3.J2和的本征值 在给定的n值之下,m的可能值一定是有界的。我们把给定n值以后m的最大值记为j,对应于m 取这个值的本征态是,那么就有 J n,j)=jn/n,j), J|,少=0 所以 Jm,八=(JJ+J2+hJ)少=(+1)h2|7 和Jm)=nh21m)比较,我们发现这给出了 7=j(+1) 另一方面,若m的最大值是j,则它的最小值一定是一j,并且 j-(-j)=2j=非负整数 所以我们得到如下的结论:J2和的本征值系列是 J2的本征值为j(j+1)h2,j=0,,1,3,2,…, J的本征值为mh, j,j-1,…一j 以后它们的同时本征态就记为J,m),即J,m)满足 1,m)=j(+1)h21,m) Jj, m)=mh j, m) 我们发现,前面通过求解微分方程的方法已经得到的轨道角动量的本征值系列确实包括在了这个系 列之中(j=0,1,2,…),但是这个系列里也包括了另外的角动量本征值(j=1/2,3/2,5/2,…)。以 后我们将会看到,电子的自旋角动量就是j=1/2的情形。所以,上面的分析确实导致了一个一般性的 结论 4.角动量的本征态 J|,m)=c:|j,m±1 那么 趣常(m4m=P=m 干h1,m)=((+1)-m(m±1)n2 定 c:=√jG+1)-m(m±1)h=VU土m+1)(干m)b 所以 J1|m)=√土m+1)干m)川1m士1) 由此我们知道:J的非零矩阵元是 (m士11,m)=√0土m+1)干m)九 所以Jx=(J+J)/2的非零矩阵元是 (m+11m)=2、+m+1(=m)九 (m-1x,m)=√0-m+1(+m) 而Jy=(J+-J-)/21的非零矩阵元是 (m+1J,m)=√+m+1)0-m)h2 3． 2 J 和 z J ˆ 的本征值 在给定的  值之下， m 的可能值一定是有界的。我们把给定  值以后 m 的最大值记为 j ，对应于 m 取这个值的本征态是 , j ，那么就有 J j j j z , =  , , J j , 0 + = , 所以 2 2 2 , ( ) , ( 1) , z z J j J J J J j j j j    = + + = + − + , 和 J ,m ,m 2 2  =   比较，我们发现这给出了  = j( j +1). 另一方面，若 m 的最大值是 j ，则它的最小值一定是−j ，并且 j − (− j) = 2 j = 非负整数， 所以我们得到如下的结论： 2 J 和 z J ˆ 的本征值系列是 2 J 的本征值为  , 2, 2 3 , 1, 2 1 ( 1) , 0, 2 j j + j = , z J ˆ 的本征值为 m , m = j, j −1,  ,− j . 以后它们的同时本征态就记为 j,m ，即 j,m 满足 2 2 J j m j j j m , ( 1) , = + , J ˆ z j,m = m j,m . 我们发现，前面通过求解微分方程的方法已经得到的轨道角动量的本征值系列确实包括在了这个系 列之中（ j = 0,1,2,  ），但是这个系列里也包括了另外的角动量本征值（ j = 1/ 2, 3/ 2, 5 / 2,  ）。以 后我们将会看到，电子的自旋角动量就是 j = 1/ 2 的情形。所以，上面的分析确实导致了一个一般性的 结论。 4．角动量的本征态 设 J j m c j m , , 1 ,   =  那么 ( ) 2 2 2 2 ˆ ˆ , , | | , , ( 1) ( 1) . z z j m J J j m c j m J J J j m j j m m   = = − = + −  通常约定 c j j m m j m j m ( 1) ( 1) ( 1)( ) ,  = + −  =  + 所以 J j m j m j m j m , ( 1)( ) , 1 .  =  +  由此我们知道： J 的非零矩阵元是 j m J j m j m j m , 1 , ( 1)( ) ,  =  +  所以 ( )/ 2 x J J J = ++ − 的非零矩阵元是 1 , 1 , ( 1)( ) , 2 x j m J j m j m j m + = + + − 1 , 1 , ( 1)( ) , 2 x j m J j m j m j m − = − + + 而 ( ) / 2i y J J J = − + − 的非零矩阵元是 i , 1 , ( 1)( ) , 2 y j m J j m j m j m − + = + + −