第七章定解问题 数学物理方程:从物理问题中导出的函数方程,特别是偏 微分方程和积分方程 重点讨论:二阶线性偏微分方程 补充:关于二阶线性偏微分方程分类(两个自变量的情况) 的说明 两个自变量的二阶偏微分方程最普遍的形式: F( x.V..,,,ll.,L,l ry?yy )=0(1 F:给定的函数;x,y:自变量(实数:(xy):未知函数 l.,L,l.,l.,lL:u的一阶和二阶偏导数 y
第七章 定解问题 数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别是偏 微分方程和积分方程 重点讨论：二阶线性偏微分方程 补充：关于二阶线性偏微分方程分类 (两个自变量的情况 ) 的说明 两个自变量的二阶偏微分方程最普遍的形式： F：给定的函数； x,y:自变量 (实数 )；u (x,y ):未知函数 ：u 的一阶和二阶偏导数 ( , , , , , , ) = 0 ( 1 ) u x u y uxx uxy uyy F x y u x u y uxx uxy uyy , , ,
如果(1)式中u的二阶偏导数都是一次的,即 aur+2bur+cu+8=0(2) 其中:abcg都是xy,,lx,2y的函数,则方程称为准 线性的 如果方程具有 aur+ 2 bu +cu+du teu, +fa +g=0( 3) 的形式,其中abc;d.efg都只是自变量x和y的函数,则方程 称为线性的。 设ab,c是x,y平面上某区域中的连续可微函数,对方程(3) 进行简化和分类,为此,引进新的变量5,n(实数) 5=0(x,y)n=v(x,y)(4 于是
如果(1)式中 u 的二阶偏导数都是一次的，即 其中：a,b,c,g 都是 的函数，则方程称为准 线性的。 如果方程具有 的形式，其中 a,b,c,d,e,f,g 都只是自变量 x 和 y 的函数，则方程 称为线性的。 设 a,b,c 是 x，y 平面上某区域中的连续可微函数，对方程（3） 进行简化和分类，为此，引进新的变量 （实数） 于是 au + 2bu + cu + g = 0 (2) xx xy yy x y x, y,u,u ,u au + 2bu + cu + du + eu + fu + g = 0 (3) xx xy yy x y ξ ,η ξ = ϕ(x, y),η =ψ (x, y) (4)
u=29x+,y, u-o, tu,y =1292+229y2+um1y2+19n+uyn 1=229+1(y+V)+myy+,9 u=u0 +2u U,+umI+u2py tunY yy 代入(试式: al2+2Bn+yun+0(5,,,l2n)=0(6) 其中: a=a2+2b.9,+cv1 B=a0v+b(o +,V )+co, v,( 8) r=ay*+2by y,+cy
(5) 2 ( ) 2 , 2 2 2 2 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬⎫ = + + + + = + + + + + = + + + + = + = + yy y y y y yy yy xy x y x y y x x y xy xy xx x x x x xx xx x x x y y y u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u ϕ ϕ ψ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ψ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ξξ ξη ηη ξ η ξξ ξη ηη ξ η ξξ ξη ηη ξ η ξ η ξ η 代入(3)式： 其中： + 2 + + Φ( , , , , ) = 0 (6) ξξ ξη ηη ξ η ξ η α u βu γ u u u u 2 (9) ( ) (8) 2 (7) 2 2 2 2 y x y y x x x y y x y y x x y y a b c a b c a b c γ ψ ψ ψ ψ β ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ α ϕ ϕ ϕ ϕ = + + = + + + = + +
d:242的线性函数 注意到7),(9)试的形式完全相同,仅是￠换成了v。因此,如果 能选择到方程 az+2bzz +ci=0 的两个互相独立的解,则6式中的a,B等于0 设xy)是方程(10)的一个特解,则z(xyC(常数)必满足 a()2-2b+c=0(1 d x 证明如下:
:, , uu u Φ ξ η 的线性函数 注意到(7)，(9)式的形式完全相同，仅是 变换成了 。因此，如果 能选择到方程 2 2 2 0 x xy y az bz z cz + += (10) 的两个互相独立的解，则(6)式中的 等于 0 设 z(x,y)是方程(10)的一个特解，则 z (x,y)=C(常数)必满足 2 ( ) 2 0(11) dy dy a bc dx dx − += 证明如下： ϕ ψ α, β
由(0.因a≠0→2,≠0(如果z,=0,则由(10)→2=0→z=常数) 于是沿曲线(x,y)=c (z,≠0)代入(10 dx a(2z,)2+2b(-z,1+c2=0 26 dx 反过来,如果0(x,y)=C是方程(11)的一个通解,则z=0(x,y) 必满足(10)。方程(11)可以分为两个一次方程: dyb+√b2-ac 特征值方程(其解称为特征线)
2 2 2 (10), 0( 0, 10 0 ( , ) ( 0) 10 ) 2( ) 0 () 2 0 x x y z z dy z zxy c dx dy dy b cz dx dx dy dy a bc dx dx ≠⇒ ≠ = ⇒ =⇒≡ = ⇒ =− ≠ + += ⇒ − += y y y y y yy 由 因a 0 z 如果z 则由（ ） 常数） 于是沿曲线 z 代入（ ）： z a(- z - z z 反过来，如果 是方程(11)的一个通解，则 必满足(10)。方程(11)可以分为两个一次方程： 2 2 dy b b ac dx a dy b b ac dx a + − = − − = (12) ——特征值方程（其解称为特征线） ϕ(x, y) = C z = ϕ(x, y)
讨论(12)的解,分三种情况: 1b2-ac>0:双曲型方程;un+①(,m1,.,un)=0 2b2-ac<0:椭圆型方程;m+(,n,l,l2,L)=0 3b2-ac=0:抛物线型方程;un+,n,12n)=0
讨论（12）的解，分三种情况： 2 2 2 1. 0 : ( , , , , ) 0 2. 0 : ( , , , , ) 0 3. 0 : ( , , , , ) 0 b ac u u u b ac u u u b ac u u u ξη ξ η ξη ξ η ηη ξ η ξ η ξ η ξ η − > +Φ = − < +Φ = − = +Φ = 双曲型方程；u 椭圆型方程；u 抛物线型方程；u
1物理规律的数学表示—泛定方程 数学语言 物理规律→物理量u在空间和时间中的变化规律, 即物理量l在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。 这种联系→ (1)有可能从边界条件和初始条件去推算n在任意地点(xy) 和任意时刻的值(xy=1) (2)直接表现只能是u在邻近地点和邻近时刻所取的值之间的 关系式。这种邻近地点、邻近时刻之间的关系往往是偏微分 方程。泛定方程反映的是同一类物理现象的共性,和具体条 件无关 例:牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律,跟具体条 件无关
1.物理规律的数学表示——泛定方程 物理规律 物理量u在空间和时间中的变化规律， 即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。 这种联系 (1) 有可能从边界条件和初始条件去推算u在任意地点(x,y,z) 和任意时刻t的值u(x,y,z,t) (2) 直接表现只能是u在邻近地点和邻近时刻所取的值之间的 关系式。这种邻近地点、邻近时刻之间的关系往往是偏微分 方程。泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条 件无关。 例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条 件无关。 → 数学语言 翻译 ⇒
2.定解条件的提出 同一类物理现象中,各个具体问题又各有其特殊性,即 个性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史,即个性。 例:一个物体做竖直上抛,一个物体斜抛 七6始片第种情/5=0 yo 第二种情况 x=0m=7o9 yo=o sin 8 方程:两种情况下都为 mi=0→ⅸ=c.x=Ct+c 0→j=-gt+d,y=-gt+dt+
2. 定解条件的提出 同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性，即 个性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛 t=0(初始 )： 方程：两种情况下都为 ⎩ ⎨ ⎧ = = ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 0 0 0 0 0 0 0 v v v y x y x 第一种情况 ⎩ ⎨ ⎧ = = ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ sin cos 0 0 0 0 0 0 0 0 v v v v y x y x 第二种情况 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ = − + = − + + = ⇒ = = + ' 2 1 0 , 0 , ' 2 my y gt d y gt d t d m x x c x ct c
由初始条件得特解: ()对竖直上抛:jx-0=0=c=,=0 d Vo→vy=vo-g4 y gt (2)对斜向上抛: 0=c→= Vo cOs0 x=(vo cos 8)t d= Vo sin→ sin e y=vo sinet--gt
由初始条件得特解： (1) 对竖直上抛： (2) 对斜向上抛： ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ⇒ = = = ⇒ = = = 0 ' 0 0 0 0 0 x c x x c v t t x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ = − = = ⇒ = − = = 2 0 0 0 0 0 2 1 y d' y v t gt y d v v v gt t t y ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ = = = ⇒ = = = x c x v t x v c v v t t x ' ( cos ) cos cos 0 0 0 0 0 θ θ θ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇒ = − = = ⇒ = − = = 2 0 0 0 0 0 2 1 ' 0 sin sin sin y d y v t gt y d v v v gt t t y θ θ θ
结论:不同的初始条件→不同的运动状态,但都服从牛顿 第二定律。 综上所述,定解问题的完整提法: 在给定的边界条件和初始条件下,根据已知的物理规律, 解出某个物理量u在给定的区域里随着地点(xy,z)和时刻 t怎样变化,即求uxy3zt)。另外,还有数理方程理论的三个 个主要问题: (1)解的存在问题 (2)解的唯一性问题 讨论在什么定解条件下,对于哪一函数类,方程的解是唯
结论：不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿 第二定律。 综上所述，定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律， 解出某个物理量u 在给定的区域里随着地点（x,y,z）和时刻 t怎样变化，即求u(x,y,z,t)。另外，还有数理方程理论的三个 个主要问题： (1) 解的存在问题 (2) 解的唯一性问题 讨论在什么定解条件下，对于哪一函数类，方程的解是唯 ⇒
