第六章线性常微分方程的级数解法 球函数与柱函数 主要内容:利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方程的级数解。 级数解法的基本思想:把方程的解表示为以=为中心、带有待定 系数的幂级数,将这个幂级数带入方程及定解条件,求出所有待 定系数即该方程的解。 说明:(1)级数解法是一个比较普遄的方法,对方程无特殊的要求。 (2)对于级数,存在是否收敛和收敛范围的问题。用级数解 法要选定某个点二作展开中心,得到的解是以二0为中心 的幂级数。另外还必须确定幂级数的收敛圆,级数解只 在收敛圆内部才有意义
第六章 线性常微分方程的级数解法 球函数与柱函数 主要内容：利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方程的级数解。 级数解法的基本思想：把方程的解表示为以 0 z 为中心、带有待定 系数的幂级数，将这个幂级数带入方程及定解条件，求出所有待 定系数即该方程的解。 说明：(1)级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无特殊的要求。 (2)对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。用级数解 法要选定某个点 作展开中心，得到的解是以 为中心 的幂级数。另外还必须确定幂级数的收敛圆，级数解只 在收敛圆内部才有意义。 0 z 0 z
§6.1二阶线性齐次常微分方程的级数解法 方程的常点和奇点 方程的标准形式: (-)+p(-)m(-)+(-)M(-)=0 其中:()未知的复变函数,P9()—已知的复变函数 (方程的系数) 要求解的问题:在一定条件下(如初始条件1w(-)=cn(=)=c)满足 (1)的m(z) 方程(①)的解的性质(解的存在性,唯一性,稳定性,单值性,有限性) 由方程的系数p{)和q(2)的解析性确定
方程的标准形式： w z pzw z qzwz ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0 + += (1) 其中：w(z)——未知的复变函数， pz qz ( ), ( )——已知的复变函数 (方程的系数) 要求解的问题：在一定条件下(如初始条件 )满足 (1)的 w(z)。 方程(1)的解的性质(解的存在性，唯一性，稳定性，单值性，有限性…) 由方程的系数 p(z)和 q(z)的解析性确定。 §6.1 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 一、方程的常点和奇点 0 0 0 1 w(z ) = c , w'(z ) = c
设p(2和q(z)在一定的区域中,除若干个孤立奇点外,是z的 单值解析函数。区域中的点可分为两类: (1)方程的常点:如果p)和q(-)都在点二邻域解析,则=称为方 程的常点。 2)方程的奇点:只要两系数p)和)之一在点0不解析,就称 二0为方程的奇点。 如果最多是p(z)的一阶极点、q)的二阶极点,则2称为方程的 正则奇点。否则,则2称为方程的非正则奇点
设 p(z)和 q(z)在一定的区域中，除若干个孤立奇点外，是 z 的 单值解析函数。区域中的点可分为两类： (1) 方程的常点：如果 p(z)和 q(z)都在点 邻域解析，则 称为方 程的常点。 (2) 方程的奇点：只要两系数 p(z)和 q(z)之一在点 不解析，就称 为方程的奇点。 如果 最多是 p(z)的一阶极点、q(z)的二阶极点，则 称为方程的 正则奇点。否则，则 称为方程的非正则奇点。 0 z 0 z 0 z 0 z 0 z 0 z 0 z
常点邻域的级数解 可以证明:在常点-0的邻域=-<R内,方程()有唯 满足初始条件w(=)=C,w(a)=C的幂级数解,具有形式: ()=∑C(-=-) (C0C1:任意常数) k=0 求厄米特方程w"-2zn+n"=0在二邻域内的解
二、常点邻域的级数解 可以证明：在常点 的邻域 0 zz R − < 内，方程(1)有唯一 满足初始条件 0 0 wz C ( ) = ， 0 1 wz C '( ) = 的幂级数解，具有形式： 0 0 () ( ) k k k wz C z z ∞ = = − ∑ （ 0 1 C C, ：任意常数） 求厄米特方程 在 邻域内的解。 0 z 0 w''− 2zw'+ λw = 0 z
解:1.级数解的形式 由于p(2)=-2,q()=4,在0=0解析→20是方程的常点 级数解具有以下形式: ()=∑C(2-=-)(cnc:任意常数) k=0 2将级数解代入方程,求待定系数。 ∑Ck(k-1)2-2∑Ck+x22=0 为比较同次幂的系数,对上式作变换
解：1. 级数解的形式 由于 ，在 解析 是方程的常点 级数解具有以下形式： 0 0 () ( )k k k wz C z z ∞ = = − ∑ 2.将级数解代入方程，求待定系数。 2 1 0 00 ( 1) 2 0 k kk k kk k kk C k k z z C kz C z λ ∞ ∞∞ − − = == ∑ ∑∑ −− + = (1) 为比较同次幂的系数，对上式作变换： p(z) = −2z, q(z) = λ z0 = 0 0 ⇒ z ( c0 , c1：任意常数)
∑ Ckklk-let-2 ∑Ck(k-1)2 k=0 令k=k+2k=0,1 ∑Ck(k-1)2=∑C2(k+2k+)2=∑C2(k+2)k+1)2 k=2 ∑[C2(k+2)k+)-2C+C k+2(h+ k=0 由于上式在ˉ的邻域内成立,即是z的一个恒等式,故z的同次 幂的系数为0,则 (+2)k+1)Ck2-(2k-1)C=0 2k-2 k+2 (+)k+1)—待定系数的递推关系
2 2 0 2 ( 1) ( 1) k k k k k k Ckk z Ckk z ∞ ∞ − − = = ∑ ∑ −= − 令k k = +' 2 k ' 0,1... = ∞ 2 ' '2 2 2 '0 0 ( 1) ( ' 2)( ' 1) ( 2)( 1) k kk kk k kk k Ckk z C k k z C k k z ∞∞ ∞ − + + == = ∑∑ ∑ − = + += ++ [ ] 2 0 ( 2)( 1) 2 0 k k kk k C k k kC C z λ ∞ + = ⇒ + +− + = ∑ 由于上式在 的邻域内成立，即是 z 的一个恒等式，故 z 的同次 幂的系数为 0，则 2 ( 2)( 1) (2 ) 0 k k k kC k C + + −− = + λ 2 2 ( 2)( 1) k k k C C k k λ + − ⇒ = + + ——待定系数的递推关系. 0 z
由上式可见,偶次幂与奇次幂项互不相干,可分别用C,C表示。 2(2k-2)-4 4k-4-22(2k-2-2)- 2k(2k-1) 2k(2k-1)2k(2k-1)(2k-2)(2k-1-2) k-2-2 (4k-4-)(4k-8-).(4-x)(-) (2k)! 同理: (4k-2-)4-6-1)(6-2-4) 2k+1 (2k+1) 1线性无关的解: (=∑(2w()=∑C2+2 k=0 k=0 n(=),w(2)都是方程的解,但线性无关。方程的通解是w(c)与 n(2)的线性组合
由上式可见，偶次幂与奇次幂项互不相干，可分别用 0 1 C C, 表示。 2 2 2 2 2 2 22 2(2 2) 4 4 4 4 2(2 2 2) 2 (2 1) 2 (2 1) 2 (2 1) (2 2)(2 1 2) k kk k k k kk C CC C kk kk kk k k λλλλ − − −− − − −− −− −− − = == − − − − −− 0 (4 4 )(4 8 )...(4 )( ) (2 )! k k C k −− −− − − λ λ λλ = 同理： 21 1 (4 2 )(4 6 )...(6 )(2 ) (2 1)! k k k C C k λ λ λλ + −− −− − − = + 1. 线性无关的解： 2 0 2 0 ( ) k k k wz Cz ∞ = = ∑ 2 1 1 21 0 ( ) k k k wz C z ∞ + + = = ∑ ， 都是方程的解，但线性无关。方程的通解是 与 的线性组合。 ( ) 0 w z ( ) 1 w z ( ) 0 w z ( ) 1 w z
补充:对于普遍形式的方程:W(2)+以()m()+()()=0 如何求其在常点z域的级数解v()∑CG(=-)? k=0 解:因p(z)和q(2)都在点解析,故有泰勒展开: p()=∑an(2-)(=∑b-=) 其中:am=m m (已知) 将p(2,q)表达式代入方程: ∑Ck(k-12-=-)2+∑ k=0 a(-:0CkK-=)-+∑b-)2>(2-=y=0 k=0 并项得:
补充：对于普遍形式的方程： w z pzw z qzwz ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0 + += 如何求其在常点 邻域的级数解 0 0 () ( ) k k k wz C z z ∞ = = − ∑ ？ 解：因 p (z ) 和 q (z )都在 点解析，故有泰勒展开： 0 0 () ( ) m m m pz a z z ∞ = = − ∑ 0 0 () ( ) m m m qz b z z ∞ = = − ∑ 其中： ( ) 0 ( ) ! m m p z a m = ( ) 0 ( ) ! m m q z b m = (已知) 将 p (z )，q (z )的表达式代入方程： 2 1 0 0 0 00 0 0 0 00 ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k m k mk k mk mk k m k mk Ckk z z a z z Ck z z b z z C z z ∞ ∞ ∞ ∞∞ − − = = = == ∑ ∑∑ ∑∑ −− + − − + − − = 并项得： 0 z 0 z
∑{+2k+12+m+1-mm+∑Cm(=:y=0 →Ck的递推关系: (+2(k+1)Ck2 +2a +1-mC+m+∑ 这样,w(C(∈一)满足方程。 说明:由递推关系可从C2开始逐一把所有的系数都用C和C1表达出 来,当然其中的1(x(2)般并不分别只含z的偶次幂和奇次 幂
2 10 00 0 ( 2)( 1) ( 1 ) ( ) 0 k k k k m k m m km kmm k k C a k mC bC z z ∞ + +− − == = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ + + + +− + − = ⎩ ⎭ ∑∑∑ 的递推关系： 2 1 0 0 ( 2)( 1) ( 1 ) 0 k k k m k m m km m m k k C a k mC bC + +− − = = + + + +− + = ∑ ∑ k = 0,1,2... 这样， 0 0 () ( ) k k k wz C z z ∞ = = − ∑ 满足方程 。 说明：由递推关系可从 开始逐一把所有的系数都用 和 表达出 来，当然其中的 和 一般并不分别只含 z 的偶次幂和奇次 幂 。 ⇒ Ck C2 C0 C1 ( ) 0 w z ( ) 1 w z
三、正则奇点邻域的级数解 补充:关于指数方程的来源。 定理1.如果0是方程"+pp+q=0的奇点,则在p()和q() 都解析的环状区域0<|-=小<R内,方程的两个线性无关解是 V(2)=(z-2 n2()=(2=0)2∑D(=0) 或n2(2)=gw()n(2-)+(=0)2D(z=) 其中:P,P28,Ck,dk(=0+±2…)是常数
三、正则奇点邻域的级数解 补充：关于指数方程的来源。 定理 1. 如果 是方程 w pw qw '' ' 0 + += 的奇点，则在 p (z ) 和 q (z) 都解析的环状区域 0 0 <− < zz R 内，方程的两个线性无关解是 1 10 0 () ( ) ( ) k k k wz z z C z z ρ ∞ =−∞ =− − ∑ (1) 2 20 0 () ( ) ( ) k k k wz z z Dz z ρ ∞ =−∞ =− − ∑ (2) 2 21 0 0 0 ( ) ( )ln( ) ( ) ( ) k k k w z gw z z z z z D z z ρ ∞ =−∞ = − +− − ∑ (3) 0 z 或 其中： 是常数 , , , , ( 0, 1, 2 ) ρ1 ρ 2 g c k d k k = ± ±
