第二章复变函数的积分 在微积分学中,微分法、积分法是研究函数性质的重要 方法。 在复变函数中,微分法、积分法是研究复变函数性质的 重要方法和解决实际问题的有力工具。 §21复变函数的积分一复平面上的线积 分 复变函数积分的定义
第二章 复变函数的积分 §2.1 复变函数的积分 —复平面上的线积 分 一、复变函数积分的定义 在微积分学中，微分法、积分法是研究函数性质的重要 方法。 在复变函数中，微分法、积分法是研究复变函数性质的 重要方法和解决实际问题的有力工具
与实数函数的积分相似,复变函数的积分定义为和的极限。 1.定义:(1)设L为复平面上由A到B的一条光滑的曲线, W=f(z)在L上有定义; (2)将L任意分成n段,为第k段[k1让上的任意一点 (3)当n→O,且max△=→>0时,若和式的极限 lim∑f()k 存在,并且极限值与Ac4和5的选取方式无关,则称它 为f(z)沿L从A到B的积分,记作: 「=m∑/ 积分存在的条件: (1)积分曲线L是分段光滑的曲线; (2)被积函数f(z)是积分曲线上的连续函数
与实数函数的积分相似，复变函数的积分定义为和的极限。 1． 定义： (1) 设 L 为复平面上由 A 到 B 的一条光滑的曲线， w=f(z)在 L 上有定义； (2)将 L 任意分成 n 段， 为第 k 段 上的任意一点; (3)当 ，且 时，若和式的极限 存在，并且极限值与 和 的选取方式无关，则称它 为 f(z)沿 L 从 A 到 B 的积分，记作： max 0 1 ( ) lim ( ) n k k z L k f z dz f z ζ Δ → = ∫ = Δ ∑ 积分存在的条件： （1） 积分曲线 L 是分段光滑的曲线； （2） 被积函数 f(z)是积分曲线上的连续函数。 ξ k [ , ] k 1 k z z − n → ∞ max Δz k → 0 ∑ Δ → = Δ n k k k z f z max k 0 1 ( ) lim ξ k Δz ξ k
2.复变函数积分的计算一分解为实变函数的积分的计算 方法一:f(z)-+in dzdx+id ∫(+m(+d)(m-)+小o+h) 复变函数的积分分解为两个实变函数的线积分 方法二:若曲线L用参数方程=(表示a≤t≤B,则 dz=i'(tdt 「件(1:()(
2．复变函数积分的计算—分解为实变函数的积分的计算 方法一：f(z)=u+iv dz=dx+idy ( ) ( )( ) ( ) ( ) LL L L f z dz u iv dx idy udx vdy i vdx udy =+ + = − + + ∫∫ ∫ ∫ ——复变函数的积分分解为两个实变函数的线积分 方法二：若曲线 L 用参数方程 z=z(t)表示 ，则 dz z t dt = ′( ) ( ) [ ( )] ( ) L f z dz f z t z t dt β α = ′ ∫ ∫ α ≤ t ≤ β
二、复变函数积分的性质(可由实变函数积分性质得到) d z =2B-2 2()=-」 36()=()k复常数 L 4j()士A()=()士 L 5Jf(=jf()+( L1+L2 6/(5(l L
1. AB B A L dz z z = − ∫ 2. ( ) ( ) L L AB BA f z dz f z dz = − ∫ ∫ 3. ( ) ( ) L L kf z dz k f z dz = ∫ ∫ 12 1 2 4. [ ( ) ( )] ( ) ( ) L LL f z f z dz f z dz f z dz ±= ± ∫ ∫∫ 12 1 2 5. ( ) ( ) ( ) LL L L f z dz f z dz f z dz + = + ∫ ∫∫ 6. ( ) ( ) L L f z dz f z dz ≤ ∫ ∫ k：复常数 二、复变函数积分的性质（可由实变函数积分性质得到）
证明:三角不等式+-」=+2推广为: ∑ k=1 e=m,∑/≥lmn>//k 7.若f(-在曲线L上的最大值为M,曲线L的长度为S,则 fred=s MS L 证明:(A
证明：三角不等式 12 1 2 zz z z +≤+ 推广为： 1 1 n n k k k k z z = = ∑ ∑≤ max 0 max 0 1 1 ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) k k n n k k kk z z L k k L f z dz f z f z f z dz ζ ζ Δ→ Δ→ = = ∫ ∫ = Δ≥ Δ= ∑ ∑ 7．若 f z( ) 在曲线 L 上的最大值为 M，曲线 L 的长度为 S，则 ( ) L f z dz MS ≤ ∫ 证明： () () L L L f z dz f z dz M dz MS ≤ ≤≤ ∫∫ ∫
例:计算Ret 1.L取为由0→>1+-直线 2L取为由0→1→1+-折线 解:1直线方程y=x的参数方程为 y=1则有:zx+y=(:)和dz(+ut 0≤t<1 1+i Re()d=(1+t=(1+)t
例：计算 Re L zdz ∫ 01 . 2. 0 1 1 i L i → + →→+ 1.L取为由 的直线 取为由 的折线 解：1.直线方程 y=x 的参数方程为 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤ ≤ = = 0 t 1 y t x t 则有：z=x+iy=(1+i)t 和 dz=(1+i)dt 1 1 0 0 1 Re( ) (1 ) (1 ) 2 L i z dz t i dt i tdt + = + =+ = ∫∫ ∫
由0-→的直线方程x=,y=0,0≤t≤1,则 z=t dz=dt Read= tdt= tdt 由1→)1+的直线方程x=1,y=10≤t≤1,则 =1+it. dz=idt 「 Re edz=ir= Re edz= reeds= Read=+ reed==i+ L1+L2 结论:对于函数Re(2,积分』R(与路径有关
1 1 1 0 0 1 , 0,0 1, , 1 Re 2 L L x ty t z t dz dt zdz tdt tdt → = = ≤≤ = = === ∫ ∫∫ 由 的直线方程 则 2 12 1 2 1 0 1 1, ,0 1, 1 , Re 1 Re Re Re Re 2 L L LL L L i x yt t z it dz idt zdz idt i zdz zdz zdz zdz i + →+ = = ≤≤ =+ = = = = = + =+ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ 由1 的直线方程 则 结论：对于函数 Re(z), 积分 ∫L Re(z)dz 与路径有关
2+4i 例:计算= 1沿抛物线y=x2 2沿连接点1+倒到2+4的直线段 3沿1+1到2+然后再到2+4折线 解:1.抛物线参数方程为 x=1,y=t2其中1≤t≤2 则z=x+iy=t+it dz=d(t+it)=(1+i2t)dt ∫=2=-(+m)(+12)d=1(2-)-41+21+21(2-)
例：计算 2 4 2 1 i i z dz + + ∫ 1.沿抛物线 2 y x = 2.沿连接点1 24 + + i i 到 的直线段 3.沿 到 然后再到 的折线 1 2 24 ++ + ii i 解:1．抛物线参数方程为 2 2 , ( ) (1 2 ) x ty t dz d t it i t dt = = ≤≤ = + =+ 2 其中1 t 2 则 z=x+iy=t+it 24 2 2 2 2 22 2 4 4 3 2 4 11 1 1 ( ) (1 2 ) [( ) 4 ] [2 2 ( )] i i z dz t it i t dt t t t dt i t t t t dt + + = + + = −− + + − ∫∫ ∫ ∫
1+倒2+4-直线方程为:y=3x-2 参数方程为:x=1和y=3t-2 1≤≤2则2=x+y=t+(31-2 d=t+(3-2)]=(1+3)lt 2+4i 86 ∫:=+1(3-2】(1+31)m 1+i
２． 24 2 2 2 1 1 1 24 3 2 3 2 1 2 (3 2) [ (3 2)] (1 3 ) 86 [ (3 2)] (1 3 ) 6 3 ii i i yx xty t t z x iy t i t dz d t i t i dt z dz t i t i dt i + + + + =− = =− ≤≤ = + =+ − = + − =+ = + − + =− − ∫ ∫ 到 的直线方程为： 参数方程为： 和 则
3.沿折线 (1)从1+i到2+线段的方程xt;y=1;1≤t≤2则 c=t+i dz=dt ∫=-(+h=(2-1+1M=+3 (2)从2+到4+2线段的方程x2;y=t,1st≤4则 x+iv dz=idt z=(2+0)iot=4ndt+1(4-)ah=30-9 4"3+列 )+(-30-9) 结论:对于函数f(2)=2沿着不同的路径积分相同
３．沿折线 (1)从 1+i 到 2+i 线段的方程 x=t ; y=1 ; 1t2 ≤ ≤ 则 22 2 2 2 22 11 1 1 , 4 ( ) ( 1) 2 3 3 ii z t i dz dt z dz t i dt t dt i tdt i + + =+ = = + = − + =+ ∫∫ ∫ ∫ (2)从 2+i 到 4+2i 线段的方程 x=2; y=t; 1 4 ≤ ≤t 则 z x iy dz idt =+ = ; 24 4 4 4 22 2 11 11 (2 ) 4 (4 ) 30 9 i i z dz it idt i tidt i t dt i + + = + = + − =− − ∫∫ ∫ ∫ 1 2 4 86 ( 3 ) ( 30 9 ) 6 3 3 LLL = + = + + − − =− − iii ∫∫∫ 结论：对于函数 f (z) = z 2 沿着不同的路径积分相同
