精品课程《数学分析》课外训练方案 1·3.5 2 2.4 2.4.6 4.证明下列极限。 (1)lim 5.设∑,∑v为正项级数,且存在N>0时,一切n>N0,有世≤一m世,证明 若级数∑v收敛,则级数∑un也收敛:若∑un发散,则∑,也发散 6.设正项级数∑un收敛,证明级数∑v2也收敛,试问反之是否成立? 7.设an≥0,且数列{nan}有界,证明级数∑a收敛。 8.设{an}为递减正项数列,证明:级数∑an与∑2"anm同时收敛或同时发散 9.设an>0,证明数列{(1+a)1+a)(1+a)与级数∑a同时收敛或同时发 0,b>0,cn=b。-bn+1,证明 (1)若存在某自然数N及常数k,当n>N0时有cn≥k>0则级数∑an发散 2)若n>N时有cn≤0,且m1 +∞,则级数∑a发散。 b 11.下列级数那些是绝对收敛,条件收敛或发散的 ∑(-1) 00 ∑ 12.应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性。 In (2∑精品课程《数学分析》课外训练方案 (2) 1 1 3 1 3 5 2 2 4 2 4 6 p p p ⎛ ⎞ ⎛ ⋅ ⋅ ⎞ ⎛ ⋅ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⋅ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅ ⎠ L 4． 证明下列极限。 (1) ( )2 lim 0 ! n n n n →∞ = (2) ( ) ! 2 ! lim ( 1) n n n a →∞ a > 5． 设 ∑un ,∑vn 为正项级数，且存在 N0 > 0时，一切n > N0 ，有 1 , n n n n u v u v + + ≤ 1 证明： 若级数∑vn 收敛，则级数∑un 也收敛；若∑un 发散，则 n ∑v 也发散。 6． 设正项级数∑un 收敛，证明级数 2 1 n n u ∞ = ∑ 也收敛，试问反之是否成立？ 7． 设 an ≥ 0，且数列{nan} 有界，证明级数 2 ∑an 收敛。 8． 设{an} 为递减正项数列，证明：级数 1 n n a ∞ = ∑ 与 2 2 m ∑ a m 同时收敛或同时发散。 9． 设 an > 0, 证明数列{( ) 1 1 + + a a 1 2 ( )L(1+ an )} 与级数 ∑an 同时收敛或同时发 散。 10．设 0, an > 1 1 0, n n n n n a b c b b a n+ + > = − ，证明： (1) 若存在某自然数 N0 及常数 k ，当 n > N0 时有c k n ≥ > 0 则级数 发散。 1 n n a ∞ = ∑ (2) 若 n > N0 时有cn ≤ 0，且 1 1 lim , n n k bk →∞ = ∑ = +∞ ，则级数 1 n n a ∞ = ∑ 发散。 11．下列级数那些是绝对收敛，条件收敛或发散的： (1) 1 2 100 ( 1) 3 1 n n n n ∞ = ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎝ ⎠ + ∑ ⎟ (2) ( )1 1 n n p n + − ∑ (3) 1 ( 1) n n n ∑ − (4) 1 ( 1) 1 n n n n ∞ = ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∑ 12．应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性。 (1) 100 1 ln sin n 4 n n n π ∞ = ∑ (2) ( ) ( 1) 0 1 n n n x x n x − > + ∑ 6