数学分析教学大纲 2005年3月修订 、课程基本信息 1、课程中文名称:数学分析 2、课程类别:必修 3、适用专业:数学与应用数学专业(师范类 4、课程地位:基础课(主干课) 5、总学时:270学时 6、总学分:15学分 7、先修课程:①高中数学②空间解析几何③高等代数④普通物理 8、课程编码0511111 二、课程目标 1、本课程是髙等师范院校数学系的数学与应用数学专业的一门重要基础课, 它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分 学等方面的系统知识 本课程是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、实变函数论、概率 论、拓扑学、泛函分析等后继课程的阶梯,也为深入理解中学数学打下必要的基 础。与中学数学的许多内容,如实数系、函数、方程、不等式、极值、面积、体 积、弧长等有着密切的联系。 2、通过本课程的讲授与作业应使学生: (1)使学生对极限思想和方法有较深刻的认识,培养学生的辩证唯物主义 观点; (2)正确理解数学分析的基本概念,牢固地掌握数学分析中的基本理论和 基本方法,逐步提髙他们抽象思维和逻辑推理的能力,培养他们熟练的演算技能 和初步应用的能力,为进一步学习其它课程打下基础。 (3)通过对贯穿数学分析始终的极限思想和方法的教学,使学生弄清不变 与变,有限与无限,特殊与一般的辩证关系,进一步培养他们的辩证唯物主义史
1 数学分析教学大纲 2005 年 3 月修订 一、课程基本信息 1、课程中文名称：数学分析 2、课程类别：必修 3、适用专业：数学与应用数学专业（师范类） 4、课程地位：基础课（主干课） 5、总学时：270 学时 6、总学分：15 学分 7、先修课程：①高中数学 ②空间解析几何 ③高等代数 ④普通物理 8、课程编码 05111101 二、课程目标 1、本课程是高等师范院校数学系的数学与应用数学专业的一门重要基础课， 它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分 学等方面的系统知识。 本课程是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、实变函数论、概率 论、拓扑学、泛函分析等后继课程的阶梯，也为深入理解中学数学打下必要的基 础。与中学数学的许多内容，如实数系、函数、方程、不等式、极值、面积、体 积、弧长等有着密切的联系。 2、通过本课程的讲授与作业应使学生： （1）使学生对极限思想和方法有较深刻的认识，培养学生的辩证唯物主义 观点； （2）正确理解数学分析的基本概念，牢固地掌握数学分析中的基本理论和 基本方法，逐步提高他们抽象思维和逻辑推理的能力，培养他们熟练的演算技能 和初步应用的能力，为进一步学习其它课程打下基础。 （3）通过对贯穿数学分析始终的极限思想和方法的教学，使学生弄清不变 与变，有限与无限，特殊与一般的辩证关系，进一步培养他们的辩证唯物主义史 观
3、本课程在第一、二、三学期开设,“大纲内容”括号内所注学时数是指讲 授时数。 4、实施本大纲时,请注意以下几点 (1)在不影响基本要求的情况下,本大纲所列各单元讲授顺序和时数安排, 可作适当调整 (2)为避免教学上的难点过于集中,有些定理可先提出并应用,把证明推 迟进行,如实数的一些基本定理可移到一元函数微分学之后,又如定积分中“上 和与下和,“可积条件”的证明可移到积分法之后,亦可移入实变函数中进行, 可将闭区间上连续函数性质有关定理的证明移入拓扑学中进行。 (3)作为中学数学教师,应对“实数理论”有一定的理解。本大纲把“实数理 论”作为附录放在最后。建议结合实数基本定理的证明作适当介绍 (4)本大纲列入部分带*号(或在附注中说明)的内容,供选用。 (5)体现师范性,重视应用性。 (6)强调素质教育,将素质教育贯穿于整个课程教学之中 课程内容 第一章函数(6学时) [教学目的与要求] 要求学生深刻理解函数概念,掌握数集的上、下确界的定义、确界存在原理 和初等函数的概念,进一步了解函数几种表示法和几种具有某些特性的函数 [教学内容] 1、实数、区间与邻域 2、有界集、确界与确界原理 3、函数概念,函数的几种表示法(解析法、列表法和图象法等)。函数的四 种运算。复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数 4、具有某些特殊类型的函数:有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周 期函数 附注] (1)为了与中学数学相衔接,建议用无限十数定义实数,并指出它的性质
2 3、本课程在第一、二、三学期开设， “大纲内容”括号内所注学时数是指讲 授时数。 4、实施本大纲时，请注意以下几点： （1）在不影响基本要求的情况下，本大纲所列各单元讲授顺序和时数安排， 可作适当调整。 （2）为避免教学上的难点过于集中，有些定理可先提出并应用，把证明推 迟进行，如实数的一些基本定理可移到一元函数微分学之后，又如定积分中“上 和与下和”，“可积条件”的证明可移到积分法之后，亦可移入实变函数中进行， 可将闭区间上连续函数性质有关定理的证明移入拓扑学中进行。 （3）作为中学数学教师，应对“实数理论”有一定的理解。本大纲把“实数理 论”作为附录放在最后。建议结合实数基本定理的证明作适当介绍。 （4）本大纲列入部分带*号（或在附注中说明）的内容，供选用。 （5）体现师范性，重视应用性。 （6）强调素质教育，将素质教育贯穿于整个课程教学之中。 三、课程内容 第一章 函数（6 学时） [教学目的与要求] 要求学生深刻理解函数概念，掌握数集的上、下确界的定义、确界存在原理 和初等函数的概念，进一步了解函数几种表示法和几种具有某些特性的函数。 [教学内容] 1、实数、区间与邻域 2、有界集、确界与确界原理 3、函数概念，函数的几种表示法（解析法、列表法和图象法等）。函数的四 种运算。复合函数、反函数、基本初等函数、初等函数 4、具有某些特殊类型的函数：有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周 期函数 [附注] （1）为了与中学数学相衔接，建议用无限十数定义实数，并指出它的性质
(2)在中学已学过“集合”、“对应”的基础上,建议用“映射”的观点定义函 数,并引用记号∫:x→>y。 (3)在中学数学中的应用。 第二章数列极限(10学时) [教学目的与要求] 要求学生理解和掌握数列极限的定义,并会用E-N定义证明数列的极限, 能熟练地利用收剑数列的性质及极限存在准则求数列的极限。 [教学内容] 1、数列,数列极限的￡-N定义,无穷小数列 2、收敛数列性质——唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四 则运算及子列 3、有界单调数列极限存在定理。lm(1+-)"=e。柯西收敛准则 [附注] 在中学数学中的应用 第三章函数极限(10学时) [教学目的与要求] 要求学生理解和掌握各种趋势函数极限的定义,学会用定义证明函数的极 限,能熟练用函数极限的性质、两个重要极限求函数极限,能利用极限存在准则 判定函数极限存在或不存在,掌握无穷小量、无穷大量及其阶的概念。 [教学内容] 1、函数极限,E-δ定义,E-M定义,单侧极限 2、函数极限性质:唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛 性、四则运算 3、函数极限存在的条件:归结原则( Heine定理),函数极限的单调有界定 理和函数极限的柯西准则
3 （2）在中学已学过“集合”、“对应”的基础上，建议用“映射”的观点定义函 数，并引用记号 f : x → y 。 （3）在中学数学中的应用。 第二章 数列极限（10 学时） [教学目的与要求] 要求学生理解和掌握数列极限的定义，并会用 − N 定义证明数列的极限， 能熟练地利用收剑数列的性质及极限存在准则求数列的极限。 [教学内容] 1、数列，数列极限的 − N 定义，无穷小数列 2、收敛数列性质——唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四 则运算及子列 3、有界单调数列极限存在定理。 n n n ) 1 lim (1+ → =e。柯西收敛准则 [附注] 在中学数学中的应用。 第三章 函数极限（10 学时） [教学目的与要求] 要求学生理解和掌握各种趋势函数极限的定义，学会用定义证明函数的极 限，能熟练用函数极限的性质、两个重要极限求函数极限，能利用极限存在准则 判定函数极限存在或不存在，掌握无穷小量、无穷大量及其阶的概念。 [教学内容] 1、函数极限， − 定义， − M 定义，单侧极限 2、函数极限性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛 性、四则运算 3、函数极限存在的条件：归结原则（Heine 定理），函数极限的单调有界定 理和函数极限的柯西准则
4、两个重要极限:Imn亞x=1,Im(+x)2=e 5、无穷小量及其阶的比较。记号0、O、~。广义极限:G-δ,G-M, G-N的定义,无穷大量及其阶的比较,应用等价无穷小(大)量的代换法求极 限 [附注] (1)在中学数学中的应用。 (2)用等价关系的观点去处理等价无穷小量 (3)可介绍函数情形的stoz公式和等价无穷大量。 第四章函数的连续性(10学时) [教学目的与要求] 要求学生掌握连续函数的概念,熟悉连续函数的局部性质及初等函数的连续 性;了解函数间断点的分类,牢记闭区间上连续函数的性质,并能应用这些性质 解决一些有关问题 [教学内容] 1、在一点函数的连续性、单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的 函数 2、连续函数的局部性质——有界性、保号性。连续函数的有理运算。复合 函数的连续性。闭区间上连续函数的性质—有界性、取得最大最小值性、介值 性、一致连续性。反函数的连续性 3、初等函数连续性 附注] (1)在讲授“初等函数连续性”时,应给出“实指数的乘幂”的定义 (2)在中学数学中的应用 (3)在证明不等式中的应用 4)闭区间上连续函数性质的几个定理的证明可移入拓扑学中,教学时可 直接用其结论。 (5)可引入记号C[a,b,Ba,b
4 4、两个重要极限： 1 sin lim 0 = → x x x ， x e x x + = → 1 0 lim (1 ) 5、无穷小量及其阶的比较。记号 0、O 、～。广义极限：G − ，G − M ， G − N 的定义，无穷大量及其阶的比较，应用等价无穷小（大）量的代换法求极 限 [附注] （1）在中学数学中的应用。 （2）用等价关系的观点去处理等价无穷小量。 （3）可介绍函数情形的 stolz 公式和等价无穷大量。 第四章 函数的连续性（10 学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握连续函数的概念，熟悉连续函数的局部性质及初等函数的连续 性；了解函数间断点的分类，牢记闭区间上连续函数的性质，并能应用这些性质 解决一些有关问题。 [教学内容] 1、在一点函数的连续性、单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的 函数 2、连续函数的局部性质——有界性、保号性。连续函数的有理运算。复合 函数的连续性。闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大最小值性、介值 性、一致连续性。反函数的连续性 3、初等函数连续性 [附注] （1）在讲授“初等函数连续性”时，应给出“实指数的乘幂”的定义。 （2）在中学数学中的应用。 （3）在证明不等式中的应用。 （4）闭区间上连续函数性质的几个定理的证明可移入拓扑学中，教学时可 直接用其结论。 （5）可引入记号 C[a, b], B[a, b]
第五章导数与微分(14学时) [教学目的与要求] 要求学生掌握导数、微分的概念和基本导数公式;掌握求导和微分法则,能 熟练地计算初等函数的各阶导数和微分。 [教学内容] 1、导数定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义、物理意义、经济意义 2、求导法则:和、差、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。 初等函数的导数 3、微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性 4、高阶导数与高阶微分 5、由参量方程所确定的函数的导数 [附注] (1)结合求导举例,可介绍对数求导法 (2)高阶导数的莱布尼茨( Leibniz)公式可述而不证。 (3)凑微法的应用。 (4)可引用记号C[a,b]。 第六章中值定理与导数应用(16学时) [教学目的与要求] 要求学生掌握中值定理与泰勒公式;理解中值定理的几何意义和证明方法, 能熟练地利用洛必达法则求不定式的极限。能熟练地利用导数讨论函数的单调 性、极值、凸性及作函数的图象。 [教学内容] 1、费马( Fermat)定理。罗尔(Role)中值定理。拉格朗日( Lagrange) 中值定理。柯西( Cauchy)中值定理 2、不定式极限 3、泰勒( Taylor)定理(泰勒公式及其拉格朗日型余项)。近似计算 4、函数单调性的判别法。极值。最大值和最小值
5 第五章 导数与微分（14 学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握导数、微分的概念和基本导数公式；掌握求导和微分法则，能 熟练地计算初等函数的各阶导数和微分。 [教学内容] 1、导数定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义、物理意义、经济意义 2、求导法则：和、差、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。 初等函数的导数 3、微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性 4、高阶导数与高阶微分 5、由参量方程所确定的函数的导数 [附注] （1）结合求导举例，可介绍对数求导法。 （2）高阶导数的莱布尼茨（Leibniz）公式可述而不证。 （3）凑微法的应用。 （4）可引用记号 C [a, b] r 。 第六章 中值定理与导数应用（16 学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握中值定理与泰勒公式；理解中值定理的几何意义和证明方法， 能熟练地利用洛必达法则求不定式的极限。能熟练地利用导数讨论函数的单调 性、极值、凸性及作函数的图象。 [教学内容] 1、费马（Fermat）定理。罗尔（Rolle）中值定理。拉格朗日（Lagrange） 中值定理。柯西（Cauchy）中值定理 2、不定式极限 3、泰勒（Taylor）定理（泰勒公式及其拉格朗日型余项）。近似计算 4、函数单调性的判别法。极值。最大值和最小值
5、函数的凸性与曲线的拐点 6、函数图象的讨论。洛必达( L'Hospital)法则。导数在经济学上的应用 [附注] (1)在中学数学中的应用。 (2)可简介最优化动态。 第七章实数的完备性(18学时) [教学目的与要求] 要求学生熟悉实数的基本定理及了解它们的等价性;掌握闭区间上连续函数 性质的证明方法。 [教学内容] 1、确界与确界存在定理。区间套定理。数列的柯西( Cauchy)收敛准则。 有界无限数列存在收敛子列。聚点定理。有限覆盖定理 2、闭区间上连续函数性质的证明 3、上极限与下极限 [附注] (1)建议以区间套定理为主要工具证明其他定理 (2)在中学数学中的应用 (3)可介绍附录:实数理论为了与分析的其它分支联系得更紧密,可主要 介绍康托尔的基本序列说,戴德金的分割说仅介绍其大意。 第八章不定积分(12学时) [教学目的与要求] 要求学生掌握原函数与不定积分概念和性质,牢记基本积分公式,并能熟练 应用换元积分法、分部积分法以及有理函数和三角函数有理式的积分法求不定积 分 [教学内容] 1、原函数与不定积分概念。基本积分表。线性运算法则 2、换元积分法。分部积分法
6 5、函数的凸性与曲线的拐点 6、函数图象的讨论。洛必达（L'Hospital）法则。导数在经济学上的应用 [附注] （1）在中学数学中的应用。 （2）可简介最优化动态。 第七章 实数的完备性（18 学时） [教学目的与要求] 要求学生熟悉实数的基本定理及了解它们的等价性；掌握闭区间上连续函数 性质的证明方法。 [教学内容] 1、确界与确界存在定理。区间套定理。数列的柯西（Cauchy）收敛准则。 有界无限数列存在收敛子列。聚点定理。有限覆盖定理 2、闭区间上连续函数性质的证明 3、上极限与下极限 [附注] （1）建议以区间套定理为主要工具证明其他定理。 （2）在中学数学中的应用。 （3）可介绍附录：实数理论为了与分析的其它分支联系得更紧密，可主要 介绍康托尔的基本序列说，戴德金的分割说仅介绍其大意。 第八章 不定积分（12 学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握原函数与不定积分概念和性质，牢记基本积分公式，并能熟练 应用换元积分法、分部积分法以及有理函数和三角函数有理式的积分法求不定积 分。 [教学内容] 1、原函数与不定积分概念。基本积分表。线性运算法则 2、换元积分法。分部积分法
3、有理函数积分法。三角函数有理式的积分。几种无理函数的积分 (R(, ax+b ),R(x, )等 cx+d [附注] (1)连续函数的原函数存在性的证明留待下一单元“定积分”中进行 (2)可简介“积不出”问题 第九章定积分(20学时) [教学目的与要求] 要求学生理解定积分概念、掌握定积分性质、可积的必要条件和充要条件, 熟悉几何可积函数类;能熟练运用牛顿一莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分 法计算定积分。 [教学内容] 1、引入问题(曲边梯形面积与变力作功)。定积分定义。定积分的几何意义 2、可积的必要条件。上和、下和及其性质。可积的充要条件。可积函数类 在闭区间上连续函数、在闭区间上只有有限个间断点的有界函数、在闭区间 上的单调函数 3、定积分性质——线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性 积分中值定理 微积分学基本定理。牛顿-莱布尼茨公式。换元积分法。分部积分法。用 ∫a定义对数函数,并导出对数函数和指数函数的基本性质 [附注] (1)在中学数学中的应用。 (2)引入记号Fa,b]。 (3)R[a,b]的优缺点。 (4)为 Lebesgue积分出现铺平道路
7 3、有理函数积分法。三角函数有理式的积分。几种无理函数的积分 R x ax bx c ) cx d ax b R x n + + + + 2 ( ( , ), ( , ）等 [附注] （1）连续函数的原函数存在性的证明留待下一单元“定积分”中进行。 （2）可简介“积不出”问题。 第九章 定积分（20 学时） [教学目的与要求] 要求学生理解定积分概念、掌握定积分性质、可积的必要条件和充要条件， 熟悉几何可积函数类；能熟练运用牛顿一莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分 法计算定积分。 [教学内容] 1、引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义。定积分的几何意义 2、可积的必要条件。上和、下和及其性质。可积的充要条件。可积函数类 ——在闭区间上连续函数、在闭区间上只有有限个间断点的有界函数、在闭区间 上的单调函数 3、定积分性质——线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、 积分中值定理 4、微积分学基本定理。牛顿-莱布尼茨公式。换元积分法。分部积分法。用 x t dt 1 定义对数函数，并导出对数函数和指数函数的基本性质 [附注] （1）在中学数学中的应用。 （2）引入记号 R[a, b]。 （3） R[a, b] 的优缺点。 （4）为 Lebesgue 积分出现铺平道路
第十章定积分的应用(6学时) [教学目的与要求] 要求学生掌握定积分在几何上的应用。 [教学内容] 1、简单平面图形面积 2、由截面面积求立体体积 3、曲线的弧长与弧微分。曲率。已知截面积函数的立体体积 4、旋转体体积与侧面积。平均值。物理应用(压力、功、静力矩与重心等), 积分在经济学上的应用 5、定积分在求某些数列极限中的应用与在证明不等式方面的应用 [附注] (1)在定积分应用中,介绍“微元法” (2)在中学数学中应用。 第十一章反常积分(8学时) [教学目的与要求] 要求学生能正确地判断反常积分的敛散性,能求简单的反常积分的值。掌握 无穷限非正常积分概念,柯西收敛准则,绝对收敛与条件收敛,无穷限反常积分 收敛性判别法(比较原则、柯西判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法)。无 界函数反常积分概念,无界函数反常积分收敛性判别法(比较原则、柯西判别法 等)。 [教学内容 1、反常积分概念 2、无穷限反常积分收敛性判别法。柯西准则。线性运算法则。绝对收敛。 反常积分与数项级数的关系 3、瑕积分(无界函数反常积分概念),无界函数反常积分收敛性判别法
8 第十章 定积分的应用（6 学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握定积分在几何上的应用。 [教学内容] 1、简单平面图形面积 2、由截面面积求立体体积 3、曲线的弧长与弧微分。曲率。已知截面积函数的立体体积 4、旋转体体积与侧面积。平均值。物理应用（压力、功、静力矩与重心等）， 积分在经济学上的应用 5、定积分在求某些数列极限中的应用与在证明不等式方面的应用 [附注] （1）在定积分应用中，介绍“微元法”。 （2）在中学数学中应用。 第十一章 反常积分（8 学时） [教学目的与要求] 要求学生能正确地判断反常积分的敛散性，能求简单的反常积分的值。掌握 无穷限非正常积分概念，柯西收敛准则，绝对收敛与条件收敛，无穷限反常积分 收敛性判别法（比较原则、柯西判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法）。无 界函数反常积分概念，无界函数反常积分收敛性判别法（比较原则、柯西判别法 等）。 [教学内容] 1、反常积分概念 2、无穷限反常积分收敛性判别法。柯西准则。线性运算法则。绝对收敛。 反常积分与数项级数的关系 3、瑕积分（无界函数反常积分概念），无界函数反常积分收敛性判别法
第十二章数项级数(12学时) [教学目的与要求] 要求学生掌握级数收敛、绝对收敛与条件收敛的概念;掌握判别级数收敛性 的一些判别法,并能熟练运用适当的判别法判定级数的收敛性;了解绝对收敛级 数的性质。 [教学内容] 级数收敛与和的定义。柯西准则。收敛级数的基本性质 2、正项级数。比较原则。比式判别法与根式判别法。拉贝(Rabe)判别法 与高斯判别法* 3、一般项级数的绝对收敛与条件收敛。交错级数。莱布尼茨判别法。阿贝 尔(Able)判别法与狄利克雷( Dirichlet)判别法*。绝对收敛级数的重排定理。 条件收敛级数的黎曼( Riemann)定理 第十三章函数列与函数项级数(10学时) [教学目的与要求] 要求学生掌握函数列、函数项级数收敛和一致收敛概念;并能熟练运用适当 的判别法判定函数列和函数项级数的一致收敛性;掌握一致收敛函数列和函数项 级数的性质,会利用一致收敛函数项级数的逐项可微和可积性求级数的和 [教学内容] 1、函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念。一致收敛的柯西准则。函 数项级数的维尔斯特拉斯( Weierstrass)优级数判别法。阿贝尔判别法与狄利克 雷判别法*。 2、函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项微分。 [附注] (1)强调应用 (2)为L积分的控制收敛定理出现设入伏线
9 第十二章 数项级数（12 学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握级数收敛、绝对收敛与条件收敛的概念；掌握判别级数收敛性 的一些判别法，并能熟练运用适当的判别法判定级数的收敛性；了解绝对收敛级 数的性质。 [教学内容] 1、级数收敛与和的定义。柯西准则。收敛级数的基本性质 2、正项级数。比较原则。比式判别法与根式判别法。拉贝（Raabe）判别法 与高斯判别法* 3、一般项级数的绝对收敛与条件收敛。交错级数。莱布尼茨判别法。阿贝 尔（Able）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法*。绝对收敛级数的重排定理。 条件收敛级数的黎曼（Riemann）定理* 第十三章 函数列与函数项级数（10 学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握函数列、函数项级数收敛和一致收敛概念；并能熟练运用适当 的判别法判定函数列和函数项级数的一致收敛性；掌握一致收敛函数列和函数项 级数的性质，会利用一致收敛函数项级数的逐项可微和可积性求级数的和。 [教学内容] 1、函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念。一致收敛的柯西准则。函 数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法。阿贝尔判别法与狄利克 雷判别法*。 2、函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项微分。 [附注] （1）强调应用。 （2）为 L 积分的控制收敛定理出现设入伏线
第十四章幂级数(10学时) [教学目的与要求] 要求学生掌握幂级数收敛半径和收敛区间的求法:熟悉幂级数在收敛区间内 的分析性质:;会用直接和间接法将初等函数展开成幂级数 [教学内容] 1、阿贝尔第一定理。收敛半径与收敛区间。一致收敛性。连续性。逐项积 分与逐项微分。幂级数的四则运算 2、函数的幂级数展开,泰勒级数。泰勒展开的条件。初等函数的泰勒展开 近似计算。用幂级数定义正弦、余弦函数。复变量的指数函数与欧拉(Euer) 公式*。幂级数与母函数。在差分方程中应用 [附注] (1)幂级数的除法运算可通过举例作介绍。 (2)在近似计算中应包括e的计算与无理性证明,丌的计算等。 (3)在中学数学中应用。 第十五章傅里叶( Fourier)级数(12学时) [教学目的与要求] 要求学生了解傅里叶级数收敛定理的条件与结论;能熟练地将函数展开为傅 里叶级数。 [教学内容] 1、三角级数。三角函数系的正交性。傅里叶级数。贝塞尔( Bessel)不等 式。黎曼-勒贝格( Riemann- Lebesgue)定理。傅里叶级数的部分和公式。按段光 滑且以2x为周期的函数展开为傅里叶级数的收敛定理。奇函数与偶函数的傅里 叶级数 2、以2l为周期的函数的傅里叶级数。一致收敛性定理。傅里叶级数的逐项 积分与逐项微分。维尔斯特拉斯的函数逼近定理
10 第十四章 幂级数（10 学时） [教学目的与要求] 要求学生掌握幂级数收敛半径和收敛区间的求法；熟悉幂级数在收敛区间内 的分析性质；会用直接和间接法将初等函数展开成幂级数。 [教学内容] 1、阿贝尔第一定理。收敛半径与收敛区间。一致收敛性。连续性。逐项积 分与逐项微分。幂级数的四则运算 2、函数的幂级数展开，泰勒级数。泰勒展开的条件。初等函数的泰勒展开。 近似计算。用幂级数定义正弦、余弦函数*。复变量的指数函数与欧拉（Euler） 公式*。幂级数与母函数。在差分方程中应用 [附注] （1）幂级数的除法运算可通过举例作介绍。 （2）在近似计算中应包括 e 的计算与无理性证明， 的计算等。 （3）在中学数学中应用。 第十五章 傅里叶（Fourier）级数（12 学时） [教学目的与要求] 要求学生了解傅里叶级数收敛定理的条件与结论；能熟练地将函数展开为傅 里叶级数。 [教学内容] 1、三角级数。三角函数系的正交性。傅里叶级数。贝塞尔（Bessel）不等 式。黎曼-勒贝格（Riemann-Lebesgue）定理。傅里叶级数的部分和公式。按段光 滑且以 2 为周期的函数展开为傅里叶级数的收敛定理。奇函数与偶函数的傅里 叶级数 2、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数。一致收敛性定理。傅里叶级数的逐项 积分与逐项微分。维尔斯特拉斯的函数逼近定理*