F"(x)=[f(x+2h)-2f(x+h)+f(x) 问题2是否有 F(x)=[f(x+5+)dnlds f(x+5+ndnlds 例4利用积分号下求导法求积分 (a) arctan( a tan x) lak 1 解令f(x,a)= ctan(a tan x) tan x x=0,时,∫无定义,但lmf(x,a)=a,lmf(x,a)=0,故补充定义 x→0 f(0,a)=a,f( 0 则∫在[0,2x]×[-b,b连续(0<b<1),从而I(a)在(-1,1)连续。 ∈(0,),|ak fa(x 0. 0,,|ak 显然/(x0)在x=2点不连续,但J(x2)分别在027x(-10)和[Q2x1×(1)连续, 故有 I'(a)=f(x,a)dx= 1+a- tanx dx,a∈(-1,0)或a∈(0,) 令tanx=t 1#1+a2t2-a2t2 (a)= (1+t2)1+a212) 1-a2(1+t2)(1+at2)2(+|a a∈(-1,0)或a∈(O,1) 积分之 /(a)=ln1+a)+C1,a∈(0,1) /(a)=--ln(l-a)+C2,a∈(-1,0)3 F(x) = [ f (x + 2h) − 2 f (x + h) + f (x)] 问题 2 是否有 f x   d d x F x h h ( ) [ ( ) ] 0 0   + +    = f x   d d x h h [ ( ) ] 0 0   + +   = 例 4 利用积分号下求导法求积分 dx x a x I a  = / 2 0 tan arctan( tan ) ( )  ， | a | 1 解 令 x a x f x a tan arctan( tan ) ( , ) = 2 0,  x = 时， f 无定义，但 f x a a x = → + lim ( , ) 0 ， lim ( , ) 0 2 = − → f x a x  ，故补充定义 f (0, a) = a， , ) 0 2 f ( a =  则 f 在 [0,2 ][−b,b] 连续（ 0  b 1 ），从而 I(a) 在 (−1,1) 连续。        =    + = , | | 1 2 0, 0, ), | | 1 2 , (0, 1 tan 1 ( , ) 2 2 x a x a a x f a x a   显然 f (x,0) a 在 2  x = 点不连续，但 f (x,a) a 分别在 [0,2 ] (−1,0) 和 [0,2 ] (0,1) 连续， 故有   = / 2 0 ( ) ( , )  I a f x a dx a  + = / 2 0 2 2 1 tan 1  dx a x ， a  (−1,0) 或 a (0,1) 令 tan x = t  + + +  = 0 2 2 2 (1 )(1 ) 1 ( ) dt t a t I a  + + + + − − − = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 )(1 ) 1 1 1 dt t a t a t a t a a  + + − − + = 0 2 2 2 2 2 ] (1 ) (1 ) 1 [ 1 1 dt a t a a t 2(1+ | a |) =  ， a  (−1,0) 或 a (0,1) 积分之 1 ln(1 ) 2 I(a) = + a + C  ， a (0,1) 2 ln(1 ) 2 I(a) = − − a + C  ， a  (−1,0)