一数项级数 3 (证明：回顾实数完备性的六个等价定理) *实数的其他构造方式：Dedekind分割、柯西列等价类等（注意回到原始定义证明的重要性） 由此出发可定义开集、闭集、聚点、连通性等（回项A2中相关的点集拓扑基础） 上的开集是可数个不交开区间的并（证明：对任何a∈E,考虑inft<a,(，a)CE与supt>a,(a,)C E即可) 连续函数等价定义：任意开集的原象是开集（可转化为：一语言，回顾连续等价条件》 连续函数性质：闭区间上有界、存在极值、介值定理（回顾连续相关性质） 数项级数 本质与数列等价（级数的部分和数列） 由此有直接的结论：若数项级数收敛，其通项极限必为0：级数增减有限多项不影响敛散性。 重要问题：判别敛散（判别法综合运用） 十正项级数 1.积分判别法 原理：比较面积可证明，单调下降且极限为0的函数，∑f与厂广f山同敛散。 会nPs收敛的条件为柳<询-1<1（利用为比任何商阶的无穷大， 2.比较判别法 原理：正项级数对应单调上升数列，有界即收敛：若两不同正项级数的通项之比有界，则必然同敛 散。 判别法化为极限形式：回忆Al,利用imsupa:=imsp{an},可将“存在无穷多个”与“至多 有限多个”表示为上下极限。有时为方便使用，直接采取极限形式。 3.柯西判别法 原理：与等比数列比较，考虑an与1的大小关系。 :收敛的条件为-1≤工<1（西判别法处理☑非负时情况，为负时须后续知 4.达朗贝尔判别法 原理：与等比数列比较，考虑相邻项之比与1的大小关系。 例：三后必然收敛（此时用此判别法可规避斯特林公式。 与柯西判别法关系：效果更弱，但有时好用 5.拉贝判别法 原理：与，己比较，考虑相邻项之比减一的无穷小情况。 6.△高斯判别法 原理：与山比较，考虑相邻项之比减一的无穷小情况。 一 数项级数 伳 伨证明：回顾实数完备性的六个等价定理伩 伪实数的其他构造方式：佄佥佤佥佫佩佮佤分割、柯西列等价类等伨注意回到原始定义证明的重要性伩 由此出发可定义开集、闭集、聚点、连通性等伨回顾佁伲中相关的点集拓扑基础伩 伪R上的开集是可数个不交开区间的并伨证明：对任何a ∈ E，考虑佩佮佦 t t < a,伨t, a伩 ⊂ E与佳併佰 t t > a,伨a, t伩 ⊂ E即可伩 连续函数等价定义：任意开集的原象是开集伨可转化为ε − δ语言，回顾连续等价条件伩 连续函数性质：闭区间上有界、存在极值、介值定理伨回顾连续相关性质伩 一 数项级数 本质与数列等价伨级数的部分和数列伩 由此有直接的结论：若数项级数收敛，其通项极限必为估；级数增减有限多项不影响敛散性。 重要问题：判别敛散伨判别法综合运用伩。 † 正项级数 伱伮 积分判别法 原理：比较面积可证明，单调下降且极限为估的函数f伨x伩， X∞ n=1 f伨n伩与 Z ∞ 1 f伨x伩佤x同敛散。 例： X∞ i=1 伱 n伨佬佮 n伩 p伨佬佮 佬佮 n伩 q 收敛的条件为p < 伱或p 伽 伱, q < 伱伨利用n为比任何伨佬佮 n伩 α高阶的无穷大伩。 伲伮 比较判别法 原理：正项级数对应单调上升数列，有界即收敛；若两不同正项级数的通项之比有界，则必然同敛 散。 判别法化为极限形式：回忆佁伱，利用佬佩佭 佳併佰 n→∞ an 伽 佬佩佭n→∞ 佳併佰 m≥n {am}，可将“存在无穷多个”与“至多 有限多个”表示为上下极限。有时为方便使用，直接采取极限形式。 伳伮 柯西判别法 原理：与等比数列比较，考虑 √n an与伱的大小关系。 例： X∞ n=1 x n n 收敛的条件为−伱 ≤ x < 伱伨柯西判别法处理x非负时情况，为负时须后续知识伩。 伴伮 达朗贝尔判别法 原理：与等比数列比较，考虑相邻项之比与伱的大小关系。 例： X∞ n=1 x n n伡 必然收敛伨此时用此判别法可规避斯特林公式伩。 与柯西判别法关系：效果更弱，但有时好用。 伵伮 拉贝判别法 原理：与 伱 nσ 比较，考虑相邻项之比减一的无穷小情况。 伶伮 △高斯判别法 原理：与 伱 n伨佬佮 n伩 σ 比较，考虑相邻项之比减一的无穷小情况