第一学期第二十八次课 命题如果n维空间V上的线性变换A的矩阵相似于对角矩阵,则A在任一不变子空 间M上(的限制)的矩阵相似于对角矩阵 证明若V上的线性变换A的矩阵相似于对角矩阵,则V可以分解为特征子空间的直 和。记A的所有特征值为,2,…耳,则V=V4⊕V2…④V,取M=M∩V,断 言M=M1④M2④…⊕M。首先要证明M=M1+M2+…M1 ”显然;“c”Va∈M,则存在a,∈V2,使得α=a1+α,+…+,两边同 时用A(=1,2,…,t-1)作用,得到表达式 12 于是 2 a,)(x-x2 即a可以表示成a,Ax1…,Aa的线性组合,于是a,∈M,“g”得证 再证明M=M1+M2+…M1是直和。设0=B+B2+…+B,其中B∈M1,则 B∈V,由于V=V4田V由…曲V1,于是B=0,零向量表示法唯一 于是M可以分解成为特征子空间的直和,即有AL可对角化。证毕。 第四章§5商空间上诱导的线性变换 451线性变换在(关于不变子空间的)商空间上的诱导变换的定义 给定K上的线性空间V,M是V的一个A一不变子空间,定义变换 A:V/M→I/M a+MhAa+m 需要验证A的合理性。设a'+M=a+M,则存在y∈M,使得a'=a+y,于是 Aa'=A(a+y)=Aa+Ay,而由于M是A的不变子空间,于是Ay∈M,便有 Aa+M=Aa+M。于是A的定义与商空间上的元素的选取无关,即A的定义合理。对 于此定义,即有A(a)=A(a)。容易验证A是V/M上的线性变换。第一学期第二十八次课 命题 如果 n 维空间 V 上的线性变换 A 的矩阵相似于对角矩阵，则 A 在任一不变子空 间 M 上（的限制）的矩阵相似于对角矩阵。 证明 若 V 上的线性变换 A 的矩阵相似于对角矩阵，则 V 可以分解为特征子空间的直 和。记 A 的所有特征值为 1 2 , , ,   t ，则 1 2 t V V V V =       ，取 i M M V i =  ，断 言 M M M M =    1 2 t 。首先要证明 M M M M = + + 1 2 t 。 “  ”显然；“ ”   M ，则存在 i i V ，使得     = + + + 1 2 t ，两边同 时用 ( 1,2, , 1) j A j t = − 作用，得到表达式 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 t t t t t t t             − − − −                =                  A A ， 于是 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 t t t t t t t             − − − − −                   =                     A A ， 即 i 可以表示成 1 , , , t    − A A 的线性组合，于是 i  M ，“  ”得证。 再证明 M M M M = + + 1 2 t 是直和。设 1 2 0 = + + +   t ，其中 i i M ，则 i i V ，由于 1 2 t V V V V =       ，于是 0 i = ，零向量表示法唯一。 于是 M 可以分解成为特征子空间的直和，即有 | A M 可对角化。证毕。 第四章 §5 商空间上诱导的线性变换 4.5.1 线性变换在（关于不变子空间的）商空间上的诱导变换的定义 给定 K 上的线性空间 V ， M 是 V 的一个 A —不变子空间，定义变换 : / / V M V M   M M → + + A A ， 需要验证 A 的合理性。设   '+ = + M M ，则存在   M ，使得    ' = + ，于是 A A A A      ' ( ) = + = + ，而由于 M 是 A 的不变子空间，于是 A M ，便有 A A   + = + M M' 。于是 A 的定义与商空间上的元素的选取无关，即 A 的定义合理。对 于此定义，即有 A A ( ) ( )   = 。容易验证 A 是 V M/ 上的线性变换