《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 (一)可导函数 若函数「在区间1上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称「为I上的可导 函数 (仁)导函数 1、函数在x。点的导数与导函数的区别与联系 区别导数是就一点而言的，是一个确定的数，一般与所给函数以及x。的值均有关，与△x无 关：导函数是就一个区间而言的，是一个确定的函数，与所给函数有关，与x、△x均无关。 联系函数在某点的导数就是导函数在该点的值，因此，∫在x。的导数也记为： 密lw)- 4导数与左、右导数的关系： 定理5.2若函数y-f(x)在点x的某邻域内有定义，则f(xo)存在一∫，'(x),'(xo)都 存在，且'(x)=f'(x. 例7设/=020讨论倒在x=0处的左、右号数与导数。 x,x<0 注函数在一点处的导数，不仅与函数在该点的函数值有关，而且还与函数在该点左、右两 边的表达式有关.讨论分段函数在分段点处的导数，应用导数的定义. 例8证明(i)(x"y=m-,(n为正整数)：(i)(sin x)=cosx,(cosx)=sinx:(进) (log.xY=kg.e.(a>0.a+Lx>0). 特别地：山= 三、导数的几何意义 =- 曲线y=f(x)在点(x,)的切线方程：y-片。=了(x,(x-x) 法线方程：y-%=-o) 例9求曲线y=x在点P(x,)处的切线方程与法线方程。 作业教材P94一953,8,9,10,12. 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 5 (一) 可导函数 若函数 f 在区间 I 上每一点都可导（对区间端点,仅考虑单侧导数）,则称 f 为 I 上的可导 函数. (二) 导函数 1、 函数在 0 x 点的导数与导函数的区别与联系 区别 导数是就一点而言的,是一个确定的数,一般与所给函数以及 0 x 的值均有关,与 x 无 关;导函数是就一个区间而言的,是一个确定的函数,与所给函数有关,与 x 、x 均无关. 联 系 函数在某点的导数就是导函数在该点的值,因 此, f 在 0 x 的导数也记 为： 0 ' x x y = , 0 x x dx dy = , 0 '( ) ' 0 x x f x f = = .  导数与左、右导数的关系： 定理 5.2 若函数 y = f (x) 在点 0 x 的某邻域内有定义,则 '( ) 0 f x 存在  '( ) 0 f x + , '( ) 0 f x − 都 存在,且 '( ) 0 f x + = '( ) 0 f x − . 例 7 设 , 0 1 cos , 0 ( ) {  −  = x x x x f x 讨论 f (x) 在 x = 0 处的左、右导数与导数. 注 函数在一点处的导数,不仅与函数在该点的函数值有关,而且还与函数在该点左、右两 边的表达式有关.讨论分段函数在分段点处的导数,应用导数的定义. 例 8 证明（ⅰ） 1 ( )' − = n n x nx ,（ n 为正整数）;（ⅱ） (sin x)'= cos x ,(cos x)'= sin x ;（ⅲ） e x x a a log 1 (log )'= , (a  0,a  1, x  0) . 特别地： x x 1 (ln )'= . 三、导数的几何意义 '( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x x x f x f x k x x = − − = → 曲线 y = f (x) 在点 ( , ) 0 0 x y 的切线方程： '( )( ) 0 0 0 y − y = f x x − x ; 法线方程： ( ) '( ) 1 0 0 0 x x f x y − y = − − . 例 9 求曲线 3 y = x 在点 ( , ) 0 0 P x y 处的切线方程与法线方程. 作业 教材 P94—95 3,8,9,10,12