§113幂级数 函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 幂级数的运算 自
一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 §113 幂级数 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、函数项级数的概念 今函数项级数 l2(x)=l1(x)+2(x)+2Xx ) +2(x)+ X∈ n=1 今收敛点与发散点 使函数项级数收敛的点x称为函数项级数的收敛点 使函数项级数发散的点x称为函数项级数的发散点 收敛点的全体称为收敛域,发散点的全体称为发散域 提示对于每一个确定的值x∈l,函数项级数成为常数项级数 l1(x0)+2(x0)+13x0)+…+ln(x0)+ 这个常数项级数或者收敛或者发散 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示: 由定义在区间I上的函数列{un (x)}所构成的表达式 u1 (x)+u2 (x)+u3 (x)+ +un (x)+ 一、函数项级数的概念 称为定义在区间 I 上的(函数项)级数 记为 =1 ( ) n n u x ❖函数项级数 =1 ( ) n n u x =u1 (x)+u2 (x)+u3 (x)+ +un (x)+ xI ❖收敛点与发散点 提示:对于每一个确定的值x0I函数项级数成为常数项级数 u1 (x0 )+u2 (x0 )+u3 (x0 )+ +un (x0 )+ 这个常数项级数或者收敛或者发散 使函数项级数收敛的点x0称为函数项级数的收敛点; 使函数项级数发散的点x0称为函数项级数的发散点 收敛点的全体称为收敛域发散点的全体称为发散域 下页
今函数项级数的和函数 在收敛域上,函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x),它称 为函数项级数∑u1(x)的和函数,并写成(x)=∑u(x) 和函数的定义域就是级数的收敛域 今函数项级数的部分和 函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作Sn(x),即 Sn(x)=1(x)+2(x)+2(x)+…:+ln(x) 在收敛域上有s(x)→>s(x)(n>∞) 注 ∑4(x)是∑ln(x)的简便记法,以下不再重述 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖函数项级数的和函数 ❖函数项级数的部分和 和函数的定义域就是级数的收敛域 在收敛域上 函数项级数∑un (x)的和是x的函数s(x) 它称 为函数项级数∑un (x)的和函数 并写成s(x)=∑un (x) 函数项级数∑un (x)的前n项的部分和记作sn (x)即 sn (x)=u1 (x)+u2 (x)+u3 (x)+ +un (x) 在收敛域上有sn (x)→s(x)(n→) 注: ∑un (x)是 =1 ( ) n n u x 的简便记法 以下不再重述 下页
今函数项级数的和函数 在收敛域上,函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x),它称 为函数项级数∑u1(x)的和函数,并写成(x)=∑u(x) 和函数的定义域就是级数的收敛域 今函数项级数的部分和 函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作Sn(x),即 Sn(x)=1(x)+2(x)+2(x)+….+ln(x) 在收敛域上有s(x)→>s(x)(n>∞) 今函数项级数的余项 函数项级数∑un(x)的余项记为r(x)它是和函数s(x)与部 分和(x)的差:rn(x)=(x).x 在收敛域上有rn(x)>0(n>∞) 自 返回 下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖函数项级数的余项 函数项级数∑un (x)的余项记为rn (x) 它是和函数s(x)与部 分和sn (x)的差: rn (x)=s(x)−sn (x) 在收敛域上有rn (x)→0(n→) 首页 ❖函数项级数的和函数 ❖函数项级数的部分和 和函数的定义域就是级数的收敛域 在收敛域上 函数项级数∑un (x)的和是x的函数s(x) 它称 为函数项级数∑un (x)的和函数 并写成s(x)=∑un (x) 函数项级数∑un (x)的前n项的部分和记作sn (x)即 sn (x)=u1 (x)+u2 (x)+u3 (x)+ +un (x) 在收敛域上有sn (x)→s(x)(n→)
二、幂级数及其收敛性 今幂级数 在函数项级数中,形如 an+a1X+a2x2+.·+axn+ 的级数称为幂级数,其中常数a(=1,2…)叫做幂级数的系数 幂级数举例 1+x+x2+x3+·+xn+ 1+x+x2+…+xn+ 说明:幂级数的一般形式是 a+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+a1(x-x0)+ 这种形式经变换=x-x可化为上述定义形式 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、幂级数及其收敛性 在函数项级数中 形如 a0+a1 x+a2 x 2+ +an x n+ 的级数称为幂级数 其中常数ai (i=1,2, )叫做幂级数的系数 ❖幂级数 1+x+x 2+x 3+ +x n + ! 1 2! 1 1 2 + + + + + n x n x x 幂级数举例: 说明: 幂级数的一般形式是 a0+a1 (x−x0 )+a2 (x−x0 ) 2+ +an (x−x0 ) n+ 这种形式经变换t=x−x0可化为上述定义形式 下页
二、幂级数及其收敛性 今幂级数 在函数项级数中,形如 an+a1X+a2x2+.·+axn+ 的级数称为幂级数,其中常数a(=1,2…)叫做幂级数的系数 幂级数举例 幂级数 1+x+x2+x3+·+xn+ 是公比为x的几何级数它在kxk<1时收敛,在1时发散 因此它的收敛域为(-1,1),在收敛域内有 1=1+x+x2+x3+…+xn+… 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 幂级数 1+x+x 2+x 3+ +x n+ 是公比为x的几何级数 因此它的收敛域为(−1 1) 1 1 1 2 3 = + + + + + + − n x x x x x 它在|x|1时收敛 在|x|1时发散 在收敛域内有 下页 二、幂级数及其收敛性 在函数项级数中 形如 a0+a1 x+a2 x 2+ +an x n+ 的级数称为幂级数 其中常数ai (i=1,2, )叫做幂级数的系数 ❖幂级数 幂级数举例:
令定理1(阿贝尔定理) 如果幂级数∑anx当x=x(xx=0)时收敛,则适合不等式 xKkx的一切x使幂级数∑anx绝对收敛 反之,如果幂级数∑a当x=x0时发散,则适合不等式 x>k的一切x使幂级数∑ax发散.> appro karol parol ro o 注 ∑anx是幂级数∑anx怕简记形式 0 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果幂级数∑an x n当x=x0 (x00)时收敛 则适合不等式 |x||x0 |的一切x使幂级数∑an x n发散 注: ∑an x n是幂级数 的简记形式 n=0 n n a x 下页 |x||x | 0 | |x|>|x0 | ❖定理1(阿贝尔定理) >>>定理证明
令定理1(阿贝尔定理) 如果幂级数∑anx当x=x(xx=0)时收敛,则适合不等式 xKkx的一切x使幂级数∑ax"绝对收敛 反之,如果幂级数∑ax当x=x0时发散,则适合不等式 x>k的一切x使幂级数∑ax发散 °推论 如果幂级数∑ax不是仅在点x=0一点收敛,也不是在整个 数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,使得 当R时,幂级数绝对收敛; 当R时,幂级数发散; 当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果幂级数∑an x n当x=x0 (x00)时收敛 则适合不等式 |x||x0 |的一切x使幂级数∑an x n发散 ❖定理1(阿贝尔定理) 如果幂级数∑an x n不是仅在点x=0一点收敛 也不是在整个 数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数R存在使得 当|x|R时 幂级数发散; 当x=R与x=−R时 幂级数可能收敛也可能发散 •推论 下页
☆推论 如果幂级数∑ax不是仅在点x=0一点收敛,也不是在整个 数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,使得 当比R时,幂级数发散; 自x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散 ☆收敛半径与收敛区间 正数R通常叫做幂级数∑ay的收敛半径开区间(-R,R 叫做幂级数∑ax的收敛区间 注:若幂级数只在x0收敛,则规定收敛半径R0,若幂级数在 (-∞,+∞)内收敛,则规定收敛半径R=+0 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果幂级数∑an x n不是仅在点x=0一点收敛 也不是在整个 数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数R存在使得 当|x|R时 幂级数发散; 当x=R与x=−R时 幂级数可能收敛也可能发散 ❖收敛半径与收敛区间 ❖推论 正数R通常叫做幂级数∑an x n的收敛半径 开区间(−R R) 叫做幂级数∑an x n的收敛区间 注: 若幂级数只在x=0收敛 则规定收敛半径R=0 若幂级数在 (−, +)内收敛 则规定收敛半径R=+ 下页
☆推论 如果幂级数∑ax不是仅在点x=0一点收敛,也不是在整个 数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,使得 当比xR时,幂级数绝对收敛; x>R时,幂级数发散; 自x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散 ☆收敛半径与收敛区间 正数R通常叫做幂级数∑ay的收敛半径开区间(-R,R 叫做幂级数∑anx的收敛区间 幂级数∑ax的收敛域是以下区间之一: (-R,R)、[-R,R)、(-R2R]、[R2R 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果幂级数∑an x n不是仅在点x=0一点收敛 也不是在整个 数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数R存在使得 当|x|R时 幂级数发散; 当x=R与x=−R时 幂级数可能收敛也可能发散 ❖收敛半径与收敛区间 ❖推论 正数R通常叫做幂级数∑an x n的收敛半径 开区间(−R R) 叫做幂级数∑an x n的收敛区间 幂级数∑an x n的收敛域是以下区间之一: (−R, R)、[−R, R)、(−R, R]、[−R, R] 下页 P 0 P −R R
