精品课程《数学分析》课外训练方案 (1)r=1时,几何级数是a+a+a+…+a+ S.=a+a+a+…+a=na lim s =lim na n→① 即部分和数列{Sn}发散 (2)当r=-1时,几何级数是a-a+a-a+…+(-1)-a+…,Sn=0,当n是偶数 Sn=a,当n是奇数。即部分和数列{Sn}发散。由此,(1)当<1时,几何级数收敛 (2)当≥1时,几何级数发散。 例2∑1 (n+1) 解 ∵、× n·(n+ n n+ n 于是imSn=lim1 例3证明级数+ +…收敛,并求其和 1.66·1111·16 (5n-4)(5n+1) 证通项ln可改写为 5n-4)(5n+1)5L5n-45m+1 (5n-4)(5n+1) 5(5n+1精品课程《数学分析》课外训练方案 （1） r = 1时，几何级数是 a + a + a +L+ a +L Sn = a + a + a +L+ a = na lim = lim = ∞ ( ≠ 0) →∞ →∞ S na a n n n 即部分和数列{Sn }发散。 (2) 当 r=－1 时，几何级数是 − + − +L+ (− ) +L − a a a a a n 1 1 ， Sn = 0 ，当n 是偶数； Sn = a ，当 n 是奇数。即部分和数列{Sn }发散。由此，（1）当 r < 1时，几何级数收敛。 （2）当 r ≥ 1时，几何级数发散。 例 2 ( ) ( ) ∑ ∞ = + ⋅ + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 1 − 1 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 1 1 n n n n n L L 解 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 + = − + − + − − = − + − + − + + ⋅ + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = n n n n n n n Sn L L 于是 1 1 1 lim lim 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − →∞ →∞ n S n n n 。 例 3 证明级数 ( ) ( ) L +L − ⋅ + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ 5 4 5 1 1 11 16 1 6 11 1 1 6 1 n n 收敛，并求其和。 证 通项un 可改写为 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ⋅ + + + ⋅ + ⋅ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = − ⋅ + = 5 1 1 1 5 1 5 1 1 5 4 1 16 1 11 1 11 1 6 1 6 1 1 5 1 5 4 5 1 1 6 11 1 1 6 1 5 1 1 5 4 1 5 1 5 4 5 1 1 n n n n n S n n n n u n n L L 4