二函数项级数 十任意项级数 *由数项级数而定义：收敛、发散点集 1.柯西收敛准则 原理：直接对部分和数列利用柯西收敛准则即得结果，是任意项级数收敛的充分必要条件 例：若某级数所有项取绝对值后得到的正项级数收敛，则此级数必然收敛（此时称此级数绝对收敛） 反之，若级数收敛但取绝对值得到的级数不收敛（如(~1）”)，则称此级数条件收敛。 2.莱布尼茨判别法 原理：类似积分判别的证明方式，估算交错级数部分和不同子列。 3.迪利克雷判别法 证明：利用分部求和公式改写和式，从而放缩知收敛 作用：考虑乘积是否收敛时可拆分判定。 %立严-倒发微，香则令-0四肛么-片可计单空。.-匹学兰如乒有界， 2sin克 因此原级数收敛。 4.阿贝尔判别法 原理：变形，∑a=∑asa-)+b∑as 与迪利克雷判别法关系：互有强弱，根据具体情况运用。 黎曼定理：条件收敛的特殊性质，安排顺序收敛到任意目标。 证明：取出其中的正项与负项，由条件知正项与负项的和均发散，从而可安排顺序构造出结果。 △其他内容：绝对收敛可交换次序、级数相乘、无穷乘积（取后化为求和，利用与1差距计算） 二函数项级数 十重要问题 若函数Sx)为函数Sn(c)极限（可看作函数项级数∑u.(工）： n=1 (由此出发须定义一致收敛) 1.5(e)连续，极限是否连续？ 反例：Snm(e)=x,x∈0,1 加条件：Sn(x)一致收敛，则成立。 证明：由定义估算。 2.Sn(x)可积，积分是否可与求和交换？ 反例：Sn(倒)=2n2rem2x,x∈(0,1) 加条件：5()一致收敛，则成立。 证明：利用保连续，由不连续点零测集可数并零测可证明。 另一种“加条件”做法：黎曼可积拓展为勒贝格可积二 函数项级数 伴 † 任意项级数 伪由数项级数而定义：收敛、发散点集 伱伮 柯西收敛准则 原理：直接对部分和数列利用柯西收敛准则即得结果，是任意项级数收敛的充分必要条件。 例：若某级数所有项取绝对值后得到的正项级数收敛，则此级数必然收敛伨此时称此级数绝对收敛伩； 反之，若级数收敛但取绝对值得到的级数不收敛伨如伨−伱伩n 伱 n 伩，则称此级数条件收敛。 伲伮 莱布尼茨判别法 原理：类似积分判别的证明方式，估算交错级数部分和不同子列。 伳伮 迪利克雷判别法 证明：利用分部求和公式改写和式，从而放缩知收敛。 作用：考虑乘积是否收敛时可拆分判定。 例： X∞ n=1 佣佯佳 nx n ，x 伽 估时发散，否则令an 伽 佣佯佳 nx, bn 伽 伱 n ，可计算出 X k n=1 an 伽 佣佯佳 k+1 2 x 佳佩佮 k 2 x 伲 佳佩佮 x 2 有界， 因此原级数收敛。 伴伮 阿贝尔判别法 原理：变形， Xn k=1 akbk 伽 Xn k=1 ak伨bk − b伩 伫 b Xn k=1 ak。 与迪利克雷判别法关系：互有强弱，根据具体情况运用。 黎曼定理：条件收敛的特殊性质，安排顺序收敛到任意目标。 证明：取出其中的正项与负项，由条件知正项与负项的和均发散，从而可安排顺序构造出结果。 △其他内容：绝对收敛可交换次序、级数相乘、无穷乘积伨取佬佮后化为求和，利用与伱差距计算伩 二 函数项级数 † 重要问题 若函数S(x伩为函数Sn伨x伩极限伨可看作函数项级数 X∞ n=1 un伨x伩伩： 伨由此出发须定义一致收敛伩 伱伮 Sn伨x伩连续，极限是否连续？ 反例：Sn伨x伩 伽 x n , x ∈ 佛估, 伱佝 加条件：Sn伨x伩一致收敛，则成立。 证明：由定义估算。 伲伮 Sn伨x伩可积，积分是否可与求和交换？ 反例：Sn伨x伩 伽 伲n 2x佥 −n 2x 2 , x ∈ 伨估, 伱伩 加条件：Sn伨x伩一致收敛，则成立。 证明：利用保连续，由不连续点零测集可数并零测可证明。 另一种“加条件”做法：黎曼可积拓展为勒贝格可积