 2 c …. n c n+1 c … 2. 下证：对任意 a A ，有 a  r 。 用反证法，如果不然，  a A ，有 a  r, 设 a = a0 1 a 2 a ... 这时必须存在非负整数 0 j ，使得 0 0 j j a  c ，而 j j a  c 有 0 j  j 因此 0 a 1 a 2 a ... a j0 −1 0 j a  0 c 1 c 2 c ... j0 −1 c 0 j c  0 a 1 a ... a j0 −1 0 j a  0 c 1 c 2 c … j0 −1 c ( 1) 0 c j +  B  0 a 1 a ... a j0 −1 0 j a  B 从而有 aB ，这与 A | B 是一个分划矛盾。这就证明了对任意 a A ，有 a  r 。 同理可证，对任意 bB ，有 b  r 。 3. 下证唯一性。 （反证法），否则  1 2 r  r ，同时对任意 a A， 1 a  r ， 2 a  r 对任意 b 有 1 b  r 2 b  r ，不妨设 1 2 r  r ， 令 2 ' 1 2 r r r + = 显然 2 ' 1 r  r  r  r  A ' ， r  B ' ， 这与 A | B 是 R 的一个分划矛盾。 区间的表示法 闭区间 a,b = x a  x  b 开区间 (a,b) = x a  x  b, x R a,b)， (a,b 半开半闭区间。 实数 s 是有理数系的连续扩充