《高等数学》课程教学资源：第九章 重积分（9.4）重积分的应用

§94重积分的应用 、曲面的面积 二、质 、转动惯量 四、引力 自

一、曲面的面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 §9.4 重积分的应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、曲面的面积 今曲面的面积元素 设曲面S的方程为z=(x,y),f(x,y)在 2 X. 区域D上具有连续偏导数 设d为曲面上点M处的面积元素, Ida d4在xOy平面上的投影为小闭区域da, 点M在xOy平面上的投影为点P(x,y) 因为点M处的法向量为n=(-f,-f,1), dok 所以 提示:因为M处的切平面与xOy面的夹角为(n,k),所以 dA. cos(n, k=do 又因为nk=kcos(n,k)=1,cos(n,k)=四1,所以dA=mda 所素法 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 一、曲面的面积 元素法 下页 因为点M处的法向量为n=(−f x  −f y  1) 设dA为曲面上点M处的面积元素 dA在xOy平面上的投影为小闭区域d 点M在xOy平面上的投影为点P(x y) 因为M处的切平面与xOy面的夹角为(n^k)所以 dAcos(n^k)=d cos(n^k)=|n| 所以dA=|n|d −1 又因为nk=|n|cos(n^k)=1  ❖曲面的面积元素 设曲面S的方程为z=f(x y) f(x y)在 区域D上具有连续偏导数 所以

、曲面的面积 今曲面的面积元素 设曲面S的方程为z=(x,y),f(x,y)在 2 X. 区域D上具有连续偏导数 设d为曲面上点M处的面积元素, Ida d4在xOy平面上的投影为小闭区域da, 点M在xOy平面上的投影为点P(x,y) 因为点M处的法向量为n=(-f,-f1),doe 所以 Hndo=/1+f2(x,y)+f2(x,y)do 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 dA | |d 1 f x (x, y) f y (x, y)d 2 2 = n = + +  一、曲面的面积 ❖曲面的面积元素 设曲面S的方程为z=f(x y) f(x y)在 区域D上具有连续偏导数 设dA为曲面上点M处的面积元素 dA在xOy平面上的投影为小闭区域d 点M在xOy平面上的投影为点P(x y) 因为点M处的法向量为n=(−f x  −f y  1) 所以 下页 dA | |d 1 f x (x, y) f y (x, y)d 2 2 = n = + + 

、曲面的面积 今曲面的面积元素 设曲面S的方程为z=(x,y),f(x,y)在区域D上具有连续偏 导数.则曲面的面积元素为 dA=1+ f2(x, y)+ f2(x,y)do 今曲面的面积 设曲面S的方程为z=x,y),∫x,y)在区域D上具有连续偏 导数,则曲面S的面积为 A=+/?(x, 3)+/(x,yd 或A Oz D 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、曲面的面积 dA 1 f x (x, y) f y (x, y)d 2 2 = + +  ❖曲面的面积 设曲面S的方程为z=f(x y) f(x y)在区域D上具有连续偏 导数 则曲面S的面积为 A f x x y f y x y d D 1 ( , ) ( , ) 2 2 = + +   或 dxdy y z x z A D 2 2 1 ( ) ( )   +   = +   ❖曲面的面积元素 设曲面S的方程为z=f(x y) f(x y)在区域D上具有连续偏 导数 则曲面的面积元素为

曲面的面积公式:A=1+()2+(9)ah 讨论: (1)曲面x=g(y,z)的面积如何求? (2)曲面y=h(,x)的面积如何求? 提 1)A fh⊥ax12⊥/Ox12 )dya 其中D是曲面在yOz面上的投影区域 (2)A=1+(2+()2aahx D 其中D是曲面在zOx面上的投影区域 首负”上”返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 曲面的面积公式 讨论 (1)曲面x=g(yz)的面积如何求？ (2)曲面y=h(z x)的面积如何求？ 提示 下页 或 dxdy y z x z A D 2 2 1 ( ) ( )   +   = +   (1) dydz z x y x A Dy z    +   = + 2 2 1 ( ) ( )  其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域 (2) dzdx x y z y A Dzx    +   = + 2 2 1 ( ) ( )  其中Dzx是曲面在zOx面上的投影区域

例1求半径为R的球的表面积 解球面的面积A为上半球面面积的两倍 球心在原点的上半球面的方程为z=R2-x2-y2,而 X az R R2-x-y 所以A=2 +()2+ OX x+visE 2 R 丌 r ddp X+ySR2VR2-v2 dxdy =2r de R 小: 此积分的被积函数是无界的,因此这是一种反常积分 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 球面的面积A为上半球面面积的两倍 例1 求半径为R的球的表面积 2 2 2 R x y x x z − − − =    2 2 2 R x y y y z − − − =    2 2 2 R x y x x z − − − =    2 2 2 R x y y y z − − − =    所以 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 y z x z A x y R   +   = +  +  dxdy R x y R x y R 2 2 2 2 2 2 2 − − =  +    − =      2 0 0 2 2 2 R R d dxdy R d R x y R x y R 2 2 2 2 2 2 2 − − =  +    − =      2 0 0 2 2 2 R R d R d 球心在原点的上半球面的方程为 2 2 2 z= R −x − y  而 提示 此积分的被积函数是无界的 因此这是一种反常积分 下页

例1求半径为R的球的表面积 解球面的面积A为上半球面面积的两倍 球心在原点的上半球面的方程为z=R2-x2-y2,而 X az R R2-x-y 所以A=2 +()2+ OX x2+y2≤R R 丌 dxdy =2r de r ddp x2+y2≤R2 R-x R 4TRR2-p2=4IR 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 球面的面积A为上半球面面积的两倍 例1 求半径为R的球的表面积 2 2 2 R x y x x z − − − =    2 2 2 R x y y y z − − − =    2 2 2 R x y x x z − − − =    2 2 2 R x y y y z − − − =    所以 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 y z x z A x y R   +   = +  +  dxdy R x y R x y R 2 2 2 2 2 2 2 − − =  +    − =      2 0 0 2 2 2 R R d R d 2 0 2 2 4 R R 4 R R =−  − =   dxdy R x y R x y R 2 2 2 2 2 2 2 − − =  +    − =      2 0 0 2 2 2 R R d R d 2 0 2 2 4 R R 4 R R =−  − =   球心在原点的上半球面的方程为 2 2 2 z= R −x − y  而 首页

二、质 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,其面密度(x,y) 是闭区域D上的连续函数,则该平面薄片的质心坐标为 xu(x, y)do y D u(x, y)do D 分析: P点对y轴的静矩为M=x1(x,y)da P(x,y) d 薄片对y轴的静矩为M,=x(x,y)da D 设质心的横坐标为x,薄片的质量为M, 则xM=M 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 分析 在点P(x y)处取一直径很小的小薄 片 其面积(面积元素)为d 其质量认为 集中于点P 其值近似为(x y)d P点对y轴的静矩为dMy =x(x y)d 分析 •P点对y轴的静矩为dMy =x(x y)d •设质心的横坐标为x 薄片的质量为M 则xM=My  •薄片对y轴的静矩为  = D My x(x, y)d  二、质心 d P(x,y) 下页 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为   = = D y D x y d x x y d M M x     ( , ) ( , )    = = D x D x y d y x y d M M y     ( , ) ( , ) 

二、质 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,其面密度(x,y) 是闭区域D上的连续函数,则该平面薄片的质心坐标为 xu(x, y)do yu(x, y)de y D x-M JJu(xydo M u(x,y)do D 分析: P点对x轴的静矩为dM=y(x,y)do P(x,y) d 薄片对x轴的静矩为M=y(xy) D 设质心的横坐标为y,薄片的质量为M, 则vM=M 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 分析 •P点对x轴的静矩为dMx =y(x y)d •设质心的横坐标为y 薄片的质量为M 则yM=Mx  •薄片对x轴的静矩为 二、质心 d P(x,y) 下页 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为   = = D y D x y d x x y d M M x     ( , ) ( , )    = = D x D x y d y x y d M M y     ( , ) ( , )    = = D y D x y d x x y d M M x     ( , ) ( , )    = = D x D x y d y x y d M M y     ( , ) ( , )   = D Mx y(x, y)d 

二、质 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,其面密度(x,y) 是闭区域D上的连续函数,则该平面薄片的质心坐标为 xu(x, y)do yu(x, y)de y D u(x, y)do M u(x, yao D D 讨论:设一平面薄片占有xO面上的闭区域D,其面密度是常 数,如何求该平面薄片的质心(称为形心)? rao yao 提示:x=D do do D 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、质心 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是闭区域D上的连续函数则该平面薄片的质心坐标为   = D D d x d x      = D D d yd y    讨论 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度是常 数 如何求该平面薄片的质心(称为形心)？ 提示   = = D y D x y d x x y d M M x     ( , ) ( , )    = = D x D x y d y x y d M M y     ( , ) ( , )    = = D y D x y d x x y d M M x     ( , ) ( , )    = = D x D x y d y x y d M M y     ( , ) ( , )  下页