§4对称矩阵的相似矩阵 定理5对称矩阵的特征值为实数 证设复数λ为对称矩阵A的特征值，复向量x为入为 应的特征向量，即Ax=2x,x0。 用入表示入的共轭复数 用取表示x的共轭复向量， 则 Ac=A=()=2=x于是有 x"Ax=x"(Ax)-x"Ax=Ar"x. xTAx=(TA)x=(A)x=(入x)x=入xx 两式相减，得 (入-入)xx=0,§4 对称矩阵的相似矩阵 定理5 对称矩阵的特征值为实数. 证 设复数 λ 为对称矩阵 A 的特征值 , 复向量 x 为 λ 对 应的特征向量,即Ax = λ x , x≠0 。 用表示的共轭复数, 用x表示x的共轭复向量, ( ) , T T T T x Ax = x Ax = x x = x x ( ) ( ) ( ) . T T T T T T x Ax = x A x = Ax x = x x = x x 两式相减,得 ( ) 0, T  −  x x = 则 于是有 Ax Ax Ax x x = = = = ( ) (  )