定义上面定义的线性变换A称为V内线性变换A在商空间V/M内的诱导变换 设dm=n,dmM=r,若给定M的一组基E,E2…E,将其扩充成为V的一组 基,E2…En,若A在此组基下的矩阵为 A A 则 88 ,En构成商空间的 0 A 组基,且A在此组基下的矩阵为(A42)。于是,有 命题设A是n维线性空间V上的线性变换,W是A的不变子空间,则A的特征多项 式等于A|m的特征多项式与A在商空间V/W上的诱导变换的特征多项式的乘积 命题设A是数域K上的n维线性空间V上的线性变换,则A的特征多项式的根都属 于K当且仅当A在V的某组基下的矩阵为上三角形。 证明必要性对n作归纳1时命题成立,设n-1成立,取A关于某个特征值的 个特征向量50,取M=L(5),由上一个命题,n-1维线性空间/M上的线性变换A的 特征值都属于K,于是在某组基E2,E3,…,En下的矩阵成上三角形,易证50,E2,…,En是V的 组基,且A在50,E2…En下的矩阵成上三角形。 充分性显然 证毕。 推论C上的有限维线性空间上的线性变换在适当的基下的矩阵成上三角形。定义 上面定义的线性变换 A 称为 V 内线性变换 A 在商空间 V M/ 内的诱导变换。 设 dimV n = ，dimM r = ，若给定 M 的一组基 1 2 , , , r    ，将其扩充成为 V 的一组 基 1 2 , , , n    ，若 A 在此组基下的矩阵为 11 12 22 0 A A A       ，则 1 2 , , , r r n    + + 构成商空间的一 组基，且 A 在此组基下的矩阵为 ( A22 ) 。于是，有： 命题 设 A 是 n 维线性空间 V 上的线性变换， W 是 A 的不变子空间，则 A 的特征多项 式等于 A W | 的特征多项式与 A 在商空间 V /W 上的诱导变换的特征多项式的乘积。 命题 设 A 是数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性变换，则 A 的特征多项式的根都属 于 K 当且仅当 A 在 V 的某组基下的矩阵为上三角形。 证明 必要性 对 n 作归纳 1 时命题成立，设 n−1 成立，取 A 关于某个特征值 0 的一 个特征向量 0  ，取 0 M L = ( )  ，由上一个命题， n−1 维线性空间 V M/ 上的线性变换 A 的 特征值都属于 K ，于是在某组基 2 3 , , , n    下的矩阵成上三角形，易证 0 2 , , , n    是 V 的 一组基，且 A 在 0 2 , , , n    下的矩阵成上三角形。 充分性 显然。 证毕。 推论 上的有限维线性空间上的线性变换在适当的基下的矩阵成上三角形