概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 概率论基础知识 第一章随机事件及其概率 一随机事件 §1几个概念 1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试:(1)试验可在相同条件下重复进行:(2)试验的 可能结果不止一个,且所有可能结果是已知的;(3)每次试验哪个结果出现是未知的;随机试验以后简 称为试验,并常记为E 例如:E1:掷一骰子,观察出现的总数;E2:上抛硬币两次,观察正反面出现的情况 E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件:在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件常记为A,B,C 例如,在E1中,A表示“掷出2点”,B表示“掷出偶数点”均为随机事件 3、必然事件与不可能事件:每次试验必发生的事情称必然事,记为Q。每次试验都不可能发生的 事情称不可能事,记为中。 例如,在E1中,“掷出不大于6点”的事件便是必然事件,而“掷出大于6点”的事件便是不可能事 件以后,随机事件,必然事件和不可能事件统称为事旧 基本事件:试验中直接观察到的最简单的结果称为本事佣 例如,在E1中,“掷出1点”,“掷出2点”,………,“掷出6点”均为此试验的基本事件。 由基本事件构成的事件称为复合事伊,例如,在E1中“掷出偶数点”便是复合事件 5、样本空间:从集合观点看,称构成基本事件的元素为样本点,常记为e 例如,在E1中,用数字1,2,……,6表示掷出的点数,而由它们分别构成的单点集{1},{2},…{6} 便是E1中的基本事件。在E2中,用H表示正面,T表示反面,此试验的样本点有(H,H),(H,T), (T,H),(T,T),其基本事件便是{(H,H)},{(H,T)},{(T,H)},{(T,T)}显然,任何 事件均为某些样本点构成的集合 例如,在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2,4,6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本 空间。记为Ω 例如, 在E1中,9={1,2,3,4,5,6} 在E2中,Ω={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)} 在E3中,9={0,1,2,……} 第1页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 1 页 @kaiziliu 概率论基础知识 第一章 随机事件及其概率 一 随机事件 §1 几个概念 1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的 可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简 称为试验，并常记为 E。 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 A，B，C…… 例如，在 E1 中，A 表示“掷出 2 点”，B 表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的 事情称为不可能事件，记为Φ。 例如，在 E1 中，“掷出不大于 6 点”的事件便是必然事件，而“掷出大于 6 点”的事件便是不可能事 件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。 4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。 例如，在 E1 中，“掷出 1 点”，“掷出 2 点”，……，“掷出 6 点”均为此试验的基本事件。 由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在 E1 中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为 e. 例如，在 E1 中，用数字 1，2，……，6 表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6} 便是 E1 中的基本事件。在 E2 中，用 H 表示正面，T 表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T）， （T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何 事件均为某些样本点构成的集合。 例如， 在 E1 中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本 空间。记为Ω。 例如， 在 E1 中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在 E2 中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在 E3 中，Ω={0，1，2，……}
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 例1,一条新建铁路共10个车站,从它们所有车票中任取一张,观察取得车票的票种。 此试验样本空间所有样本点的个数为N。=P210=90(排列:和顺序有关,如北京至天津、天津至北京) 若观察的是取得车票的票价,则该试验样本空间中所有样本点的个数为M =45 (组合) 例2.随机地将15名新生平均分配到三个班级中去,观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所 有样本点的个数为 102或者x。“56第一种方法用组合乘法原理:第二种方法用排列 15 §2事件间的关系与运算 包含:“若事件A的发生必导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记为ACB或BA Q 例如,在E1中,令A表示“掷出2点”的事件,即A={2} B表示“掷出偶数”的事件,即B={2,4,6}则AcB ACB 2、相等:若ACB且BCA,则称事件A等于事件B,记为A=B 例如,从一付52张的扑克牌中任取4张,令A表示“取得到少有3张红桃” 的事件;B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然A=B 3、和:称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和,记为A∪B,或A+B 例如,甲,乙两人向目标射击,令A表示“甲击中目标”的事件,B表示“乙 击中目标”的事件,则AUB表示“目标被击中”的事件。 推广 A UB UA=4UAU…UA={42,A…A至少有一个发生 有限个 UA=AUA2U…….-(4,42…至少有一个发生) 无穷可列个 4、积:称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件,简称为积,记为A∩B或AB 例如,在E3中,即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中,令A={接到偶数次呼唤},B={接到 奇数次呼唤},则A∩B={接到6的倍数次呼唤} 第2页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 2 页 @kaiziliu 例 1，一条新建铁路共 10 个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。 此试验样本空间所有样本点的个数为 NΩ=P 2 10=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京） 若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为 (组合) 例 2．随机地将 15 名新生平均分配到三个班级中去，观察 15 名新生分配的情况。此试验的样本空间所 有样本点的个数为 第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列 §2 事件间的关系与运算 1、包含:“若事件 A 的发生必导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记为 A B 或 B A。 例如，在 E1 中，令 A 表示“掷出 2 点”的事件，即 A={2} B 表示“掷出偶数”的事件，即 B={2，4， 6}则 2、相等：若 A B 且 B A，则称事件 A 等于事件 B，记为 A=B 例如，从一付 52 张的扑克牌中任取 4 张，令 A 表示“取得到少有 3 张红桃” 的事件；B 表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然 A=B 3、和：称事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件为 A 与 B 的和事件简称为和，记为 A B，或 A+B 例如，甲，乙两人向目标射击，令 A 表示“甲击中目标”的事件，B 表示“乙 击中目标”的事件，则 AUB 表示“目标被击中”的事件。 推广： 有限个 无穷可列个 4、积：称事件 A 与事件 B 同时发生的事件为 A 与 B 的积事件，简称为积，记为 A B 或 AB。 例如，在 E3 中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令 A={接到偶数次呼唤}，B={接到 奇数次呼唤}，则 A B={接到 6 的倍数次呼唤}
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) Q 14=A142…4-{41,42……,4同时发生)任意有限个 1=A42…-1{4,A2l同时发生 无穷可列个 5、差:称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差,记为A-B 例如,测量晶体管的β参数值,令A={测得β值不超过50},B={测得β值 不超过100},则,A-B=φ,B-A={测得β值为50<B≤100} 6、互不相容:若事件A与事件B不能同时发生,即AB=中,则称A与B是互不相容的 例如,观察某定义通路口在某时刻的红绿灯:若A={红灯亮},B={绿灯亮 则A与B便是互不相容的。 7、对立:称事件A不发生的事件为A的对立事件,记为A显然A∪A=,A∩=中 例如,从有3个次品,7个正品的10个产品中任取3个,若令A={取得的 个产品中至少有一个次品},则={取得的3个产品均为正品}。 §3事件的运算规律 1、交换律AUB=BUA:A∩B=B∩A 2、结合律(AUB)UC=AU(BUC):(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 3、分配律A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C),AU(B∩C)=(A∪B)∩(AUC) 4、对偶律AUB=A∩B,A∩B=A∪B, 此外,还有一些常用性质,如 AUB2A,AUB→B(越求和越大):A∩BCA,A∩BCB(越求积越小) 若ACB,则AUB=B,A∩B=AAB=A-AB=AB等等。 第3页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 3 页 @kaiziliu 推广： 任意有限个 无穷可列个 5、差：称事件 A 发生但事件 B 不发生的事件为 A 减 B 的差事件简称为差，记为 A-B。 例如，测量晶体管的β参数值，令 A={测得β值不超过 50}，B=｛测得β值 不超过 100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为 50﹤β≤100｝ 6、互不相容：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB=φ，则称 A 与 B 是互不相容的。 例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若 A={红灯亮}，B={绿灯亮}， 则 A 与 B 便是互不相容的。 7、对立：称事件 A 不发生的事件为 A 的对立事件，记为 显然 ，A∩ =φ 例如，从有 3 个次品，7 个正品的 10 个产品中任取 3 个，若令 A={取得的 3 个产品中至少有一个次品}，则 ={取得的 3 个产品均为正品}。 §3 事件的运算规律 1、交换律 A∪B=B∪A； A∩B=B∩A 2、结合律 （A∪B）∪C=A∪（B∪C） ；（A∩B）∩C=A∩（B∩C） 3、分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C） 4、对偶律 此外，还有一些常用性质，如 A∪ B A，A∪B B（越求和越大）；A∩B A，A∩B B（越求积越小）。 若 A B，则 A∪ B=B, A∩ B=A A-B=A-AB= A 等等
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 例3,从一批产品中每次取一件进行检验,令A={第i次取得合格品},F=1,23,试用事件的运算符号表示 下列事件。A={三次都取得合格品}B={三次中至少有一次取得合格品}C=【三次中恰有两次取得合 格品}D={三次中最多有一次取得合格品 解:A=A1A2A3B=A1UA2UA3C=A1A2A∪AAA3UAA2A2D=A1A∪A1A2UA2A2 表示方法常常不唯一,如事件B又可表为 B=A1A2A3UAA243∪A1A2A3UAA2A3∪AA2A3∪AA2A2UA1A2A3或B=A1A2A3 例4,一名射手连续向某一目标射击三次,令A产{第i次射击击中目标},=1,2,3,试用文字叙述下列事 件:A1∪A2,A2,A1UA2UA2,A1A243,A2-A2,A1UA2,A∪A2 解:4UA2={前两次射击中至少有一次击中目标=(第二次射击未击中目标 AUAUA-{次射击至少有一次击中目标AAA={三次射击都击中目标 A3A2={第三次击中目标但第二次未击中目标} 4U4=前两次均未击中目标法A4UA2=A4) UA=前两次射击至少有一次未击中目标 例5,下图所示的电路中,以A表示“信号灯亮”这一事件,以B,C,D分别表示继电器接点,I,Ⅱ, Ⅲ,闭合,试写出事件A,B,C,D之间的关系。 解,不难看出有如下一些关系: BC CABD A BC UBD=A BA=中等 事件的概率 §1概率的定义 所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量,记为P(A)。规定P(A)≥0,P(9)=1。 1、古典概型中概率的定义 與褫型:满足卜列两条件的试验模型称为古典概型。 (1)所有基本事件是有限个;(2)各基本事件发生的可能性相同 例如:掷一匀称的骰子,令A={掷出2点}={2},B={掷出偶数总}={2,4,6}。此试验样本空间为 Q={1,2,3,4,5,6;,于是,应有1=P(Q)-P(A,即P(A= 3B含的基本事件数 而P(B)=3P(A)=-= 基本事件总数 第4页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 4 页 @kaiziliu 例 3，从一批产品中每次取一件进行检验，令 Ai={第 i 次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示 下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合 格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝ 解：Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３ 表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为 或 例 4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａi={第 i 次射击击中目标} , i=1,2,3，试用文字叙述下列事 件： 解： A1A2A3={三次射击都击中目标} A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标} 例 5，下图所示的电路中，以 A 表示“信号灯亮”这一事件，以 B,C,D 分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，闭合，试写出事件 A,B,C,D 之间的关系。 解，不难看出有如下一些关系： 二 事件的概率 §1 概率的定义 所谓事件 A 的概率是指事件 A 发生可能性程度的数值度量，记为 P（A）。规定 P(A)≥0，P（Ω）=1。 1、古典概型中概率的定义 古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。 （1）所有基本事件是有限个； （2）各基本事件发生的可能性相同； 例如：掷一匀称的骰子，令 A={掷出 2 点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}。此试验样本空间为 Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，应有 1=P（Ω）=6P（A），即 P（A）= 。 而 P（B）=3P（A）=
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 定义1:在古典概型中,设其样本空间9所含的样本点总数,即试验的基本事件总数为N而事件A所 含的样本数,即有利于事件A发生的基本事件数为NA,则事件A的概率便定义为: NAA包含基本事件数 P(4)基本事件总数 例1,将一枚质地均匀的硬币一抛三次,求恰有一次正面向上的概率 解:用H表示正面,T表示反面,则该试验的样本空间 9={(H,H,H)(H,H,T)(H,T,H)(T,H,H)(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)(T,T,T)}。 可见N=8令A={恰有一次出现正面},则A={(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)} 可见,令NA=3故P(4) 例2,(取球问题)袋中有5个白球,3个黑球,分别按下列三种取法在袋中取球 (1)有放回地取球:从袋中取三次球,每次取一个,看后放回袋中,再取下一个球; (2)无放回地取球:从袋中取三次球,每次取一个,看后不再放回袋中,再取下一个球 (3)一次取球:从袋中任取3个球。在以上三种取法中均求A={恰好取得2个白球的概率。 解:(1)有放回取球Na=8×8×8=83=512(袋中八个球,不论什么颜色,取到每个球的概率相等) 5×5×3=-522=225 (先从三个球里取两个白球,第一次取白球有五种情况,第二次取 MA225 P(A) 白球还有五种情况,第三次取黑球只有三种情况) 512 M。=8×7×6=A3 (2)无放回取球 M4-|25×4×3-1244-180故PC4018,054 8 (3)一次取球M A 0.54 第5页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 5 页 @kaiziliu 定义 1：在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为 NΩ而事件 A 所 含的样本数，即有利于事件 A 发生的基本事件数为 NA，则事件 A 的概率便定义为： 例 1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。 解：用 H 表示正面，T 表示反面，则该试验的样本空间 Ω={（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）}。 可见 NΩ=8 令 A={恰有一次出现正面}，则 A={（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）} 可见，令 NA=3 故 例 2，（取球问题）袋中有 5 个白球，3 个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。 （1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球； （2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球； （3）一次取球：从袋中任取 3 个球。在以上三种取法中均求 A={恰好取得 2 个白球}的概率。 解：（1）有放回取球 NΩ=8×8×8=83=512 (袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等) （先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取 白球还有五种情况，第三次取黑球只有三种情况） （2）无放回取球 故 （3）一次取球 故
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 属于取球问题的一个实例: 设有100件产品,其中有5%的次品,今从中随机抽取15件,则其中恰有2件次品的概率便为 =0.1377 (属于一次取球模型) 例3(分球问题)将n个球放入N个盒子中去,试求恰有n个盒子各有一球的概率(n≤N)。 解:令A={恰有n个盒子各有一球},先考虑基本事件的总数 M=M·M…M=M*先从N个盒子里选n个盒子,然后在n个盒子里n个球全排列 NA 故P(A)= 属于分球问题的一个实例: 全班有40名同学,向他们的生日皆不相同的概率为多少?令A={40个同学生日皆不相同},则有 故P(A= ≈0.109 (可以认为有365个盒子,40个球) 例4(取数问题) 从0,1,……9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字,并按其出现的先后排成一列,求下列 事件的概率:(1)四个数排成一个偶数:(2)四个数排成一个四位数:(3)四个数排成一个四位偶数 解:令A={四个数排成一个偶数},B={四个数排成一个四位数},C={四个数排成一个四位偶数} 。-4-10×9×8×7,M4-,4-5×9×8×7,故P(A 5×9×8×7 10×9X8×705 M2=46-43=10×9×8×7-9×8×7,故P(B) 10×9×8×7-9×8×7 0×9×8×7 的-(yk 5×9×8×7-4X8×7,故P(C)-5x98×7=4x8x7-0456 10×9×8×7 第6页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 6 页 @kaiziliu 属于取球问题的一个实例： 设有 100 件产品，其中有 5%的次品，今从中随机抽取 15 件，则其中恰有 2 件次品的概率便为 （属于一次取球模型） 例 3（分球问题）将 n 个球放入 N 个盒子中去，试求恰有 n 个盒子各有一球的概率（n≤N）。 解： 令 A={恰有 n 个盒子各有一球}，先考虑基本事件的总数 先从 N 个盒子里选 n 个盒子，然后在 n 个盒子里 n 个球全排列 故 属于分球问题的一个实例： 全班有 40 名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令 A={40 个同学生日皆不相同}，则有 (可以认为有 365 个盒子，40 个球) 故 例 4（取数问题） 从 0，1，……,9 共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列 事件的概率：（1） 四个数排成一个偶数；（2） 四个数排成一个四位数；（3） 四个数排成一个四位偶数； 解：令 A={四个数排成一个偶数}，B={四个数排成一个四位数}，C={四个数排成一个四位偶数} ，
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 例5(分组问题)将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人,分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里 有4张A牌的概率各为多少? 解:令A={有人手里有13张黑桃},B={有人手里有4张A牌} 4-(611 于是P(A)=4 63×10-2 N(52(392613)(52 4Y48Y39Y26Y13 B 9131313故p、=9 =0.01 M(52)(39)(2613 不难证明,古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质 1°P(A)≥0 2°P(9)=1 A,AA两互不相,则4-P) 2、概率的统计定义 频率:在n次重复试验中,设事件A出现了mA次,则称:f2(4=_为事件A的频率。频率具有 定的稳定性。示例见下例表 正面(A)出现的 试验者 抛硬币次数n正面(A)出现次数m频率A(4-2 德·摩尔根 2048 1061 浦丰 4040 2148 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 维尼 30000 14994 0.4998 第7页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 7 页 @kaiziliu 例 5（分组问题）将一幅 52 张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得 13 张黑桃及有人手里 有 4 张 A 牌的概率各为多少？ 解：令 A={有人手里有 13 张黑桃}，B={有人手里有 4 张 A 牌} 于是 ，故 不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质： 1° P（A）≥0 2° P（Ω）=1 3° 若 A1，A2，……，An 两两互不相容，则 2、概率的统计定义 频率：在 n 次重复试验中，设事件 A 出现了 nA 次，则称： 为事件 A 的频率。频率具有一 定的稳定性。示例见下例表 试验者 抛硬币次数 n 正面（A）出现次数 nA 正面（A）出现的 频率 德·摩尔根 2048 1061 0．5180 浦丰 4040 2148 0．5069 皮尔逊 12000 6019 0．5016 皮尔逊 24000 12012 0．5005 维尼 30000 14994 0．4998
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 定义2:在相同条件下,将试验重复n次,如果随着重复试验次数n的增大,事件A的频率f(A越来越 稳定地在某一常数p附近摆动,则称常数p为事件A的概率,即P(A)= 不难证明频率有以下基本性质: 2°f32)=1 3°若A,A,…,两两互不相容,则fdJA)=∑(4) 3、概率的公理化定义(数学定义 定义3:设某试验的样本空间为9,对其中每个事件A定义一个实数P(A),如果它满足下列三条公理: 1°P(A)≥0(非负性)2°P(Ω)=1(规范性) 3°若A,A2,…An…两两互不相容,则PA)=∑P(A)(可列可加性,简称可加性) 则称P(A)为A的概率 4、几何定义 定义4:假设9是Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域,从Ω中随机地选择一点,即9中任何一点都有 同样的机会被选到,则相应随机试验的样本空间就是Ω,假设事件A是Ω中任何一个可度量的子集,则 P(A)=0(A)0(9) §2概率的性质 性质1:若AcB,则P(BA=P(B)-P(A0 差的概率等于概率之差 证:因为:ACB 所以:B=AU(B-A)且A∩(BA)=中,由概率可加性 B-A fP(B)=PAU (B-A)=P(A)+P(B-A) B=AU(B-A) 即P(B-A)=P(B)-P(A) 性质2:若ACB,则P(A)≤P(B)一一概率的单调性 证:由性质1及概率的非负性得0≤P(BA)=P(B)-P(A),即P(A)≤P(B) 性质3:P(A)≤1 证明:由于AcΩ,由性质2及概率的规范性可得P(A)≤1 性质4:对任意事件A,P(A)=1P(A) 证明:在性质1中令B=9便有P(A)=P(9-A)=P(9)-P(A)=1P(A) 第8页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 8 页 @kaiziliu 定义 2：在相同条件下，将试验重复 n 次，如果随着重复试验次数 n 的增大，事件 A 的频率 fn(A)越来越 稳定地在某一常数 p 附近摆动，则称常数 p 为事件 A 的概率，即 P（A）=p 不难证明频率有以下基本性质： 1° 2° 3° 若 A1，A2，……，两两互不相容，则 3、概率的公理化定义 （数学定义） 定义 3：设某试验的样本空间为Ω，对其中每个事件 A 定义一个实数 P（A），如果它满足下列三条公理： 1° P（A） ≥0（非负性） 2° P（Ω）=1（规范性） 3° 若 A1，A2，……，An……两两互不相容，则 （可列可加性，简称可加性） 则称 P（A）为 A 的概率 4、几何定义 定义 4：假设Ω是 Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域，从Ω中随机地选择一点，即Ω中任何一点都有 同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是Ω，假设事件 A 是Ω中任何一个可度量的子集，则 P(A)==ū(A)/ ū(Ω) §2 概率的性质 性质 1：若 A B, 则 P(B-A)=P(B)-P(A) ——差的概率等于概率之差 证： 因为：A B 所以：B=A∪(B-A)且 A∩(B-A)=φ,由概率可加性 得 P（B）=P[A∪（B-A）]=P（A）+P（B-A） 即 P（B-A）=P（B）-P（A） 性质 2：若 A B， 则 P（A）≤P（B） ——概率的单调性 证：由性质 1 及概率的非负性得 0≤P（B-A）=P（B）-P（A），即 P（A）≤P（B） 性质 3：P（A）≤1 证明：由于 A Ω，由性质 2 及概率的规范性可得 P（A）≤1 性质 4：对任意事件 A，P（ ）=1-P（A） 证明：在性质 1 中令 B=Ω便有 P（ ）=P（Ω-A）=P（Ω）-P（A）=1-P（A）
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 性质5:P(φ)=0证:在性质4中,令A=9,便有P(φ)=P()=1-P(Ω)=1-1=0 性质6(加法公式)对任意事件A,B,有P(AB)甲P(A)坤(B)→P(AB) 证:由于AUB=AU(B-AB)且A∩(BAB)=φ(见图) 由概率的可加性及性质1便得 AB B-AB P(AUB)=PIAU (B-AB)]P(A)+P(B-AB) AUB=AU(B-AB) =P (A)+P (B)-P (AB) 推广:P( AUBUC)=P(A)+P(B)(0)P(AB)-P(A0)→P(B0)+(ABC) 例6设10个产品中有3个是次品,今从中任取3个,试求取出产品中至少有一个是次品的概率。 解:令C={取出产品中至少有一个是次品},则C={取出产品中皆为正品},于是由性质4得 P(C)=1-P(C)=1 =1-=二=0.71 例7,甲,乙两城市在某季节内下雨的概率分别为04和0.35,而同时下雨的概率为0.15,问在此季节 内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率 解:令A={甲城下雨},B={乙城下雨},按题意所要求的是 P(AUB)=P(A)+P(B)一P(AB)=0.4+0.35-0.15=0.6 例8.设ABC为三个事件,已知P(A)=PB=P(C=025P(AB)=0P(AC)=0,P(BC)=0.125,求AB,C至少有 一个发生的概率。 解:由于 ABC CAB故 0≤P(ABC)<P(AB)=0从而P(ABC)=0 于是所求的概率为 P(AU BUC)=P(A)+ P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+ P(ABC 5 第9页 akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 9 页 @kaiziliu 性质 5：P（φ）=0 证：在性质 4 中，令 A=Ω，便有 P（φ）=P（ ）=1-P（Ω）=1-1=0 性质 6 （加法公式）对任意事件 A，B，有 P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB） 证：由于 A∪B=A∪（B-AB）且 A∩（B-AB）=φ（见图） 由概率的可加性及性质 1 便得 P（A∪B）=P[A∪（B-AB）]=P（A）+P（B-AB） =P（A）+P（B）-P（AB） 推广: P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC） 例 6 设 10 个产品中有 3 个是次品，今从中任取 3 个，试求取出产品中至少有一个是次品的概率。 解：令 C={取出产品中至少有一个是次品}，则 ={取出产品中皆为正品}，于是由性质 4 得 例 7，甲，乙两城市在某季节内下雨的概率分别为 0.4 和 0.35，而同时下雨的概率为 0.15，问在此季节 内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。 解：令 A={甲城下雨}，B={乙城下雨}，按题意所要求的是 P（A∪B）=P（A）+P（B）—P（AB）=0.4+0.35-0.15=0.6 例 8．设 A,B,C 为三个事件，已知 P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求 A,B,C 至少有 一个发生的概率。 于是所求的概率为
概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 三条件概率 §1条件概率的概念及计算 在已知件B发生条件下,事件A发生的概率称为事件A的条件概率,记为P(AB)。条件概率P(AB) 与无条件概率P(A)通常是不相等的。 例1:某一工厂有职工500人,男女各一半,男女职工中非熟练工人分别为40人和10人,即该工厂职 工人员结构如下: 人数 男女总和 非熟练工人 01050 其他职工 10240450 总和 250250500 现从该厂中任选一职工,令A={选出的职工为非熟练工人},B={选出的职工为女职工} 显然,P(4)-50,(B)=230,P(AB)-10:而 500P(43) P(AB) 25025%P(B) P(A 定义1设A、B为两事件,如果P(B),则称F4-AB “P()为在事件B发生的条件下,事件A 医什同样如果P(A)>0,则称F(4 PLAB 4)为在事件A发生条件下,事件B的件概司 条件概率的计算通常有两种办法 (1)由条件概率的含义计算(通常适用于古典概型),(2)由条件概率的定义计算 例2:一盒子内有10只晶体管,其中4只是坏的,6只是好的,从中无放回地取二次晶管,每次取一只, 当发现第一次取得的是好的晶体管时,向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少? 解:令A={第一次取的是好的晶体管},B={第二次取的是好的晶体管} 按条件概率的含义立即可得: akaiziliu
概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 10 页 @kaiziliu 三 条件概率 §1 条件概率的概念及计算 在已知事件 B 发生条件下，事件 A 发生的概率称为事件 A 的条件概率，记为 P（A/B）。条件概率 P（A/B） 与无条件概率 P（A）通常是不相等的。 例 1：某一工厂有职工 500 人，男女各一半，男女职工中非熟练工人分别为 40 人和 10 人，即该工厂职 工人员结构如下： 人数 男 女 总和 非熟练工人 40 10 50 其他职工 210 240 450 总和 250 250 500 现从该厂中任选一职工，令 A= {选出的职工为非熟练工人}，B= {选出的职工为女职工} 显然， ；而 ， 定义 1 设 A、B 为两事件，如果 P（B）>0，则称 为在事件 B 发生的条件下，事件 A 的条件概率。同样,如果 P（A）>0，则称 为在事件 A 发生条件下，事件 B 的条件概率。 条件概率的计算通常有两种办法： (1)由条件概率的含义计算（通常适用于古典概型）， (2)由条件概率的定义计算。 例 2：一盒子内有 10 只晶体管，其中 4 只是坏的，6 只是好的，从中无放回地取二次晶管，每次取一只， 当发现第一次取得的是好的晶体管时，向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少？ 解： 令 A={第一次取的是好的晶体管}，B={第二次取的是好的晶体管} 按条件概率的含义立即可得： 按条件概率的定义需先计算： ；于是
