三、幂级数的运算及性质 例6求幂级数x的收敛区间，并在收敛区间内求和函数， 2n-1 解令片”，则 则-2片j-2- lim =lim 因为 2-r,xe(-l10 故当|xk1时级数收敛，当x1时级数发散 所以 立-r,xe(-l,0 所以幂级数一的收敛半径为R=1 因此 x∈(-1,1) 收敛区间为(-1，) 故=0+s0h=1+7d 设 s)=-)4 xe(-L1) 2n-1 arctanx三、 幂级数的运算及性质 例 6 求幂级数 1 2 1 1 ( 1) 2 1 n n n x n        的收敛区间，并在收敛区间内求和函数 解 令 1 2 1 ( 1) 2 1 n n n u x n      ，则 1 2 1 2 2 lim lim 2 1 n n n n u n x x u n        故当| | 1 x  时级数收敛，当| | 1 x  时级数发散. 所以幂级数 1 2 1 1 ( 1) 2 1 n n n x n        的收敛半径为R 1 收敛区间为( 1,1)  设 1 2 1 1 ( 1) ( ) 2 1 n n n s x x n         x ( 1,1) 则 1 2 1 1 ( 1) ( ) 2 1 n n n s x x n                 1 2( 1) 1 ( 1)n n n x         因为 1 1 1 1 ( 1) 1 n n n x x          x ( 1,1) 所以 1 2( 1) 2 1 1 ( 1) 1 n n n x x          x ( 1,1) 因此 2 1 ( ) 1 s x x    x ( 1,1) 故 2 0 0 1 ( ) (0) ( ) 1 x x s x s s t dt dt t         arctan x