第八章行波法与平均值法 用行波法求解波动方程的基本思想 先求出偏微分方程的通解,然后用定解条件确定特解。 评述:这一思想与常微分方程的解法是一样的。 关键步骤:通过变量变换,将波动方程化为便于积分的齐次 二阶偏微分方程
第八章 行波法与平均值法 用行波法求解波动方程的基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。 评述：这一思想与常微分方程的解法是一样的。 关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次 二阶偏微分方程
8.1无界弦的自由振动 无界弦的自由振动 (1)无界弦的涵义:不是无限长的弦,是所关心的那一段弦远 离两端,在所讨论的时间内,弦两端的影响来不及传到这段弦 上,因而认为弦的两端在无限远,就不必给弦的两端提出边界条 件。定解问题→初值问题 (2)自由振动:弦不受强迫力的作用,振动是自由的→方程齐次 定解问题: (x,0)=(x) -00<x<0 l1(x,0)=y(x) 0(x):初位移;(x):初速度
8.1无界弦的自由振动 一、无界弦的自由振动 (1) 无界弦的涵义： 不是无限长的弦，是所关心的那一段弦远 离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来不及传到这段弦 上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦的两端提出边界条 件。定解问题 初值问题 (2)自由振动：弦不受强迫力的作用，振动是自由的 方程齐次 定解问题： 2 0 tt xx u au − = ux x ( ,0) ( ) = ϕ −∞ < < ∞ x −∞ < < ∞ x ：初位移； ：初速度 ⇒ ⇒ ϕ( x ) ψ ( x ) u ( x,0 ) ( x ) t = ψ
、用行波法解方程 1.求偏微分方程的通解 泛定方程:l1n-alx=0 →(+a)(-a厘u=0 at a 作变量代换: L=x+at n=x-at →X
二、用行波法解方程 1. 求偏微分方程的通解 泛定方程： 2 0 tt xx u au − = ( )( ) 0 a au t xt x ∂ ∂∂ ∂ ⇒+ − = ∂ ∂∂ ∂ 作变量代换： x at x at ξ η = + = − ( ) 21 ( ) 21 ⇒ = ξ +η = ξ −η a x t
aa ax a at a1 a as ax a5 at as 2 ax a at aa ax a at an ax an at an 2 ax a a 010、1010 ll inds 2 ax a at 2 Ox a Ot au 1 u -a ll L.-a2u=0→l.=0 对7积分:=() 再对ξ积分: n=」/(5=(5)+A(m) →l=f(x+a)+(x-a)
2 0 0 tt xx u au u − =⇒ = ξη 对 积分：u f ( ) ξ = ξ 再对 积分： 1 2 1 2 () () () ( )( ) u fdf f u f x at f x at = =+ ξξ ξ η ⇒= + + − ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 4 ) 1 ( 41 ) 1 ( 21) 1 ( 21 ) 1 ( 21 ) 1 ( 21 a u a u t u x a u x a t x a t u u x a t t t x x x a t t t x x tt − xx = − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ η ξ η η η ξ ξ ξ ξη η ξ
2.利用定解条件来确定升,f2 由初始条件得:(x0)=f1(x)+2(x)=0(x) l(x0=20f(x)-02(x)=0(x) 由(2)积分: If()=f2(x)]dx=- o(s)ds A(x)(-J0h+其中=(x)-(x) 由(1)和(3) f(x)==0(x)+ cQ]y(saxo f(x)=9(x)-∫vd xtar →认(x1)=[0(x+an)+(x-a)+|v(sds 达朗贝尔公式
2 . 利用定解条件来确定 由初始条件得： 1 2 ux f x f x x ( ,0) ( ) ( ) ( ) =+ = ϕ (1) 1 2 ( ,0) ( ) ( ) ( ) t u x af x af x x =−= ′ ′ ϕ (2) 由（2）积分： 0 0 1 2 1 [ ( ) ( )] ( ) x x x x f x f x dx s ds a ′ − = ′ ϕ ∫ ∫ 0 1 2 10 20 1 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) x x f x f x s ds c c f x f x a −= + = − ϕ ∫ 其中 (3) 由(1)和(3)： 0 0 1 2 1 1 () () () 22 2 1 1 () () () 22 2 1 1 (,) [ ( ) ( ) () 2 2 x x x x x at x at c f x x s ds a c f x x s ds a u x t x at x at s ds a ϕ ψ ϕ ψ ϕϕ ψ + − =+ + =− − ⇒ = ++ −+ ∫ ∫ ∫ ——达朗贝尔公式 1 2 f , f
、解的物理意义 1.只有初始位移时,即w(x)=0 l(x,)=-[(x+a)+(x-a) 假设初始位移是在区间x1x]上的等腰三角形,从t0开始画出 每经过M=弦的相继位置。可见 2%(x-代表以速度a沿x轴正向传播的波 2%(x+c代表以速度a沿x轴负向传播的波 2.只有初始速度时:0x)=0 l(x,1)= y(s)ds 2aJx-at 假使初始速度在区间x,x]上是常数%,而在此区间外恒等于0 →l(x,1)=(x+a)-(x-an)
一、解的物理意义 1. 只有初始位移时，即ψ () 0 x = [ ( ) ( )] 21 u(x,t) = ϕ x + at +ϕ x − at 假设初始位移是在区间 1 2 [, ] x x 上的等腰三角形，从 t=0 开始画出 每经过 2 1 8 x x t a− Δ = 弦的相继位置。可见： 1 ( ) 2ϕ x at − 代表以速度 a 沿 x 轴正向传播的波 1 ( ) 2ϕ x at + 代表以速度 a 沿 x 轴负向传播的波 2. 只有初始速度时： 1 (,) () 2 x at x at u x t s ds a ψ +− = ∫ 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于 0 ⇒ =Ψ + −Ψ − u x t x at x at (,) ( ) ( ) ϕ(x) = 0 [ , ] 1 2 x x ψ 0
其中 Y(x) y(s)as=0 1(x-x)Vx≤x≤x2 (x,-xy x> 则(x)和-甲(x)的图形分别为 从t=0开始,画出每经过4=x2=x 的波与其差的相继位置 →弦振动传播情况(见图) 结论:达朗贝尔解表示沿x轴正、反向传播的两列波的叠加
其中 0 1 () () 0 2 xx x s ds a Ψ= = ψ∫ 1 x x ≤ 1 0 1 ( ) 2 x x a = − ψ 1 2 x xx ≤ ≤ 2 10 1 ( ) 2 x x a = − ψ 2 x x ≥ 则 Ψ( ) x 和-Ψ( ) x 的图形分别为： 从 t=0 开始，画出每经过 2 1 8 x x t a− Δ = 的波与其差的相继位置 弦振动传播情况(见图) 结论：达朗贝尔解表示沿 x 轴正、反向传播的两列波的叠加。 ⇒
第三章分离变量法 补充:三角函数的正交性 (1) cOS mx.n2g=?(m≠m及mm cosa cos B=lcos(a+B)+cos(a-B) 2Jolcos(m+n)Ix (m-n)Ix +cOS m-n 时 2n丌 cos--x+l)dx m1≠n 时 (m +n)Ix(m-n)Tx cOS +coS (m+nIx I.(m-n)rx sIn 2(m+n)I 1(m-n)丌
第三章 分离变量法 1. 补充：三角函数的正交性 （ 1 ） 0 cos cos ? l mx nx I dx l l π π = = ∫ (m n ≠ 及m=n ) 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 α β αβ αβ = ++ − 0 1 () () [cos cos ] 2 l mn x mn x I dx l l + − π π = + ∫ m = n 时： 0 1 2 (cos 1) 2 2 l n l I x dx l π = += ∫ 时： 0 0 1 () () [cos cos ] 2 1 () () [ sin sin ] 2( ) ( ) 0 l l mn x mn x I dx l l l mn x l mn x mn l mn l π π π π π π + − = + + − = + + − = ∫ m ≠ n
mIx nIX COS COS dx=-6 n丌r.nx (2)I= sin sinasin B=--[cos(a+B)-cos(a-B) S(m+n)兀x m-n)丌x m-n h丌x m≠n (m+n)丌x (m-n)丌x sIn sIn 2(m+n)T (m-n)I mix. nIx sin sin -dx=-=s
, 0 cos cos 2 l m n mx nx l dx l l π π ∴ = δ ∫ （2） 0 sin sin ? l mx nx I dx l l π π = = ∫ 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2 α β αβ αβ =− + − − 0 1 () () [cos cos ] 2 l mn x mn x I dx l l + − π π =− − ∫ m=n: 2 0 sin 2 l mx l I dx l π = = ∫ m n ≠ : 0 1 () () [ sin sin ] 2( ) ( ) 0 l l mn x l mn x I mn l mn l π π π π + − =− − + − = , 0 sin sin 2 l m n mx nx l dx l l π π ∴ = δ ∫
若0()2,sm nIX 求Cn=? mIX 两边乘以sin后,对x由0到积分 0( xsin (m=1,2,3 即 SPlx)sin" ar (n=1. 2.3 (4若(x=> noX 1,求Cn=? yohe小-∑25,2 ntX V(x)cos-dx
(3)若 1 ( ) sin n n n x x c lπ ϕ ∞= = ∑ ，求 n c =？ 两边乘以 sin m x lπ 后，对 x 由 0 到 l 积分 , 0 0 1 1 ( )sin sin sin 2 2 l l n n mn m n n mx mx nx l l x dx c dx c c l ll π ππ ϕ δ ∞ ∞ = = ∫ ∫ = == ∑ ∑ 0 2 ( )sin l m m x c x dx l lπ ∴ = ϕ∫ （m=1,2,3….） 即 0 2 ( )sin l n n x c x dx l lπ = φ∫ (n=1,2,3……) (4)若 0 ( ) cos n n n x x c lπ ψ ∞= = ∑ ，求 n c =？ , 0 0 0 0 ( )cos cos cos 2 2 l l n n mn m n n mx mx nx l l x dx c dx c c l ll π ππ ψ δ ∞ ∞ = = ∫ ∫ = == ∑ ∑ 0 2 ( )cos l n n x c x dx l lπ ∴ = ψ∫