目录 历史回顾 十微积分 在老师工作的基础下，为求函数在区间上的最值，费马构造差分，发明了导数： 三类初等函数微积分的历史： 1.多项式函数 牛顿将函数（事实上此处应为初等函数）视为幕级数展开f)=∑4r”,又引入二项式定理计算 出x”的微分与积分，从而只要掌握多项式微积分即可算出任何初等函数微积分。 莱布尼茨将微积分看作满足一定计算规则的计算方法Calculus)(如(af+bg=af'+bg,(UgY= 'g+∫g,∫(g(x)Y=∫g(x)g(x),其中第二条被称为莱布尼茨公式，推广到流形上有重要作用)。 *此处微分上的公式通过同积分即可推广到积分上，莱布尼茨公式对应分部积分。此外，通过复合函 数求导公式可推出反函数求导公式。通过莱布尼茨公式可递推出多项式函数的微分。 2.三角函数 欧拉用弧长定义弧度，进而定义角度，并给出了三角函数的定义与记号（重要极限：血=1） *和角公式sin(a+)=sina cos+cos a sin等出发可进行平面坐标上的旋转，由此亦可计算三角 函数的导数，再结合反函数求导公式可推出反三角函数的导数。 3.对数函数、指数函数 对数函数出现先于指数函数，发明目的是将乘除变为加减(log(a1a2)=log(a1)+log(a2)。 “等差数列”与“等比数列”之间的对应即为某种意义上的对数函数与指数函数在整数上的取值。 为获取中间的值，需要编制对数表。 1617年，英国人Briggs编制了首张对数表（做法：通过二进制反复计算平方根逼近，组合出对应的小 数次方)。 *计算平方根方式：先找到逼近的值，再通过(x+△x)2≈x2+2x△x计算。 另一个重要极限：+，化为计算(+)极限，由此出发定义自然底数，进而得出对 数函数的导数，而对数函数结合反函数求导公式可推出指数函数的导数。 费马：极值点导数若存在，必然为0，新问题：函数是否存在极值？（涉及连续性理论与实数） 牛顿莱布尼茨公式联系了微分与积分，从求导出发即可进行一些积分的计算。 十实数与连续性 正整数的构造-表达整数（十进制）九章算术前 负整数的构造刘澈之前 加入零公元7世纪 *加法与乘法满足基本运算律（交换、结合、分配等） 分数的构造·？，)的等价类将单位变小，仍可满足基本规则 实数的构造·任意小数（单位无穷减小） *事实上是将实数看成了有理数的极限，由此可知仍满足基本规则 *实数可具有全序关系 实数的完备性（拓扑概念）：任一柯西列(an,e>0,3N,n,m>N,la-am<e)必有极限目录 伲 历史回顾 † 微积分 在老师工作的基础下，为求函数在区间上的最值，费马构造差分，发明了导数。 三类初等函数微积分的历史： 伱伮 多项式函数 牛顿将函数伨事实上此处应为初等函数伩视为幂级数展开f伨x伩 伽 X∞ n=0 anx n，又引入二项式定理计算 出x n的微分与积分，从而只要掌握多项式微积分即可算出任何初等函数微积分。 莱布尼茨将微积分看作满足一定计算规则的计算方法伨佃佡佬佣併佬併佳伩 伨如伨af 伫 bg伩 ′ 伽 af′ 伫 bg′ ,伨fg伩 ′ 伽 f ′ g 伫 fg′ , f伨g伨x伩伩′ 伽 f ′ g伨x伩g ′ 伨x伩，其中第二条被称为莱布尼茨公式，推广到流形上有重要作用伩。 伪此处微分上的公式通过同积分即可推广到积分上，莱布尼茨公式对应分部积分。此外，通过复合函 数求导公式可推出反函数求导公式。通过莱布尼茨公式可递推出多项式函数的微分。 伲伮 三角函数 欧拉用弧长定义弧度，进而定义角度，并给出了三角函数的定义与记号伨重要极限：佬佩佭x→0 佳佩佮 x x 伽 伱伩。 伪和角公式佳佩佮伨α 伫 β伩 伽 佳佩佮 α 佣佯佳 β 伫 佣佯佳 α 佳佩佮 β等出发可进行平面坐标上的旋转，由此亦可计算三角 函数的导数，再结合反函数求导公式可推出反三角函数的导数。 伳伮 对数函数、指数函数 对数函数出现先于指数函数，发明目的是将乘除变为加减伨佬佯佧伨a1a2伩 伽 佬佯佧伨a1伩 伫 佬佯佧伨a2伩伩。 “等差数列”与“等比数列”之间的对应即为某种意义上的对数函数与指数函数在整数上的取值。 为获取中间的值，需要编制对数表。 伱伶伱伷年，英国人Briggs编制了首张对数表伨做法：通过二进制反复计算平方根逼近，组合出对应的小 数次方伩。 伪计算平方根方式：先找到逼近的值，再通过伨x 伫 企x伩 2 ≈ x 2 伫 伲x企x计算。 另一个重要极限：佬佩佭x→0 佬佯佧伨伱 伫 t伩 t ，化为计算  伱 伫 伱 t t 极限，由此出发定义自然底数e，进而得出对 数函数的导数，而对数函数结合反函数求导公式可推出指数函数的导数。 费马：极值点导数若存在，必然为估，新问题：函数是否存在极值？伨涉及连续性理论与实数伩 牛顿-莱布尼茨公式联系了微分与积分，从求导出发即可进行一些积分的计算。 † 实数与连续性 正整数的构造 伭 表达整数伨十进制伩 九章算术前 负整数的构造 刘徽之前 加入零 公元伷世纪 伪加法与乘法满足基本运算律伨交换、结合、分配等伩 分数的构造 伭 伨p, q伩的等价类 将单位变小，仍可满足基本规则 实数的构造 伭 任意小数伨单位无穷减小伩 伪事实上是将实数看成了有理数的极限，由此可知仍满足基本规则 伪实数可具有全序关系 实数的完备性伨拓扑概念伩：任一柯西列伨{an}, ∀ε > 估, ∃N, ∀n, m > N, |an − am| < ε伩必有极限