第四章留数定理及其应用 已讲:一个解析函数在它的解析区域内各处的函数值 有很强的内在联系,这突出表现在柯西积分公 式及其推论。 本章:讨论这种关系的另一种表现形式:解析函数的 积分值与函数的奇点的关系
第四章 留数定理及其应用 已讲：一个解析函数在它的解析区域内各处的函数值 有很强的内在联系，这突出表现在柯西积分公 式及其推论。 本章：讨论这种关系的另一种表现形式：解析函数的 积分值与函数的奇点的关系
§4.1留数定理 、留数定理 若函数八(2)在D内除有限个孤立奇点b外解析,则 F, /(e d==2xi2 Re sf(bk) L:D内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。 Rey(在b的无心邻域0<|=-b<R中的罗朗级数 的系数a,称为)在=b的留数。 a:f()在它的第k个孤立奇点b的邻域内罗朗展开式 中(=-b)的系数
§4.1 留数定理 一、留数定理 若函数 f( z ) 在 内除有限个孤立奇点 外解析，则 L： 内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。 ：f( z ) 在 的无心邻域 0 k <− < zb R 中的罗朗级数 的系数 ( ) 1 k a − ，称为 f( z ) 在 k z b = 的留数。 ：f( z )在它的第 k 个孤立奇点 的邻域内罗朗展开式 中( ) 1 k z b − − 的系数。 D D k b ∫ ∑= = m k k L f z dz i sf b 1 ( ) 2 π Re ( ) D Re ( ) k s f b ( ) 1 k a − k b
证明:在D内,以各个奇点b为圆心,作小圆周4.24分 别包含各奇点→外边界线L与所有小圆周为边界构 成闭复通区域。 由柯西定理: 「,()=∑, 分别在各个b的无心邻域0<-b<R中将化2)展开成罗朗 级数: k=1,2.m 代入积分公式: 「,(=∑叫(=-b=∑27iln 4).2Ti=2i Resf(br)
证明：在 内，以各个奇点 为圆心，作小圆周 1 2 , ... LL Lk 分 别包含各奇点 外边界线 L 与所有小圆周为边界构 成闭复通区域。 由柯西定理： 分别在各个 的无心邻域0 k <− < zb R中将 f(z)展开成罗朗 级数： ( ) () ( ) k n n k n fz a z b ∞ =−∞ = − ∑ k m =1,2... 代入积分公式： D bk ⇒ bk ∫ ∑∫ = L k Lk f (z)dz f (z)dz 2 2 Re ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 , 1 ( ) ( ) k k L n n n k n L n k k n a i i s f b f z dz a z b dz a i k k π π π δ = ⋅ = = − = − ∞ =−∞ ∞ =−∞ ∫ ∑ ∑ ∫ −
→5,=2r2Res(b) k=1 (1)方程左边:解析函数的积分值;方程右边:函数的奇点。 留数定理:将上述两者建立了一种关系。 (2)要计算解析函数的积分,关键:计算留数; (3)留数理论:复变函数的积分与级数相结合的产物; (4)b(k=12…是L所包围的f)所有奇点,而不是fz) 所有的奇点
(1) 方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数的奇点。 留数定理：将上述两者建立了一种关系。 (2) 要计算解析函数的积分，关键：计算留数； (3) 留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物； (4) 是 L 所包围的 f(z)的所有奇点，而不是 f(z) 所有的奇点。 ∫ ∑ = ⇒ = m k k L f z dz i sf b 1 ( ) 2π Re ( ) b (k =1,2,") k
、留数的计算方法 针对不同类型的奇点,有不同的计 算公式,见以下公式表
二、留数的计算方法 针对不同类型的奇点，有不同的计 算公式，见以下公式表
公式表 奇点的类型 Resy(b)=a1的计算公式 可去奇点 Resf(b)=a,=0 (1) m阶极点 mn(2-b)”f(2)(2) (m-1)!:→ 阶极点普遍公式 lim(z-b)"f(z) f() 0(z) 0(z)≠0 0( ( o(b 本性奇 在0<2-b<R展开f(2)得
证明: f(-)以可去奇点为中心的无心邻域中的罗朗级数没有负幂项 f(2)=∑a(2-b)y 2()以m阶极点为中心的无心邻域中的罗朗级数为: f(=) + +一+a+a1(-b)+ 怎样求a1?两边乘(-b)"得: (z-bf(2)=an+an1(-b)++a1(2-b)+a(2-b) m+1(2 两边对z求(m-1阶导数:
证明： 1. f(z)以可去奇点为中心的无心邻域中的罗朗级数没有负幂项 0 () ( )k k k fz a z b ∞ = = − ∑ 1 a 0 ∴ = − 2. f(z)以 m 阶极点为中心的无心邻域中的罗朗级数为： 1 1 1 0 1 ( ) ... ( ) ... ( )( ) m m m m a a a fz a az b zb zb zb − −+ − − = + ++ + + − + −− − 怎样求 ？两边乘 得： 1 1 10 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) m mm m m z b fz a a z b a z b a z b − − = + − ++ − + − − −+ − 两边对 z 求(m-1)阶导数： a −1 m (z − b)
(2-b)"f(2)=(m-1)a1+xa0(2-b) (m+ dz 两边除以(m-1后取2→b的极限: m- im,n[(2-b)"f(2 (m-1)!3bdz 3令m=1,得a1=lim(2-b)(x) b 4有时f)具有分式的形式: f(=) 0(-) c(b是的一阶极点,则是的一阶零点
1 2 1 10 1 ! ( 1)! [( ) ( )] ( 1)! ( ) ( ) ... 1! 2! m m m d mm z b fz m a a z b az b dz −− − + − = − + −+ − + 两边除以(m-1)!后取 z b → 的极限： 1 1 1 1 lim [( ) ( )] ( 1)! m m m z b d a z b fz m dz − − → − = − − 3.令 m=1，得 4.有时 f(z)具有分式的形式： ( ) ( ) ( )z f z z ϕψ = (b 是 f(z)的一阶极点，则是 ( ) ( )zz ϕψ 的一阶零点) ( ) ( ) a 1 lim z b f z z b = − → −
式中o(x),W(-)均在b点解析,(b)≠0,而b为v()的 一阶零点(即v(b)=0.,V/(b)≠0) a_=lim(z-b)f(= =lim(2-b --6 c-6 由罗比达法则: a, =lim 0(-)+(z-b)01(=)y(b) 二→ Ve) V/(b) 5对本性奇点,没有简单的公式,要在b点的无心邻域将 八2展开成罗朗级数,求得a1
式中ϕ( )z ，ψ( )z 均在 b 点解析，ϕ() 0 b ≠ ，而 b 为 ψ( )z 的 一阶零点 (即 ) 1 ( ) lim( ) ( ) lim( ) ( ) zb zb z a z bfz z b z ϕψ − → → =− =− 由罗比达法则： 1 ( ) ( ) '( ) ( ) lim '( ) '( ) z b z zb z b a z b ϕ ϕϕ ψ ψ − → + − = = 5.对本性奇点，没有简单的公式，要在 b 点的无心邻域将 f(z)展开成罗朗级数，求得 。 ψ (b) = 0,ψ '(b) ≠ 0 −1 a
例:求)=c-2m=在其奇点的留数。 解:(1)奇点为a=2,a2=0(均为一阶奇点) (2)计算Res/2) 方法 Resf(2)=lim(2-21)f(x)=lim(2-2) z→2i (2-2i)2i 方法二:a1=2i是)的一阶极点,且() 0(-) (z-2i)2v(-) 0(-)=1,y(-)=(-2i)z 满足:0(2)=1≠0,即z2i为v(z)的一阶零点
例：求 在其奇点的留数。 解：(1) 奇点为 (均为一阶奇点 ) (2) 计算Res f(2 i ) 方法一： 方法二： 是f(z )的一阶极点，且 满足： ，即 z=2 i为 的一阶零点。 z i z f z ( 2 ) 1 ( ) − = 2 , 0 a1 = i a 2 = z i z i s f i z i f z z i z i z i 2 1 ( 2 ) 1 Re ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) lim lim 2 2 = − = − = − → → a 2 i 1 = ( ) ( ) ( 2 ) 1 ( ) z z z i z f z ψ ϕ ⇒ − = ϕ ( z ) = 1,ψ ( z ) = ( z − 2 i ) z ϕ ( 2 i ) = 1 ≠ 0 ψ ( z )