第3期 曲传咏，等：多场耦合载荷下的骨重建行为模拟 ·53· 发现，这一领域吸引了越来越多的科学工作者的注 想状况下，通常先研究简单情况下的骨的重建问题， 意.各种各样的理论模型也相继被提出用来解释骨 一般选取的材料认为是均匀的，并且形状规则.考 细胞感知力学刺激的机理和模拟力学载荷作用下骨 虑一个受到轴对称载荷的由热压电骨质材料构成的 的适应性重建现象2.！.这其中Cowin等提出的适 中空的圆柱体，采用柱状坐标系.其轴向、径向和垂 应性弹性理论由于其简单和易用性而应用得比较广 直于轴线的坐标值分别用z、0和r表示. 泛.但是，该理论仅局限于模拟力学刺激对骨重建的 1.1骨内部重建的控制方程 影响，而没有涉及电磁场的影响.近几十年来，极低 为了研究电磁场对骨重建过程的影响，将原有 频电磁场在临床中被广泛的用来治疗一些骨骼疾 的适应性弹性理论进行了扩充，使它能涵盖电磁效 病，如，骨质疏松、骨坏死、骨折和骨不连等.现在，越 应，得到的新的方程如下： 来越多的研究者发现磁场对骨细胞存在着一定的影 e A (e)Af(e)Er +A:(e)E:+ 响.研究骨细胞在极低频电磁场作用下的生物学响 F(e)H F:(e)H:+ 应的工作也越来越丰富11.细胞培养3,1和动 A'(e)(sm +sa)+A(e)s=+Ar(e)sr.(1) 物活体s·161实验结果表明，极低频的电磁刺激可以 式中：代表骨组织体积分数相对于其参考值的 变化值；5、E和H,是应变场、电场和磁场的各个 促进骨生成.而且在应用电磁场治疗骨不连的临床 分量；A(el、A(el、F(e和A(e是只与e有关 研究显示电磁场可以加速骨的愈合7).以上证据 的材料参数2)，其表达式如下： 表明电磁场确实可以激活并刺激骨的重建.但是关 A'(e =Co +Cie+Cse, 2) 于智能生物材料的力电磁多场耦合理论的研究 Ai(e =A+eA, (3) 目前尚不成熟.例如，电磁场如何作用于骨细胞，骨 A (e)A+eA (4) 细胞如何感应这些刺激并做出响应，这些深层机理 Ff(e F+eFf. (5) 迄今为止还是未知的.这表明压电智能生物材料在 式中：C、G、G、A®、A日、A8、A、F、F是与材 生物医学和康复工程中得到真正应用前，仍需针对 料有关的常数；下标i,j=r,:,日：上标E和s分别表 力电—磁多场耦合机理进行一系列基础性的力学 示该系数与电场和应变场有关 研究.文中基于传统的适应性弹性理论，将其扩展以 1.2骨表面重建的控制方程 包括电磁场的影响，建立可以模拟多场耦合作用下 考虑电磁效应的骨材料的表面重建方程可以表 骨智能化重建的理论模型.有研究表明，均匀的骨组 示为如下形式2o1: 织会在径向载荷的作用下变得非均匀，因而为了可 U=Cg[s·91+C[E-]+G[H,-H1= CmSm Cas C=s=+Crsr +CrE,+(6) 以模拟非均匀骨质材料的重建过程，文中引入了状 C:E:Gr H+G:H:-Co. 态空间法来计算非均匀骨质材料的应力应变分布： 式中： 在此基础上，该模型可以将骨的内部重建和表面重 Co=Cms C=s Cas Crs'+CrE+ 建联合起来考虑，从而可以更好地模拟骨的智能化 C:E:+Gr H+G:H. (7) 重建过程.而以前的研究中，二者都是分开研究的， 式中：U表示垂直于表面骨材料表面重建的速率 也就是说，在研究表面重建时，通常会忽略内部重建 Cg、C和G,代表表面重建系数.定义U.和Up分别 的影响，反之亦然.而在现实中，二者其实是相互影 为垂直于内表面和外表面的表面重建速率.它们还 响、相互耦合的在此模型基础上，文中将模拟多场 可以表示成如下形式 耦合作用下骨的重建行为，并且分析各种外加载荷， U.=. ,U,= (8) 包括力学载荷、电载荷和磁载荷对骨适应性重建行 Ot' 01 为的影响 式中：t表示时间，a(t,e,b)表示骨内表面的半径， b(t,e,d表示骨外表面半径.表达式U.前的负号表 1骨重建模型的建立 示骨重建速率的方向与坐标系的正方向相反.这样， 表达式6)就可以表示为 在研究骨的适应性重建行为之前，首先要建立 骨重建的模型.文中选取的是扩展后的适应性弹性 Da =Cos Cnsie+C+Ces+ dr 理论19，]来分析骨的内部和表面的重建过程，并且 CrE;+C:E:+GH+G:H:-C 在原来的基础上，将原有的模型扩展到可以研究的 (9) ab 磁场影响.骨材料结构的复杂性往往和非均匀性使 =CsR+Cs肠+C2s2+C2s2+ 0t 求解问题变得极端困难，为了更好地分析问题，在理 CP EP+C E+H+H?-. 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net发现 ,这一领域吸引了越来越多的科学工作者的注 意. 各种各样的理论模型也相继被提出用来解释骨 细胞感知力学刺激的机理和模拟力学载荷作用下骨 的适应性重建现象[2 - 9 ] . 这其中 Cowin 等提出的适 应性弹性理论由于其简单和易用性而应用得比较广 泛. 但是 ,该理论仅局限于模拟力学刺激对骨重建的 影响 ,而没有涉及电磁场的影响. 近几十年来 ,极低 频电磁场在临床中被广泛的用来治疗一些骨骼疾 病 ,如 ,骨质疏松、骨坏死、骨折和骨不连等. 现在 ,越 来越多的研究者发现磁场对骨细胞存在着一定的影 响. 研究骨细胞在极低频电磁场作用下的生物学响 应的工作也越来越丰富[10 - 12 ] . 细胞培养[13 - 14 ] 和动 物活体[15 - 16 ]实验结果表明 ,极低频的电磁刺激可以 促进骨生成. 而且在应用电磁场治疗骨不连的临床 研究显示电磁场可以加速骨的愈合[17 - 18 ] . 以上证据 表明电磁场确实可以激活并刺激骨的重建. 但是关 于智能生物材料的力 —电 —磁多场耦合理论的研究 目前尚不成熟. 例如 ,电磁场如何作用于骨细胞 ,骨 细胞如何感应这些刺激并做出响应 ,这些深层机理 迄今为止还是未知的. 这表明压电智能生物材料在 生物医学和康复工程中得到真正应用前 ,仍需针对 力 —电 —磁多场耦合机理进行一系列基础性的力学 研究. 文中基于传统的适应性弹性理论 ,将其扩展以 包括电磁场的影响 ,建立可以模拟多场耦合作用下 骨智能化重建的理论模型. 有研究表明 ,均匀的骨组 织会在径向载荷的作用下变得非均匀 ,因而为了可 以模拟非均匀骨质材料的重建过程 ,文中引入了状 态空间法来计算非均匀骨质材料的应力应变分布. 在此基础上 ,该模型可以将骨的内部重建和表面重 建联合起来考虑 ,从而可以更好地模拟骨的智能化 重建过程. 而以前的研究中 ,二者都是分开研究的 , 也就是说 ,在研究表面重建时 ,通常会忽略内部重建 的影响 ,反之亦然. 而在现实中 ,二者其实是相互影 响、相互耦合的. 在此模型基础上 ,文中将模拟多场 耦合作用下骨的重建行为 ,并且分析各种外加载荷 , 包括力学载荷、电载荷和磁载荷对骨适应性重建行 为的影响. 1 骨重建模型的建立 在研究骨的适应性重建行为之前 ,首先要建立 骨重建的模型. 文中选取的是扩展后的适应性弹性 理论[ 19 - 20 ]来分析骨的内部和表面的重建过程 ,并且 在原来的基础上 ,将原有的模型扩展到可以研究的 磁场影响. 骨材料结构的复杂性往往和非均匀性使 求解问题变得极端困难 ,为了更好地分析问题 ,在理 想状况下 ,通常先研究简单情况下的骨的重建问题 , 一般选取的材料认为是均匀的 ,并且形状规则. 考 虑一个受到轴对称载荷的由热压电骨质材料构成的 中空的圆柱体 ,采用柱状坐标系. 其轴向、径向和垂 直于轴线的坐标值分别用 z、θ和 r 表示. 1. 1 骨内部重建的控制方程 为了研究电磁场对骨重建过程的影响 ,将原有 的适应性弹性理论进行了扩充 ,使它能涵盖电磁效 应 ,得到的新的方程如下 : Ûe = A 3 ( e) + A E r ( e) Er + A E z ( e) Ez + F E r ( e) Hr + F E z ( e) Hz + A s rr ( e) (srr + sθθ) + A s zz ( e) szz + A s rz ( e) srz . (1) 式中 :e 代表骨组织体积分数相对于其参考值ξ0 的 变化值; sij 、Ei 和 H i 是应变场、电场和磁场的各个 分量; A 3 ( e) 、A E i ( e) 、F E i ( e) 和 A s ij ( e) 是只与 e 有关 的材料参数[21 ] ,其表达式如下 : A 3 ( e) = C0 + C1 e + C3 e 2 , (2) A s ij ( e) = A s0 ij + eA s1 ij , (3) A E i ( e) = A E0 i + eA E1 i , (4) F E i ( e) = F E0 i + eF E1 i . (5) 式中 :C0 、C1 、C2 、A E0 i 、A E1 i 、A s0 ij 、A s1 ij 、F E0 i 、F E1 i 是与材 料有关的常数;下标 i , j = r, z ,θ;上标 E 和 s 分别表 示该系数与电场和应变场有关. 1. 2 骨表面重建的控制方程 考虑电磁效应的骨材料的表面重建方程可以表 示为如下形式[20 ] : U = Cij [sij - s 0 ij ] + Ci[ Ei - E 0 i ] + Gi[ Hi - H 0 i ] = Crrsrr + Cθθsθθ + Czz szz + Crz srz + Cr Er + (6) Cz Ez + Gr H r + Gz H z - C0 . 式中 : C0 = Crrs 0 rr + Czz s 0 zz + Cθθs 0 θθ + Crz s 0 rz + Cr E 0 r + Cz E 0 z + Gr H 0 r + Gz H 0 z . (7) 式中 :U 表示垂直于表面骨材料表面重建的速率. Cij 、Ci 和 Gi 代表表面重建系数. 定义 Ue 和 U p 分别 为垂直于内表面和外表面的表面重建速率. 它们还 可以表示成如下形式 : Ue = - 5a 5t ,U p = 5b 5t . (8) 式中 : t 表示时间 , a ( t , e , b) 表示骨内表面的半径 , b( t , e , a) 表示骨外表面半径. 表达式 Ue 前的负号表 示骨重建速率的方向与坐标系的正方向相反. 这样 , 表达式(6) 就可以表示为 - 5a 5t = C e rrs e rr + C e θθs e θθ + C e zz s e zz + C e rz s e rz + C e r E e r + C e z E e z + G e r H e r + G e z H e z - C e 0 , 5b 5t = C p rrs p rr + C p θθs p θθ + C p zz s p zz + C p rz s p rz + C p r E p r + C p z E p z + G p r H p r + G p z H p z - C p 0 . (9) 第 3 期 曲传咏 ,等 :多场耦合载荷下的骨重建行为模拟 · 35 ·