精品课程《数学分析》课外训练方案 于是imSn=lim 例4证明:调和级数1+++…+-+…是发散的。 证由于n都是正数,所以部分和数列{Sn}是严格增加的,讨论子数列{S2} S2,S4,S8,…,S l1111111 3+44+4=25+6+7+88+8+8+8=2 … 12m-+2 limS≥liml+ 即limS2=,Vn≥2,3唯一的自然数m使2m≤n<2m,且有S2-≤Sn≤S2 当n→∞时,有m→∞,则 lim s=∞,即调和级数发散。 五、自测题 1.判断下列级数的收敛性 cOs (2)2∑2sina (3)∑(a+a-2)(a>0)(4)∑ 2.别法或根式判别法判定下列级数的收敛性。 (1)∑ 2+(-1) 3.用拉贝判别法判定下列级数的敛散性精品课程《数学分析》课外训练方案 于是 5 1 5 1 1 1 5 1 lim lim ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − →∞ →∞ n S n n n 。 例 4 证明：调和级数 + + +L+ +L n 1 3 1 2 1 1 是发散的。 证 由于un 都是正数，所以部分和数列{Sn }是严格增加的，讨论子数列{S m } 2 ： ⎟ = ∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ + + + > ⋅ = + + + + > + = + + + > + + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + ⎟ + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + →∞ →∞ − − − − − − m S S S S S S m m m m m m m m m m m m m m 2 lim lim 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 , 2 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 7 1 6 1 5 1 , 2 1 4 1 4 1 4 1 3 1 , 2 1 2 2 1 2 1 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 , , , , , 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 4 8 2 2 1 L 14 2 4444 4 3 4444 L L 14243 14 24 4 34 L L 即 = ∞ ， 唯一的自然数 使 ，且有 →∞ S m m 2 lim ∀n ≥ 2,∃ m m m 2 n 2 1 ≤ < − S m Sn S m 2 2 −1 ≤ ≤ 当 n → ∞ 时，有 m → ∞ ，则 = ∞ →∞ n n lim S ，即调和级数发散。 五、自测题 1．判断下列级数的收敛性。 (1) 1 1 cos n ⎛ ⎜ − ⎝ ⎠ ∑ ⎞ ⎟ (2) 2 sin 3 n n π ∑ (3) ( ) 1 1 2 ,( 0) n n a a a − ∑ + − > (4) 1 n n n ∑ 2．别法或根式判别法判定下列级数的收敛性。 (1) 1 2 ( 1) 2 n n n ∞ = + − ∑ (2) 2 1 cos 3 2n n n n π ∞ = ∑ (3) ( ) 3 1 2 1 3 n n n n ∞ n = ⎡ ⎤ + − ⎣ ∑ ⎦ (4) 1 ! n n n n ∞ = ∑ 3． 用拉贝判别法判定下列级数的敛散性。 (1) ( )( ) ( ) ! 2 1 2 2 2 n + + + n ∑ L 5