例2设f(x)在[a,b连续,求证 y(x)=f()snk(x-1)(其中ac∈a,b]) 满足微分方程y”+ky=f(x) 证令g(x,1)=f(1)snk(x-1),则 8_(x, t)=kf(cos k(x-1) 8(, t)=kf(sin k(x-o) 它们都在{a,b]×[a,b]上连续,则 y(x)= f(tcos k(x-t)dt f(rsin k(x-r)dt+f(x) ∫2f(1)snk(x-1)d+f(x)+∫2f()snk(x-1) f(x) 例3设f(x)为连续函数, hh F(x)=[lf(x+5+n)dnls 求F"(x) 解令x+5+ 则 F(x)=l[f(x+5+ndn]ds=ds f(u)du (x)=f(x+5+h5-f(x+5)引 在第一项中令x+5+h=u,在第二项中令x+5=,则 ∫/()dl2 例 2 设 f (x) 在 [a,b] 连续，求证  = − x c f t k x t dt k y x ( )sin ( ) 1 ( ) （其中 a,c [a,b] ） 满足微分方程 ( ) 2 y  + k y = f x 。 证 令 g(x,t) = f (t)sin k(x − t) ，则 g (x,t) kf(t)cos k(x t) x = − ， ( , ) ( )sin ( ) 2 g x t k f t k x t xx = − − 它们都在 [a,b][a,b] 上连续，则   = − x c y (x) f (t)cos k(x t)dt y (x) k f (t)sin k(x t)dt f (x) x c  = − − +  y k y 2  + k f (t)sin k(x t)dt f (x) x c = −  − + +  − x c k f (t)sin k(x t)dt = f (x) 例 3 设 f (x) 为连续函数， F x f x   d d h h ( ) [ ( ) ] 0 0   = + + 求 F(x) 。 解 令 x +  + = u ，则 F x f x   d d h h ( ) [ ( ) ] 0 0   = + +   + + + = x h x h d f u du    ( ) 0 ( ) [ ( ) ( ) ] 0 0    = + + − + h h F x f x  h d f x  d 在第一项中令 x + + h = u ，在第二项中令 x +  = u ，则 ( ) [ ( ) ( ) ] 2   + + +  = − x h x x h x h F x f u du f u du