二函数项级数 5 3.Sn(e)可导且导数连续，求导是否可与求和交换 反例：S.(回=reR 加条件：S()一致收敛，且S()至少某一点收敛，则成立。 证明：利用保积分，使用牛顿莱布尼茨公式证明。 十一致收敛判据 1.柯西判别法 原理：类似柯西准则，为充要条件。 2△已知收敛结果f时，在上一致收敛等价于职理()-=0。 证明：利用柯西准则。 3.魏尔斯特拉斯判别法 原理：利用柯西判别法，与数列比较。 4.迪利克雷判别法 原理：类似数列的迪利克雷判别法，注意利用一致有界条件。 气云严：低2红-0<<可类蓝臂用造有克司能一致欲 5.阿贝尔判别法 原理：类似数列的阿贝尔判别法（注意此时无法由迪利克雷判别法直接推得）。 6.Dimi定理 原理：类似证明闭集连续函数闭一致连续，利用有限覆盖，可控制全区间大小。 *证明一致收敛技巧：分段估计（若在两段均一致收敛则并集仍一致收敛、注意两个充要条件 例：∑1-到二i血r)一致收敛，通过拆分为0，a(此段可放大为如)与a,(此段sn()一致有 界)两段可以说明。 证明不一致收敛技巧：从原始定义出发、考虑边界处、利用柯西准则找反例 例：考虑工 中四，对任何N,可以：了第N+项到第2N项均大于尝图此和大于鸟 由定义知其不一致收敛。 十幂级数 (复变函数中有重要推广) 考虑∑a,利用柯西判别知<R=mpVa-1时收敛，大于则发散（等于时无法确定）。 *定义满足这样条件的R为级数的收敛半径（复变函数中成为圆）。 *对任何0<r<R,∑ax”在-r,上一致收敛（内闭一致收敛） 证明：将x放大为，利用魏尔斯特拉斯判别法。 由此其满足之前所述的保求和、保导数、保积分等性质。 +--2-a-2- n 二 函数项级数 伵 伳伮 Sn伨x伩可导且导数连续，求导是否可与求和交换？ 反例：Sn伨x伩 伽 佳佩佮 nx √ x , x ∈ R 加条件：S ′ n 伨x伩一致收敛，且Sn伨x伩至少某一点收敛，则成立。 证明：利用保积分，使用牛顿伭莱布尼茨公式证明。 † 一致收敛判据 伱伮 柯西判别法 原理：类似柯西准则，为充要条件。 伲伮 △已知收敛结果f时，fn在I上一致收敛等价于 佬佩佭n→∞ 佳併佰 x∈I |fn伨x伩 − f伨x伩| 伽 估。 证明：利用柯西准则。 伳伮 魏尔斯特拉斯判别法 原理：利用柯西判别法，与数列比较。 伴伮 迪利克雷判别法 原理：类似数列的迪利克雷判别法，注意利用一致有界条件。 例： X∞ n=1 佣佯佳 nx n , x ∈ 佛δ, 伲π − δ佝伨估 < δ < π伩类似数列时利用迪利克雷判别法可判定一致收敛。 伵伮 阿贝尔判别法 原理：类似数列的阿贝尔判别法伨注意此时无法由迪利克雷判别法直接推得伩。 伶伮 佄佩佮佩定理 原理：类似证明闭集连续函数闭一致连续，利用有限覆盖，可控制全区间大小。 伪证明一致收敛技巧：分段估计伨若在两段均一致收敛则并集仍一致收敛伩、注意两个充要条件 例： X∞ n=1 伨伱 − x伩 x n 伱 − x 2n 佳佩佮伨nx伩一致收敛，通过拆分为佛估, a佝伨此段可放大为a n 伩与佛a, 伱佝伨此段佳佩佮伨nx伩一致有 界伩两段可以说明。 伪证明不一致收敛技巧：从原始定义出发、考虑边界处、利用柯西准则找反例 例：考虑 X∞ n=1 佳佩佮伨nx伩 n 。对任何N，可以取x 伽 伱 N 伫 伱 ，第N 伫伱项到第伲N项均大于 佳佩佮 伱 伲N ，因此和大于 佳佩佮 伱 伲 ， 由定义知其不一致收敛。 † 幂级数 伨复变函数中有重要推广伩 考虑 X∞ n=0 anx n，利用柯西判别知|x| < R 伽 伨佬佩佭 佳併佰 n→∞ pn |an|伩 −1时收敛，大于则发散伨等于时无法确定伩。 伪定义满足这样条件的R为级数的收敛半径伨复变函数中成为圆伩。 伪对任何估 < r < R， X∞ n=0 anx n在佛−r, r佝上一致收敛伨内闭一致收敛伩。 证明：将x放大为r，利用魏尔斯特拉斯判别法。 由此其满足之前所述的保求和、保导数、保积分等性质。 例：佬佮伨x 伫 伱伩 伽 Z x 0 伱 t 伫 伱 佤t 伽 Z x 0 X∞ n=0 伨−伱伩n t n佤t 伽 X∞ n=1 伨−伱伩n−1 x n n