§11.1常数项级数的概念和性质 、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 自
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 §11.1 常数项级数的概念和性质 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、常数项级数的概念 今常数项级数 给定一个数列 13 则由这数列构成的表达式 1+2+l2+.··+ln+ 叫做(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,记为∑un,即 ∑un=l4+l2+13+…+an+…, 其中第n项u,叫做级数的一般项. 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , , 则由这数列构成的表达式 u1+u2+u3+ +un+ 一、常数项级数的概念 ❖常数项级数 其中第n项un叫做级数的一般项. 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为 n=1 n u , 即 1 2 3 1 = + + + + + = n n n u u u u u , 下页 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为 n=1 n u , 即
、常数项级数的概念 今常数项级数 表达式 ∑ Lln=1+l2+13+…+ln+ 称为级数,其中第n项u叫做级数的一般项 今级数的部分和 级数的前n项的和 ∑1=1+2+12+…+ln 称为级数∑un的部分和 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、常数项级数的概念 ❖常数项级数 称为级数, 其中第n项un叫做级数的一般项. 表达式 ❖级数的部分和 级数的前n项的和 1 2 3 1 = + + + + + = n n n u u u u u , n n i sn =ui =u +u +u + +u = 1 2 3 1 称为级数 n=1 n u 的部分和. 下页
级数举例 级数的展开形式 简写形式一般项备注 1+-+1+…+-+ 调和级数 23 ∴ 1·22.3 (7n+1) n(n+1)m(n+1) 等比级数 a+q+ag2+…+aqn+ n= 几何级数 1+-++…+—+ P 3P p级数 np n=lnp np 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖级数举例 1 3 1 2 1 1 1 1 = + + + + + n= n n 1 3 1 2 1 1 1 1 = + + + + + n= n n 1 3 1 2 1 1 1 1 = + + + + + n= n n 调和级数 ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 ( 1) 1 1 + + + + + + ( 1) n= n n n n 1 2 3 1 1 2 1 ( 1) 1 1 + + + + + + n= n n n n ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 ( 1) 1 1 + + + + + + n= n n n n 2 0 = + + + + + = n n n 2 aq a aq aq aq 0 = + + + + + = n n n aq a aq aq aq 几何级数 1 3 1 2 1 1 1 1 + + + + + = p p p n n p n 1 3 1 2 1 1 1 1 + + + + + = p p p n p n n 1 3 1 2 1 1 1 1 + + + + + = p p p n n p n 级数的展开形式 简写形式 一般项 备注 aqn-1 等比级数 p—级数 下页
☆级数敛散性定义 如果级数∑n的部分和数列{sn}有极限s,即 m s=s n→>0 则称无穷级数∑n收敛,这时极限s叫做这级数的和,并写成 S=∑un=1+2+3+…+n+…; 如果{sn}没有极限,则称无穷级数∑un发散 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖级数敛散性定义 如果级数 n=1 n u 的部分和数列{ }n s 有极限 s, 即 s s n n = → lim , 则称无穷级数 n=1 n u 收敛, 这时极限 s 叫做这级数的和, 并写成 1 2 3 1 = = + + + + + = n n n s u u u u u 如果{ }n s 没有极限, 则称无穷级数 n=1 n u 发散. 下页
☆级数敛散性定义 如果级数的部分和数列有极限,则称级数收敛;如果级数 的部分和数列没有极限,则称级数发散 余项 当级数∑un收敛时,级数的和s与部分和sn的差值 n=1 r=S-S,=umItumt 叫做级数∑un的余项 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖级数敛散性定义 如果级数的部分和数列有极限, 则称级数收敛 如果级数 的部分和数列没有极限,则称级数发散. ❖余项 rn =s-sn =un+1+un+2+ 当级数 n=1 n u 收敛时, 级数的和 s 与部分和 s n的差值 叫做级数 n=1 n u 的余项. 下页
例1讨论等比级数∑"(az0的敛散性 解如果q≠1,则部分和 Sn=a+aq+aq+.+agn-1 a-agn a ag q q 当1时,因为lmsn=,a,所以此时级数∑a收敛, n→ q 其和为 当1>1时,因为hmsn2=∞,所以此时级数∑qn发散 n→> n=0 当q=1时,因为s,随着n为奇数或偶数而等于a或零, 所以Sn的极限不存在,从而这时级数∑agn也发散 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 其和为 q a 1- . 解 如果q1, 则部分和 q aq q a q a aq s a aq aq aq n n n n - - - = - - = + + + + - = 1 1 1 2 1 . 当|q|=1时, 因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零, q aq q a q a aq s a aq aq aq n n n n - - - = - - = + + + + - = 1 1 1 2 1 . 例 例 1 1 讨论等比级数 n n aq =0 (a0)的敛散性. 当|q|1 时, 因为 = → n n lim s , 所以此时级数 n n aq =0 当|q|>1 时, 因为 = 发散. → n n lim s , 所以此时级数 n n aq =0 发散. 所以 sn 的极限不存在, 从而这时级数 n n aq =0 所以 sn 的极限不存在, 从而这时级数 也发散. n n aq =0 也发散. 下页
仅当1时,几何级数∑ag(a≠0)收敛,其和为 1= 例2证明级数 1+2+3+·+n 是发散的 证此级数的部分和为 nn+ =1+2+3+…+n 2 显然,lms,=∞,因此所给级数是发散的 n→>0 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 证明级数 1+2+3+ +n+ 是发散的. 证 此级数的部分和为 2 ( 1) 1 2 3 + = + + + + = n n sn n . 2 ( 1) 1 2 3 + = + + + + = n n sn n . 显然, = → n n 显然, lim s = , 因此所给级数是发散的. → n n lim s , 因此所给级数是发散的. 下页 仅当|q|1 时, 几何级数 n n aq = 1 (a0)收敛, 其和为 q a 1-
仅当1时,几何级数∑ag(a≠0)收敛,其和为 n=1 例3判别无穷级数 的收敛性 =(n+1) 解因为 1 -+∴+ n1.22.33.4 (n+ 1-7)+(-3)+…+( n n+ n+1 所以8nnn=1,从而这级数收敛,它的和是1 n→>0 小: n(n+1)nn+1 自 返回 下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 因为 ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 + + + + + = n n sn 1 1 ) 1 1 1 1 ) ( 3 1 2 1 ) ( 2 1 (1 + = - + = - + - + + - n n n , 提示: 1 1 1 ( 1) 1 + = - + = n n n n un . 例 例 3 3 判别无穷级数 =1 ( +1) 1 n n n 的收敛性. 1 1 ) 1 1 1 1 ) ( 3 1 2 1 ) ( 2 1 (1 + = - + = - + - + + - n n n , 所以 ) 1 1 1 lim lim (1 = + = - → → n s n n n 所以 ) 1, 从而这级数收敛, 它的和是 1. 1 1 lim lim (1 = + = - → → n s n n n , 从而这级数收敛, 它的和是 1. 首页 仅当|q|1 时, 几何级数 n n aq = 1 (a0)收敛, 其和为 q a 1-
收敛级数的基本性质 性质1如果∑un=s,则∑k2=ks 这是因为,设∑n与∑n的部分和分别为s与a,则 n=1 lim on=lim(ku+ku,.,. kun) n→)O k lim(u +u,+.un)=k lim Sn=ks n→>0 n→>0 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、收敛级数的基本性质 性质 性质 1 1 如果 u s n n = =1 , 则 k u k s n n = =1 . 这是因为, 设 n=1 un 与 n=1 n k u 的部分和分别为 sn与n, 则 lim lim ( ) 1 2 n n n n = k u +k u + k u → → k u u u k s k s n n n n = + + = = → → k lim (u1 u2 u ) k lim s ks. n n n n = + + = = → → k lim (u1 u2 u ) k lim s ks. n n n n = + + = = → → lim ( 1 2 ) lim . 下页
