《高等数学》课程教学资源：第十二章（12.8）二阶常系数齐次线性微分方程

§12.8二阶常系数齐次线性微分方程 方程y"+py+qy=0称为二阶常系数齐 次线性微分方程,其中p、q均为常数 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分 方程的两个线性无关解,那么yCu1+C2y2 就是它的通解 自

§12.8 二阶常系数齐次线性微分方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃 方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐 次线性微分方程 其中p、q均为常数 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分 方程的两个线性无关解 那么y=C1 y1+C2 y2 就是它的通解

◆二阶常系数齐次线性微分方程 方程y"+my+q=0称为二阶常系数齐次线性微分方程,其 中p、q均为常数 分析: 考虑到当y、y、y为同类函数时,有可能使y"+py+qy恒 等于零,而函数e具有这种性质,所以猜想e是方程的解. 将ye代入方程y"+py+q=0得 (r2+p+q)e=0 由此可见,只要r满足代数方程r2+py+q=0,函数y=ex就是微分 方程的解 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖二阶常系数齐次线性微分方程 考虑到当y 、 y 、 y为同类函数时 有可能使y+py+qy恒 等于零 而函数e rx具有这种性质所以猜想e rx是方程的解 将y=e rx代入方程y+py+qy=0得 (r 2+pr+q)e rx=0 由此可见 只要r满足代数方程r 2+pr+q=0 函数y=e rx就是微分 方程的解 分析 下页 方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其 中p、q均为常数

◆二阶常系数齐次线性微分方程 方程y"+py+q=0称为二阶常系数齐次线性微分方程,其 中p、q均为常数 ◆特征方程及其根 方程2+p-+q=0叫做微分方程y+py+=0的特征方程 特征方程的求根公式为 25~ 4e 2 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 4 2 1, 2 p p q r − + − =  方程r 2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程 ❖特征方程及其根 特征方程的求根公式为 下页 ❖二阶常系数齐次线性微分方程 方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其 中p、q均为常数

◆特征方程的根与通解的关系 方程尸2+P+q=0的根的情况方程y"+py+q=0的通解 有两个不相等的实根:1、2y=Ce+C2ex 简要证明:这是因为 函数e和ex都是方程的解; e()不是常数,即e与ex线性无关 e 23 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 r x r x y C e 1 C e 2 = 1 + 2 ❖特征方程的根与通解的关系 有两个不相等的实根r1、r2 方程r 2+pr+q=0的根的情况 方程y+py+qy=0的通解 简要证明 下页 这是因为 函数 r x e 1 和 r x e 2 都是方程的解 r r x r x r x e e e ( ) 1 2 2 1 − = 不是常数 即 r x e 1 与 r x e 2 线性无关 r r x r x r x e e e ( ) 1 2 2 1 − = 不是常数 即 r x e 1 与 r x e 2 线性无关

◆特征方程的根与通解的关系 方程尸2+P+q=0的根的情况方程y"+py+q=0的通解 有两个不相等的实根;、n2|y=Ce+C2ex 有两个相等的实根:r y=Cel+cei 简要证明:这是因为 (xeixy+p(xeix)+q(xe'ix)=(2n +xn)eli+(1+xr)elix+qe e(21+p)+xe(2+p1+q)=0, 即xex是方程的解; xe dix 抄O x不是常数,即ex与e线性无关 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 r x r x y C e 1 C xe 1 = 1 + 2 有两个不相等的实根r1、r2 有两个相等的实根r1=r2 下页 ❖特征方程的根与通解的关系 方程r 2+pr+q=0的根的情况 方程y+py+qy=0的通解 r x r x y C e 1 C e 2 = 1 + 2 简要证明 这是因为 r x r x r x r x r x r x x e 1 p x e 1 q x e 1 r x r e 1 p x r e 1 qxe 1 ( ) ( ) ( ) (2 ) (1 ) 1 2 + + = 1 + 1 + + + (2 ) ( 1 ) 0 2 1 1 =e 1 r + p +x e 1 r + pr +q = r x r x  即 r x x e 1 是方程的解 x e x e r x r x = 1 1 不是常数 即 r x e 1 与 r x e 2 线性无关 r x r x r x r x r x r x x e 1 p x e 1 q x e 1 r x r e 1 p x r e 1 qxe 1 ( ) ( ) ( ) (2 ) (1 ) 1 2 + + = 1 + 1 + + + x e x e r x r x = 1 1 不是常数 即 r x e 1 与 r x e 2 线性无关

◆特征方程的根与通解的关系 方程尸2+P+q=0的根的情况方程y"+py+q=0的通解 有两个不相等的实根;、n2|y=Ce+C2ex 有两个相等的实根:r y=Cel+cei 有一对共轭复根:12=cBy=ea(c;cosx+C2sinB) 简要证明:因为函数y=e和y2=e(a0都是方程的解, rf eax cos Bx=0+y2), ear sin Bx=(-22),>>> 故 e Bx和 eaxsinBx也是方程的解; 函数 arcos Bx与 easin的比值为 cotBx,不是常数 故 ea cos Bx和esin是方程的线性无关解 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 有两个不相等的实根r1、r2 有一对共轭复根r1, 2=i y=e x (C1 cosx+C2 sinx) 下页 ❖特征方程的根与通解的关系 方程r 2+pr+q=0的根的情况 方程y+py+qy=0的通解 r x r x y C e 1 C e 2 = 1 + 2 有两个相等的实根r1=r2 简要证明 故e xcosx和e xsinx也是方程的解 因为函数y1=e (+i)x和y2=e (−i)x都是方程的解 而 ( ) 2 1 cos 1 2 e x y y x  = +   ( ) 2 1 sin 1 2 y y i e x x  = −   函数e xcosx与e xsinx的比值为cotx 不是常数 故e xcosx和e xsinx是方程的线性无关解 r x r x y C e 1 C xe 1 = 1 + 2 >>>

◆特征方程的根与通解的关系 方程尸2+P+q=0的根的情况方程y"+py+q=0的通解 有两个不相等的实根;、n2|y=Ce+C2ex 有两个相等的实根:r y=Cel+cei 有一对共轭复根:12=cBy=ea(c;cosx+C2sinB) 求y"+py+q=0的通解的步骤 第一步写出微分方程的特征方程 tpr+g= 第二步求出特征方程的两个根r1、r2; 第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的 通解 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 •第一步 写出微分方程的特征方程 r 2+pr+q=0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2  •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的 通解 求y+py+qy=0的通解的步骤 下页 有两个不相等的实根r1、r2 有一对共轭复根r1, 2=i y=e x (C1 cosx+C2 sinx) ❖特征方程的根与通解的关系 方程r 2+pr+q=0的根的情况 方程y+py+qy=0的通解 r x r x y C e 1 C e 2 = 1 + 2 有两个相等的实根r1=r2 r x r x y C e 1 C xe 1 = 1 + 2

◆特征方程的根与通解的关系 方程尸2+P+q=0的根的情况方程y"+py+q=0的通解 有两个不相等的实根;、n2|y=Ce+C2ex 有两个相等的实根:r y=Cel+cei 有一对共轭复根:12=cBy=ea(c;cosx+C2sinB) 例1求微分方程y-2y-3y=0的通解 解微分方程的特征方程为 r2-2r-3=0,即(r+1)(r-3)=0 特征方程有两个不相等的实根r=1,r2=3, 因此微分方程的通解为 Ie +Caer 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 有两个不相等的实根r1、r2 有一对共轭复根r1, 2=i y=e x (C1 cosx+C2 sinx) ❖特征方程的根与通解的关系 方程r 2+pr+q=0的根的情况 方程y+py+qy=0的通解 r x r x y C e 1 C e 2 = 1 + 2 有两个相等的实根r1=r2 r x r x y C e 1 C xe 1 = 1 + 2 因此微分方程的通解为y=C1 e −x+C2 e 3x  例1 求微分方程y−2y−3y=0的通解 解 微分方程的特征方程为 r 2−2r−3=0 特征方程有两个不相等的实根r1=−1r2=3 即(r+1)(r−3)=0

◆特征方程的根与通解的关系 方程尸2+P+q=0的根的情况方程y"+py+q=0的通解 有两个不相等的实根;、n2|y=Ce+C2ex 有两个相等的实根:r y=Cel+cei 有一对共轭复根:12=cBy=ea(c;cosx+C2sinB) 例2求方程y"+2y+y=0的通解 解微分方程的特征方程为 2+2r+1=0,即(r+1)2=0 特征方程有两个相等的实根r1=2=-1, 因此微分方程的通解为yC1e-+C2xe-,即y=(C1+C2x)e 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 有两个不相等的实根r1、r2 有一对共轭复根r1, 2=i y=e x (C1 cosx+C2 sinx) ❖特征方程的根与通解的关系 方程r 2+pr+q=0的根的情况 方程y+py+qy=0的通解 r x r x y C e 1 C e 2 = 1 + 2 有两个相等的实根r1=r2 r x r x y C e 1 C xe 1 = 1 + 2 特征方程有两个相等的实根r1=r2=−1 例2 求方程y+2y+y=0的通解 解 微分方程的特征方程为 r 2+2r+1=0 即(r+1)2=0 因此微分方程的通解为y=C1 e −x +C2 xe−x  即y=(C1+C2 x)e −x 

◆特征方程的根与通解的关系 方程尸2+P+q=0的根的情况方程y"+py+q=0的通解 有两个不相等的实根;、n2|y=Ce+C2ex 有两个相等的实根:r y=Cel+cei 有一对共轭复根:12=cBy=ea(c;cosx+C2sinB) 例3求微分方程y-2y+5y0的通解 解微分方程的特征方程为 y2-2r+5=0. 特征方程的根为r1=1+2,r2=1-2,是一对共轭复根 因此微分方程的通解为y=e(Ccos2x+C2sin2x) 通解形式 返回 页结束铃

通解形式 首页 上页 返回 下页 结束 铃 r 2−2r+5=0 特征方程的根为r1=1+2ir2=1−2i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为y=e x (C1 cos2x+C2 sin2x) 例 3 求微分方程y−2y+5y= 0的通解 有两个不相等的实根r1、r2 有一对共轭复根r1, 2=i y=e x (C1 cosx+C2 sinx) ❖特征方程的根与通解的关系 方程r 2+pr+q=0的根的情况 方程y+py+qy=0的通解 r x r x y C e 1 C e 2 = 1 + 2 有两个相等的实根r1=r2 r x r x y C e 1 C xe 1 = 1 + 2 解 微分方程的特征方程为