傅里叶分析 6 *初等函数可用多项式逼近，因此其幂级数相当于无穷阶泰勒展开，回忆中值定理所推导出的几种余项形 式（拉格朗日余项、柯西余项、多重积分余项）： *记忆基本初等函数的幂级数展开形式。 △一般地说，无穷阶可导未必可以表示为幂级数展开，若可表示则称为实解析函数 魏尔斯特拉斯通近定理：闭区间上函数可用多项式一致逼近÷函数连续。 证明：构造伯恩斯旧多项式，观察其性质，并估算、控制误差。 △Abel定理与Tauber定理：判定幂级数在边界上的性质 十特殊例子 *利用函数项级数可构造出一些特殊的映射 1.存在处处连续，处处不可微的函数 最早构造魏尔斯特拉斯利用三角函数级数 范德瓦尔登“化曲为直”，更直观构造。 证明：级数的每项都是连续函数，利用魏尔斯特拉斯判别法可知一致收敛，从而极限处处连续。计 算导数可发现极限可写为某个士1组成的级数，由于通项不趋向0，级数不可能收敛，故处处不可微。 2.填充正方形的曲线 存在线段到正方形的连续映射（皮亚诺曲线） 证明：仍利用魏尔斯特拉斯判别法推出此映射连续。考虑正方形中某点的二进制表示，可构造合适 的to收敛至此点 △由于厂f=厂广厂f(此处可为)，反常积分可与级数类似方法处理 三傅里叶分析 十定义与计算 关心重点：周期函数（周期足够大可通近任何函数） 一般函数用级数f因=∑A.sin(nwt+pn)=∑(a.sin(nwt)+bcos(nwt)通近 =0 =0 标准展开形式：f俐-罗+∑a,m(u)+6,ot》(此处f以2x为周期 性质：正交性 cos(n)cos(mz)dz=sin(n)sin(mz)dz= }0om地=0 由此可计算系数：e)casr出=a厂e)sn(ar山=d,(注意对aw亦成立) 例1：考虑函数口]在-，止为，以2为周期，计算可得a,=0,6。=(一1-1子，可发现逼近的结果 在(-，)上为f),端点处为0，而f()=一 例2（锯齿波）：考虑函数f(x)在-元，)上为，以2x为周期，此时b=0,a. n2示2n 4 21ng (考虑边界处可得丁三 傅里叶分析 伶 伪初等函数可用多项式逼近，因此其幂级数相当于无穷阶泰勒展开，回忆中值定理所推导出的几种余项形 式伨拉格朗日余项、柯西余项、多重积分余项伩。 伪记忆基本初等函数的幂级数展开形式。 △一般地说，无穷阶可导未必可以表示为幂级数展开，若可表示则称为实解析函数。 魏尔斯特拉斯逼近定理：闭区间上函数可用多项式一致逼近⇔函数连续。 证明：构造伯恩斯坦多项式，观察其性质，并估算、控制误差。 △ Abel定理与佔佡併佢佥佲定理：判定幂级数在边界上的性质 † 特殊例子 伪利用函数项级数可构造出一些特殊的映射 伱伮 存在处处连续，处处不可微的函数 最早构造伭魏尔斯特拉斯利用三角函数级数 范德瓦尔登“化曲为直”，更直观构造。 证明：级数的每项都是连续函数，利用魏尔斯特拉斯判别法可知一致收敛，从而极限处处连续。计 算导数可发现极限可写为某个±伱组成的级数，由于通项不趋向估，级数不可能收敛，故处处不可微。 伲伮 填充正方形的曲线 存在线段到正方形的连续映射伨皮亚诺曲线伩 证明：仍利用魏尔斯特拉斯判别法推出此映射连续。考虑正方形中某点的二进制表示，可构造合适 的t0收敛至此点。 △ 由于 Z b a f 伽 佬佩佭 A→b− Z A a f 伨此处b可为∞伩，反常积分可与级数类似方法处理 三 傅里叶分析 † 定义与计算 关心重点：周期函数伨周期足够大可逼近任何函数伩 一般函数用级数f伨t伩 伽 X∞ n=0 An 佳佩佮伨nωt 伫 φn伩 伽 X∞ n=0 伨an 佳佩佮伨nωt伩 伫 bn 佣佯佳伨nωt伩伩逼近 标准展开形式：f伨t伩 伽 a0 伲 伫 X∞ n=1 伨an 佳佩佮伨nωt伩 伫 bn 佣佯佳伨nωt伩伩 伨此处f以伲π为周期伩 性质：正交性 Z π −π 佣佯佳伨nx伩 佣佯佳伨mx伩佤x 伽 Z π −π 佳佩佮伨nx伩 佳佩佮伨mx伩佤x 伽    π m 伽 n 估 m ̸伽 n , Z π −π 佣佯佳伨nx伩 佳佩佮伨mx伩佤x 伽 估 由此可计算系数： Z π −π f伨x伩 佣佯佳伨nx伩佤x 伽 πan, Z π −π f伨x伩 佳佩佮伨nx伩佤x 伽 πbn 伨注意对a0亦成立伩 例伱：考虑函数f伨x伩在佛−π, π伩上为x，以伲π为周期，计算可得an 伽 估, bn 伽 伨−伱伩n−1 伲 n ，可发现逼近的结果 在伨−π, π伩上为f伨x伩，端点处为估，而f伨π伩 伽 −π。 例伲伨锯齿波伩：考虑函数f伨x伩在佛−π, π伩上为|x|，以伲π为周期，此时bn 伽 估, an 伽    − 伴 n2π 伲 ∤ n 估 伲 | n , a0 伽 π。 伨考虑边界处可得 X∞ n=0 伱 伨伲n 伫 伱伩2 伽 π 2 伸 伩