因为I(a)在(-1,1)连续,故 (0)=lim/(a)=0=lim/(a) 得C1=C2=0,从而得 丌 (a)=sgn aIn(l+ad, akI 例5利用积分号下求导求积分 L(a) ,(n为正整数,a>0) 解因为 (x2+0个x a≥a0>0 d x 而 收敛,故In(a)= 在a≥a>0一致收敛。 +a) 因为 x+a 3/2 d x (-)(-)a2512 x+ a 由数学归纳法易证 dJx2+a=(-川a+ay (2n-1) 于是ln(a)= (x2+a)2(2n)! 例6证明(1) Je- sin ydx关于y∈[0+∞)一致收敛 (2)∫esmy关于x∈D+∞)不一致收敛。4 因为 I(a) 在 (−1,1) 连续，故 (0) lim ( ) 0 0 = = → + I I a a lim ( ) 0 I a a→ − = 得 C1 = C2 = 0 ，从而得 sgn ln(1 | |) 2 I(a) = a + a  ， | a | 1 例 5 利用积分号下求导求积分  + + + = 0 2 1 ( ) ( ) n n x a dx I a ， （ n 为正整数， a  0 ） 解 因为 1 0 2 1 2 ( ) 1 ( ) 1 + + +  + n n x a x a ， a  a0  0 而  + + + 0 1 0 2 ( ) n x a dx 收敛，故  + + + = 0 2 1 ( ) ( ) n n x a dx I a 在 a  a0  0 一致收敛。 因为 a a x x a a dx 2 arctan 1 | 0 0 2  = = + + +  故 = +  + 0 2 x a dx da d  + + − 0 2 2 (x a) dx 3 / 2 ) 2 1 ( 2 − = − a  = +  + 0 2 2 2 x a dx da d  + + 0 2 3 ( ) 2 x a dx 5 / 2 ) 2 3 )( 2 1 ( 2 − = − − a  由数学归纳法易证 = +  + 0 2 x a dx da d n n  + + + − 0 2 1 ( ) ( 1) ! n n x a dx n 2 2 1 2 (2 1)!! ( 1) 2 + − − = − n n n a  n 于是  + + + = 0 2 1 ( ) ( ) n n x a dx I a 2 2 1 (2 )!! (2 1)!! 2 + − − = n a n  n 例 6 证明（1）  + − 1 sin 2 e ydx yx 关于 y [0,+) 一致收敛； （2）  + − 1 sin 2 e ydy yx 关于 x [0,+) 不一致收敛