三、幂级数的运算及性质 注 记 例5求幂级数∑(n+)x的和函数. (1)如果逐项微分或积分后的幂级数 解容易求得幂级数的收敛域为(-1,1). 当x=-R或x=R时收敛，则在x=-R 设和函数为)=2m+r心，xe(-L 或x=R处逐项微分和逐项积分公式 对上式从0到x积分可得 仍然成立. (2)如果a,在=-R或x=R时发散 0w-[2a+r]-2arw-2r- 则na,在x=-R或x=R时发敞 所以 - 两边求导可得 但2品”在一或=R时可能收敛 1 s(x)= 1- x∈(-1，) 也可能发散 三、 幂级数的运算及性质 注 记 （1）如果逐项微分或积分后的幂级数 当 x R   或 x R  时收敛则在 x R   或 x R  处逐项微分和逐项积分公式 仍然成立 （2）如果   n0 n n a x 在x R   或 x R  时发散 则 1 1 n n n na x     在x R  或 x R  时发散 但 1 0 1 n n n a x n      在x R  或 x R  时可能收敛 也可能发散 例 5 求幂级数 0 ( 1) n n n x     的和函数 解 容易求得幂级数的收敛域为（1 1) 设和函数为 0 ( ) ( 1) , ( 1,1) n n s x n x x        对上式从 0 到 x 积分可得 1 0 0 0 0 0 0 ( ) ( 1) ) ( 1) 1 x x x n n n n n n x s t dt n t dt n t dt x x                           所以 0 ( ) 1 x x s t dt x    两边求导可得   2 1 ( ) , 1 s x x   x ( 1,1)