《高等数学》课程教学资源：第九章 重积分（9.1）二重积分的概念与性质

§9.1二重积分的概念与性质 、二重积分的概念 二、二重积分的性质 自

一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 §9.1 二重积分的概念与性质 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、二重积分的概念 1.曲顶柱体的体积 设一立体的底是xOy面上 的闭区域D,它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平 行于轴的柱面,它的顶是曲面 z=f(x,y) z=(x,y),这里fx,y)20且在D上 连续.这种立体叫做曲顶柱体 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、二重积分的概念 下页 1 曲顶柱体的体积 设一立体的底是xOy面上 的闭区域D 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平 行于z轴的柱面 它的顶是曲面 z=f(x y) 这里f(x y)0且在D上 连续 这种立体叫做曲顶柱体

二重积分的概念 1.曲顶柱体的体积 将分割加细,取极限,求得曲 用曲线网把D分成小区域:顶柱体体积的精确值: △ △ △ im∑f(52m)△ 用小平顶柱体的体积近似代 1->0 替小曲顶柱体的体积V z=f(r,y) 5,m)△ 用小平顶柱体的体积之和近 似代替整个曲顶柱体体积: V≈∑f(,mh)1 D 提示:其中λ为各小区域直径的最大值 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 i i i n i V f     =  → = lim  ( , ) 1 0  i i i n i V  f    =  ( , ) 1  提示 其中相应地把曲顶柱体分成了 为各小区域直径的最大值 n个小曲顶柱体   •用小平顶柱体的体积近似代 替小曲顶柱体的体积Vi  Vf(i  i )i  •用小平顶柱体的体积之和近 似代替整个曲顶柱体体积 •将分割加细 取极限 求得曲 顶柱体体积的精确值 i (i i ) 下页 一、二重积分的概念 1 曲顶柱体的体积 •用曲线网把D分成小区域 1  2      n 

、二重积分的概念 2.平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xO面上的闭区域D,它在点(x,y)处 的面密度为(x,y),这里Ax,y)>0且在D上连续 D O 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 平面薄片的质量 下页 一、二重积分的概念 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(x y)处 的面密度为(x y) 这里(x y)0且在D上连续

、二重积分的概念 2.平面薄片的质量 将分割加细,取极限,得到平 用曲线网把D分成小区域:面薄片质量的精确值 △G1,Aa2,…,Aon M=m∑p(51)△G 把各小块的质量近似地看作 均匀薄片的质量: (51,7 把各小块质量的和作为平 薄片的质量的近似值: M≈∑m,m)a ,7 i=1 O 提示:其中λ为各小区域直径的最大值 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 i i i n i M      =  → = lim  ( , ) 1 0  i i i n i M      =  ( , ) 1  •把各小块的质量近似地看作 均匀薄片的质量 ( i   i ) i  •把各小块质量的和作为平面 薄片的质量的近似值 •将分割加细 取极限 得到平 面薄片质量的精确值 i (i i ) 提示 其中为各小区域直径的最大值 一、二重积分的概念 2 平面薄片的质量 •用曲线网把D分成小区域 1  2      n  下页

今二重积分的定义 设(x,y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域 △G1,△G2,……·,△On 其中Δσ表示第i个小闭区域,也表示它的面积 在每个小闭区域Aa上任取一点(E,m),作和 ∑f(,m)△o 设λ为各小闭区域的直径中的最大值,如果当4→>0时这 和式的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的 二重积分,记为 f(x, yao D 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 i i i n i f    =  ( , ) 1  ❖二重积分的定义 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域 1  2      n  其中i表示第i个小闭区域也表示它的面积 在每个小闭区域i上任取一点(i  i ) 作和 设为各小闭区域的直径中的最大值 如果当 →0时这 和式的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的 二重积分 记为 f x y d D  ( , )  下页

今二重积分的定义 f(x,y)dl=lm∑f(1,h)△ ->0 D 积分中各部分的名称: 积分号, f(x,y)—被积函数, f(x,y)d被积表达式, do 面积元素, x,y 积分变量, D积分区域, ∑f(5,m)△G1—积分和 i=1 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 i i i n D i f x y d f     =  → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0   ———积分号 下页 ❖二重积分的定义 •积分中各部分的名称 f(x y)——被积函数 f(x y)d—被积表达式 d ———面积元素 x y ———积分变量 D————积分区域 i i i n i f    =  ( , ) 1 ——积分和

今二重积分的定义 f(x,y)dl=lm∑f(1,h)△G ->0 D 冷直角坐标系中的二重积分 ∫(xty D 其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 是示: 在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D,则除 边界上的小区域外,内部小区域都是矩形区域 设矩形区域△a的边长为Ax和Ay,则△a=AxA 因此在直角坐标系中,面积元素dσ记作x 首贡页这回下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 则除 边界上的小区域外 内部小区域都是矩形区域 设矩形区域i的边长为xi和yi  则i=xiyi  因此在直角坐标系中 面积元素d记作dxdy f x y dxdy D  ( , )  ❖直角坐标系中的二重积分 下页 i i i n D i f x y d f     =  → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0  ❖二重积分的定义 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素

今二重积分的定义 f(x,y)dl=lm∑f(1,h)△ ->0 D 冷直角坐标系中的二重积分 ∫(xty D 其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 说明: 二重积分的存在性:当x,y)在闭区域D上连续时,积分和 的极限是存在的,也就是说函数fx,y)在D上的二重积分必定 存在.我们总假定函数x,y)在闭区域D上连续,所以fx,y)在D 上的二重积分都是存在的 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明 二重积分的存在性 当f(x y)在闭区域D上连续时 积分和 的极限是存在的 也就是说函数f(x y)在D上的二重积分必定 存在 我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续 所以f(x y)在D 上的二重积分都是存在的 f x y dxdy D  ( , )  ❖直角坐标系中的二重积分 i i i n D i f x y d f     =  → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0  ❖二重积分的定义 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 下页

今二重积分的定义 f(x,y)dl=lm∑f(1,h)△G ->0 D 冷直角坐标系中的二重积分 ∫(xty D 其中 dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 令二重积分的几何意义 如果(x,y)20,则二重积分在几何上表示以闭区域D为底, 以曲面z=(x,y)为顶的曲顶柱体的体积 如果(x,y)≤0,则二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体 积,但二重积分的值是负的 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖二重积分的几何意义 f x y dxdy D  ( , )  ❖直角坐标系中的二重积分 i i i n D i f x y d f     =  → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0  ❖二重积分的定义 其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 如果f(x y)0 则二重积分在几何上表示以闭区域D为底 以曲面z=f(x y)为顶的曲顶柱体的体积 如果f(x y)0 则二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体 积 但二重积分的值是负的 首页