精品课程《数学分析》课外训练方案 定理4若级数∑an收敛其和是S,则按顺序结合在一起,构成的新级数 +u+ +u)+(u,41+u,,+. 也收敛,其和是S。 定理5∑a与∑bn绝对收敛,其和分别是a与b,则它们的乘积也收敛,为ab。 、基本方法 1、用柯西准则判断级数的敛散性; 2、用比式判别法、根式判别法和积分判别法判断正项级数的敛散性 交错级数的莱布尼兹判别法: 4、用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法判断一般项级数的敛散性 三、基本要求 1、掌握级数的基本概念和敛散的意义 2、会判断各类级数的敛散性:主要是5种判别法针对不同级数的运用。 四、典型例题 例1、以等比数列为通项的几何级数∑ar"=a+a+ar2+…+ar"+…的敛散性。 其中a≠0,r是公比 解1)当川≠1时,几何级数的部分和Sn是 =a+artar+...+ar 1)当1时,极限1mnS=加m1=1r 因此,当<1时几何级数收敛,其和是 即 1)当>1时,极限lmS,=1n=0:因此,当>1时,几何级数发散 2)当r=1时精品课程《数学分析》课外训练方案 定理 4 若级数∑ 收敛,其和是 S，则按顺序结合在一起，构成的新级数 ∞ n=1 an (u1 + u2 +……+ un ) + (un+1 + un+2 +……+ u2n ) + (u2n+ + u2n+2 +……+ u3n ) +…… 也收敛，其和是 S。 定理 5 ∑ 与 绝对收敛，其和分别是 与b ，则它们的乘积也收敛，为 ab。 ∞ n=1 an ∑ ∞ n=1 bn a 二、基本方法 1、用柯西准则判断级数的敛散性； 2、用比式判别法、根式判别法和积分判别法判断正项级数的敛散性； 3、交错级数的莱布尼兹判别法； 4、用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法判断一般项级数的敛散性。 三、基本要求 1、掌握级数的基本概念和敛散的意义。 2、会判断各类级数的敛散性；主要是 5 种判别法针对不同级数的运用。 四、典型例题 例 1、 以等比数列为通项的几何级数 的敛散性。 其中 是公比。 ∑ = + + +L+ +L ∞ = n n n ar a ar ar ar 2 1 a ≠ 0,r 解 1）当 r ≠ 1时，几何级数的部分和 Sn 是 r a ar S a ar ar ar n n n − − = + + + + = − 1 2 L 1 i）当 r < 1时，极限 r a r a ar S n n n n − = − − = →∞ →∞ 1 1 lim lim 。 因此，当 r < 1时几何级数收敛，其和是 r a 1− ，即∑ ∞ = − − = 1 1 n 1 n r a ar 。 ii）当 r > 1时，极限 = ∞ − − = →∞ r a ar S n n n 1 lim ； 因此，当 r > 1时，几何级数发散。 2）当 r = 1时 3